专题13 空间几何体的体积-2022年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）

专题13  空间几何体的体积

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知球的直径，，，是球球面上的三点，是等边三角形，且，则三棱锥的体积为（    ）.

A． B． C． D．

2．如图所示，在三棱锥中，平面，，，且为的中点，于，当变化时，则三棱锥体积的最大值是（    ）

A． B． C． D．

3．如图所示，在中，，.若平面外的点P和线段上的点D满足，，则四面体的体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．1

4．已知正方体的棱长为1，分别是线段、上的动点，若平面，则三棱锥的最大体积为（    ）

A． B． C．  D．

5．已知三棱锥中，平面，，，则三棱锥体积最大时，其外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

6．中角，，所对的边分别为，，，，，成等差数列，且，若边上的中线，则绕旋转一周，得到的几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

7．以为顶点的多面体中，，，，，，则该多面体的体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知正方体的棱长为1，分别是线段上的动点，若平面，则三棱锥的最大体积为（    ）

A． B． C． D．

9．如图，在四棱锥中，，底面是边长为的正方形，点是的中点，过点，作棱锥的截面，分别与侧棱，交于，两点，则四棱锥体积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

10．长方体中，，，，为该正方体侧面内（含边界）的动点，且满足.则四棱锥体积的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．如图，点是平面外一点，点是边上的动点（不含端点），且满足，，则四面体体积的最大值是（    ）

A． B． C． D．

12．如图，正四面体的体积为，底面积为，是高的中点，过的平面与棱、、分别交于、、，设三棱锥的体积为，截面三角形的面积为，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

二．填空题

13．四面体中，，，，且异面直线和所成的角为，若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为_________.

14．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2，二面角A－PB－C为直二面角，∠APB＝2∠BPC(∠BPC<)，M，N分别为侧棱PA，PC上的动点，设直线MN与平面PAB所成的角为α.当的最大值为时，则三棱锥P－ABC的体积为__________.

15．如图，已知：在中，，，点是边上异于点，的一个动点，于点，现沿将折起到的位置，使，则四棱锥的体积的最大值为________．

16．在三棱锥中，平面，，，，是线段上一点且.三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则三棱锥的体积为_________.

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．如图①，是由正三角形和正方形组成的平面图形，其中；将其沿折起，使得，如图②所示.

（1）证明：图②中平面平面；

（2）在线段上取一点，使，当三棱锥的体积为时，求的值.

18．如图，四棱锥中，底面是梯形，，，，，，为边的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

19．如图所示，已知D、E、F分别是正四面体的棱、、上的点.

（1）若，求证：；

（2）若，，且，求四面体的体积.

20．如图，在四棱锥中，平面平面，，，.

（1）证明：；

（2）设点M在线段PC上，且，若的面积为，求四棱锥的体积.

21．设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，，，且平面平面.

（1）确定的位置（需要说明理由），并证明：平面平面.

（2）与侧面平行的平面与棱，，分别交于，，，求四面体的体积的最大值.

22．如图所示，在正方体中，点在棱上，且，点、、分别是棱、、的中点，为线段上一点，.

（1）若平面交平面于直线，求证：；

（2）若直线平面，

①求三棱锥的表面积；

②试作出平面与正方体各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹设平面与棱交于点，求三棱锥的体积.