第十七讲 空间向量的数量积运算-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

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第十七讲 空间向量的数量积运算【知识梳理】1、数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.2、空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 【考点剖析】考点一　数量积的线性运算　【例1】 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)·；(2)·；【解析】　设＝a，＝b，＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，(1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c，·＝·(－a)＝a2－a·c＝，(2)·＝(＋＋)·(－)＝·(－)＝·(－)＝·(c－a)＝＝.规律方法　1.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题.(1)a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；(2)|a|＝；(3)cos〈a，b〉＝. 考点二　数量积的相关应用【例题2-1】在棱长为1的正方体中，若点E是线段AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足，则线段AM的长的最小值为（    ）A． B． C．1 D．【答案】B【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，，所以，由可得，即，所以线段AM的长的最小值为．故选：B．【例题2-2】三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为（    ）A． B．1 C． D．与点位置关系【答案】A【详解】如图所示，取的中点，连接，和都是等边三角形，，，面，面，，在中，，，由余弦定理，.故选：A【跟踪训练1】正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（    ）A． B． C． D．【跟踪训练2】已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【跟踪训练3】如图所示正三棱锥中，是上一点，，且，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．  【过关检测】1．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是（    ）A．5 B．10C．12 D．不能确定2．如图，面，为矩形，连接､､､､，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（    ）A．与 B．与C．与 D．与3．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（    ）A． B． C． D．4．已知，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为（    ）A．60° B．120°C．30° D．90°5．已知非零向量不平行，且，则与之间的关系是（    ）A．垂直B．同向共线C．反向共线D．以上都可能6．已知，均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ）A．  B．  C．  D．47．若向量，且，则实数（    ）A．2 B． C． D．8．在正方体中，棱长为，点为棱上一点，则的最小值为（   ）A． B． C． D．9．在正四面体中，棱长为1，且D为棱的中点，则的值为（    ）A． B． C． D．10．已知四棱柱的底面是矩形，，则（    ）A． B． C． D．11．如图所示，已知是所在平面外一点，，求证：在平面上的射影是的垂心．12．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠BAD＝120°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6．求PC的长．13．在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量与所成角的余弦值．14．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求：（1）；    （2）；    （3）；    （4）；（5）；    （6）．