专题14 几何体的内切、外接球问题-2022年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）

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专题14 几何体的内切、外接球问题一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在三棱锥中，，则这个三棱锥的外接球的半径为（　 　）A． B． C． D．【解析】由，有，即△为等腰直角三角形且，若为的中点，为三棱锥外接球的球心，连接，又， ∴，又，即知：面且，∴三棱锥外接球的球心必在平面内， 又由上知：，故，即，过作于，过作于，由，得，，若三棱锥外接球半径为R，，∴，，又，∴，故.故选：A.2．已知点在半径为2的球面上，满足，，若S是球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为（    ）A． B． C． D．【解析】设外接圆圆心为，三棱锥外接球的球心为，，设为中点，连，如图，则，且在上，，设外接圆半径为，，解得，，要使体积的最大，需到平面距离最大， 即为的延长线与球面的交点，最大值为，所以三棱锥体积的最大值为．故选：A3．已知底面为矩形的四棱锥P-ABCD每个顶点都在球O的球面上，，，，且，若球O的体积为，则棱PB的中点到平面PCD的距离为（    ）A． B． C． D．【解析】，，，，又，，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD.底面ABCD为矩形，侧棱PC为球O的直径，设球O的半径为R，则，即，又，解得.过A作于G，取棱PA的中点F，连接EF.易证平面APD，则，，，，平面PCD，平面PCD，平面PCD.，即，可得，则F到平面PCD的距离为，，，，则E到平面PCD的距离等于F到平面PCD的距离，故棱PB的中点到平面PCD的距离为.故选：B4．正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（    ）A． B． C． D．【解析】因为四面体是棱长为1的正四面体，所以其体积为.设正四面体内切球的半径为，则，得.如图，取的中点为，则.显然，当的长度最小时，取得最小值.设正四面体内切球的球心为，可求得.因为球心到点的距离，所以球上的点到点的最小距离为，即当取得最小值时，点到的距离为.故选：A.5．已知三棱锥的底面是正三角形，，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【解析】如下图所示，延长交于点，连接，
为的垂心，则，平面，平面，，，平面，平面，，连接并延长交于点，连接，平面，平面，，，，平面，平面，，设点在平面内的射影为点，延长交于点，连接，平面，平面，，，平面，、平面，则，，，为正的中心，且为的中点，平面，、、平面，，，，且，所以，，，当时，的面积取最大值，当平面时，三棱锥的体积取得最大值，将三棱锥补成正方体，所以，三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线长，设三棱锥的外接球直径为，则，因此，三棱锥的外接球的表面积为.故选：B.6．已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，底面，，，，是线段上一点，且.过点作球的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【解析】平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示：设，连接、、，可知点为的中点，因为四边形为矩形，，则为的中点，所以，且，设，且，，所以，球的半径为，在中，，，，，在中，，，由余弦定理可得，平面，平面，平面，则，，，设过点的球的截面圆的半径为，设球心到截面圆的距离为，设与截面圆所在平面所成的角为，则.当时，即截面圆过球心时，取最小值，此时取最大值，即；当时，即与截面圆所在平面垂直时，取最大值，即，此时，取最小值，即.由题意可得，，解得.所以，，因此，球的表面积为.故选：B.7．如图，在三棱锥中，平面，，，，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为（    ）A． B． C． D．【解析】设，，由三棱锥外接球的表面积为，得外接球的半径.又平面，，所以，所以，所以.因为平面，，所以，，过D作，垂足为E，则平面，所以，所以，所以，所以 ，当且仅当，即，时，“=”成立，所以三棱锥体积的最大值为.故选：A.8．已知球内接正四面体，为棱的中点，是棱上的一点，且，则球与四面体的体积比为（    ）A． B． C． D．【解析】如图，正四面体中，顶点在底面的射影为，球心在上.设正四面体的棱长为，则正四面体高.设外接球半径为，在直角三角形中，，即，解得.令，在中，由余弦定理得①，同理，在中，由余弦定理得②.由题设，解得.由于到平面的距离与到平面的距离相等，都等于，，故，.所以.故选：D.9．在四棱锥中，，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【解析】如图，取的两个三等分点、，连接、、，设，连接、.则，，又，，所以，四边形为平行四边形，，为的中点，所以，，由勾股定理可得，则，在中，，，，，又，则为等边三角形，，则是的外接圆的圆心.