第十八讲 空间向量基本定理-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

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第十八讲 空间向量基本定理【知识梳理】1、共线向量定理：两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb.2、共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.3、空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc. 【考点剖析】考点一  共线定理、共面定理【例1-1】已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，则＝（    ）A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)【答案】A【详解】解析：．故选：A【例1-2】如图在平行六面体中，与的交点记为．设，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】．故选：B.【跟踪训练1】已知三棱锥中，点为棱的中点，点为的重心，设，，，则向量（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】连接并延长交于点，连接，则为的中点，且，，，为的中点，.故选：A.【跟踪训练2】如图所示，在正方体中，点是侧面的中心，若，求（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】C【详解】，故，，，则．故选：C.【跟踪训练3】在空间四边形中，，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】.故选：C.   考点二　共线定理、共面定理的应用【例2】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.【解析】证明　(1)连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理知E，F，G，H四点共面.(2)因为＝－＝－＝(－)＝，因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.规律方法　(1)证明空间三点P，A，B共线的方法①＝λ(λ∈R)；②对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1).(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法①＝x＋y；②对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；③∥(或∥或∥).(3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.  【过关检测】1．如图，已知空间四边形，其对角线为分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量为（    ）A．B．C．D．【答案】A【详解】.因为分别为的中点，所以所以.故选：A.2．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】，，，，故选：A.3．已知向量，，是空间中的一个单位正交基底．规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，若向量，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由题意得：，故选：C．4．在三棱锥中，，N为中点，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】连接，所以，因为，所以，所以.故选：B.5．在平行六面体中，，，，E是的中点，用，，表示为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图示：，结合图象得：，故选：A.6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】B【详解】∵，，∴，又，，∴．7．在正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，若，则（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图所示：，，又因为，所以，所以，故选：A8．下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A：由，可得M，A，B，C四点共面，即共面，所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底；对于B：因为，由平面向量基本定理，可得共面，无法构成基底，故B错误；同理选项D中，共面，故D错误.故选：C9．如图，在三棱锥中，是的中点，若，，，则等于（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】，因此，.故选：C.10．已知矩形，为平面外一点，且平面，，分别为，上的点，且，，，则的值为(    )A． B． C． D．【答案】B【详解】平面，且为矩形，以为空间向量的一个基底，因，，， 又，由空间向量基本定理知，，.11．已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足.（1）判断，，三个向量是否共面；（2）判断点是否在平面内.【详解】（1）由题意，知：，∴，即，故共面得证.（2）由（1）知：共面且过同一点.所以四点共面，从而点在平面内.12．如图，在三棱锥中，G是的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点.（1）用向量表示向量，并证明你的结论；（2）设，请写出点P在的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）.【详解】解析（1）.证明如下：.（2）若，点P在的内部（不包括边界），的充分必要条件是：，且.