第十一讲 函数与方程-【暑假辅导班】2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

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第三讲 基本不等式【基础知识】1.函数的零点(1)函数零点的概念如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210 【考点剖析】考点一　函数零点所在区间的判定【例1】 (1)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)零点所在的区间为(　　)A.(0，1)   B.(1，2)   C.(2，3)   D.(3，4)(2)设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________.【解析】　(1)因为y＝ln x与y＝x－2在(0，＋∞)上都是增函数，所以f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上是增函数，又f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，根据零点存在性定理，可知函数f(x)＝ln x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内.(2)设f(x)＝x3－，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝的图象如图所示.因为f(1)＝1－＝－1<0，f(2)＝8－＝7>0，所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1，2).规律方法　确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.考点二　确定函数零点的个数【例2】 (1)(一题多解)函数f(x)＝的零点个数为(　　)A.3   B.2   C.1   D.0(2)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有(　　)A.3个   B.2个   C.1个   D.0个【解析】　(1)法一　　由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点.法二　函数f(x)的图象如图1所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.图1 (2)由f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，知y＝f(x)的周期T＝2.在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象(如图2).图2由于两函数图象有2个交点.所以函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内有2个零点.规律方法　函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.考点三　函数零点的应用【例3】 (1)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)A.(－∞，－1)    B.(－∞，1)C.(－1，0)    D.[－1，0)(2)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)A.[－1，0)    B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞)    D.[1，＋∞)【解析】　　(1)当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点.作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.规律方法　1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值.2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.  【真题演练】1．（2021·安徽淮北市·高三二模（文））若关于的不等式有且只有两个整数解，则正实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：原不等式可化简为，设，，由得，，易知函数在单调递减，在单调递增，作出的图象如下图所示，而函数恒过点，要使关于的不等式有且只有两个整数解，则函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线），又，，∴，，∴，∴．故选：C．2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数在上有唯一零点，若，，则（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】因，，则，时，恒有，在上单调递增，，在上无零点，时，，而在上单调递增，从而在上单调递减，在上单调递增，，因函数在上有唯一零点，则，即，令，则，在单调递减，而，于是得的零点，所以.3．（2021·湖南高三其他模拟）已知定义域为的函数满足是奇函数，为偶函数，当时，，则（    ）A．函数不是偶函数B．函数的最小正周期为4C．函数在上有3个零点D．【答案】AC【详解】对于A：因为是奇函数，图象关于（0,0）对称，所以图象关于（-1,0）对称，因为为偶函数，图象关于x=0对称，所以图象关于x=1对称，又因为时，，作出图象，如下图所示 所以函数图象不关于y轴对称，即不是偶函数，故A正确；对于B：因为是奇函数，所以，即，因为为偶函数，所以，即，所以，即，所以，即，所以函数的最小正周期为8，故B错误；对于C：由图象可得：在上图象与x轴有3个交点，所以函数在上有3个零点，故C正确；对于D：由题意得：，，所以，故D错误.4．（2021·全国高三其他模拟（理））方程实数根的个数为___________.【答案】2【详解】因为，所以，即，因此，解得（舍）或，又因为，所以或，所以方程实数根的个数为2个，故答案为：2.5．（2021·北京高考真题）已知函数，给出下列四个结论：①若，则有两个零点；②，使得有一个零点；③，使得有三个零点；④，使得有三个零点．以上正确结论得序号是_______．【答案】①②④【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；对于②，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，②正确；对于③，当直线过点时，，解得，所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；对于④，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，④正确. 【过关检测】1．函数在上的零点个数为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，由.若，可得、、；若，可得、、、.综上所述，函数在上的零点个数为.2．已知函数满足对任意都成立，且，若方程在区间上有6个根，则实数的范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由函数满足对任意都成立，即，所以函数的周期，在区间上有6个根，即在区间上有6个根，作出函数在区间上图象，如图：由图象可知，当的图象与的图象在区间上有6个根，-1一定是方程的根，则，故实数的范围是.故选：B3．若函数在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C．（2，＋∞） D．（0，2）【答案】B【详解】因为为开口向上的抛物线，且对称轴为，在区间（－1，1）上有两个不同的零点，所以，即，解得，所以实数a的取值范围是.4．已知函数y=f（x），若对其定义域内任意x1和x2均有，则称函数为“凸函数”；若均有，则称f（x）函数为“凹函数”.下列函数中是“凹函数”的是A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A，因为，，所以不符合“凹函数”的定义；对于B，任意，，，因为，所以，符合“凹函数”的定义；对于C，因为，，所以不符合“凹函数”的定义；对于D，因为，所以不符合“凹函数”的定义；5．是定义在上周期为4的函数，且，则下列说法中正确的是（    ）A．的值域为B．当时，C．图象的对称轴为直线D．方程恰有5个实数解【答案】ABD【详解】根据周期性，画出的部分图象如下图所示，由图可知，选项A，D正确，C不正确；根据周期为，当时，，故B正确.故选：ABD.6．已知函数(即，)则（    ）A．当时，是偶函数 B．在区间上是增函数C．设最小值为，则 D．方程可能有2个解【答案】ABD【详解】：当时，，即，所以，所以是偶函数，故正确；：当时，，的对称轴为，开口向上，此时在上是增函数，当时，，的对称轴为，开口向上，此时在上是增函数，综上，在上是增函数，故正确；：当时，，当时，，因为不能确定的大小，所以最小值无法判断，故错误；：令，当时，，有2个解，故正确.7．已知函数有两个不同的零点，则实数k的取值范围是_________.【答案】【详解】令，则由函数的定义域知，解得，且为增函数，所以函数有两个不同的零点转化为关于t的方程在区间上有两个不等实根，即曲线（个单位圆）与经过定点的直线有两个不同交点.如图，设过点P的直线与曲线相切于点A，连接OA.设切线的方程为，即.由，得，解得（正值已舍去）.又易得直线的斜率是，故，解得，即实数k的取值范围是.故答案为：8．已知函数则函数的所有零点之和为___________.【答案】【详解】解：时，，，由，可得或，或；时，，，由，可得或，或；函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为9．已知，则满足的的取值范围为_______．【答案】【详解】根据题意，，则为奇函数且在R上为增函数，则，解可得，即的取值范围为；故答案为．10．已知函数的最小正周期为．（I）求函数的解析式；（II）若先将函数的图象向左平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的零点个数．【详解】（I）由题意得：．∵的最小正周期，故，∴．（II）由（I）得：，．求函数在上的零点个数，即求方程的根的个数．和的图象，如下图示，∴在上单调递减，在上单调递增，且，又，∴由图象知：函数在上有个零点．