因为，为的中点，，，，，，，，又，，平面，且.设为三棱锥外接球的球心，连接、、，过作，垂足为，则外接球的半径满足，设，则，解得，从而，故三棱锥外接球的表面积为.故选：D.10．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使得平面平面，则所得三棱锥的外接球表面积为（    ）A． B． C． D．【解析】在边长为2的菱形中，，如图，由已知可得，与均为边长为2的等边三角形，取中点，连接，，则，，平面平面，交线为，而平面，则平面，分别取与的外心，，过，分别作两面的垂线，相交于，则为三棱锥的外接球的球心，由与均为等边三角形且边长为2，可得，，，即三棱锥外接球的半径：，三棱锥的外接球的表面积为：.故选：C.11．已知三棱锥的外接球的球心为，平面，，，，则球心O到平面的距离为（    ）A． B． C． D．【解析】因为，故为等腰直角三角形且，而为的中点.故为的外心，故平面.因为平面，所以，故共面.连接交于点，过作，垂足为.因为，故，在直角三角形中，，故，同理，因为，故，而，故平面，因为平面，故平面平面.因为平面平面，，平面，所以平面.因为为三棱锥的外接球的球心，故，因为平面，平面，故，在平面中，因为，，故，故四边形为矩形，且，.又因为，故，故.在直角三角形中，.故选：B.12．点P为棱长是2的正方体的内切球O球面上的动点，点M为的中点，若满足，则动点P的轨迹的长度为(    )A． B． C． D．【解析】根据题意,点P为棱长是2的正方体的内切球O球面上的动点,点M为的中点,设中点为,中点为,如下图所示:在平面中,，由题意可知,为在平面内的射影,所以直线在过点且与垂直的平面内又因为在正方体内切球的球面上所以点的轨迹为正方体的内切球与过且与垂直的平面相交得到的小圆,即的轨迹为过的平面即为平面与内切球的交线因为位于平面内,设到平面的距离为，所以由,可得，代入可得,解得，正方体的内切球半径为，由圆的几何性质可得所截小圆的半径为 ，所以小圆的周长为，即动点P的轨迹的长度为，故选:C二．填空题13．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为___________.【解析】为等边三角形且其面积为，则，如图所示，设点M为的重心，E为AC中点，当点在平面上的射影为时，三棱锥的体积最大，此时，，点M为三角形ABC的重心，，中，有，，所以三棱锥体积的最大值14．已知正方体的棱长为，其内有2个不同的小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，则球的表面积等于________．【解析】因为正方体的棱长为，所以三棱锥是边长为的正四面体，的高为，设底面的中心为，连接，则，，则球是三棱锥的内切球,设其半径为，则，所以，所以， 又球与三棱锥的三个面和球都相切，则设面平面，且球和球均与平面MNP相切于点E，如图所示，则球是三棱锥的内切球，设其半径为，故，因此在正四面体中，利用求的方法可求得，所以球的表面积为.15．已知三棱锥的顶点在底面的射影为的垂心，若，且三棱锥的外接球半径为3，则的最大值为________．【解析】连交于，顶点在底面的射影为的垂心，，又平面，，，平面，同理可证，由，得，，，又平面，，又平面，两两互相垂直，三棱锥的外接球为为棱的长方体的外接球，又三棱锥的外接球半径为3，，，当且仅当时，等号成立.故答案为：18. 16．在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，若动点Q在平面PAD内运动，使得与相等，则三棱锥的体积最大时的外接球的体积为_____．【解析】因为平面，所以平面平面，因为，，所以平面，平面，因为在内及边上，所以、在平面内，所以，，所以在内，，在内，，因为，所以，因为，所以，在平面内，以的中点为原点O，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系：则，，设，则，，由得，化简得，所以动点Q在平面PAD内运动，点轨迹是圆，如图所示，当在过圆心的垂线时点到的距离最大为半径，也就是三棱锥的高的最大值为，下面的计算不妨设点在x轴上方，外接圆圆心在中垂线上，即y轴上，设外接圆圆心N，半径r，则，而，故，，所以，故，则.如图三棱锥，平面，，的外接圆圆心在斜边中点M上，过M，N作平面和平面的垂线，交于点I，即是三棱锥外接球球心，因为，所以三棱锥外接球半径， 所以三棱锥的外接球的体积为.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图甲，在矩形中，是的中点，，，以、为折痕将与折起，使，重合（仍记为），如图乙.（1）探索：折叠形成的几何体中直线的几何性质（写出一条即可，不含，，说明理由）；（2）求翻折后几何体外接球的体积【解析】（1）性质1：平面.证明如下：翻折前，，，翻折后仍然有，，且，则平面.性质2：.证明如下：与性质1证明方法相同，得到平面.又因平面，则.性质3：与平面内任一直线都垂直.证明如下：与性质1证明方法相同，得到平面，从而与平面内任一直线都垂直.性质4：直线与平面所成角等于.证明如下：如图，取的中点，连接，，由，得，与性质2证明相同，得，，再因，则平面，进而平面平面.作于，则平面，就是直线与平面所成的角，，，，.（2）解法一：，，则是等腰直角三角形，如图，取的中点，则是的外心.设几何体外接球的球心是，则平面.作于，则是的中点，是矩形，，，几何体的外接球半径，则外接球的体积.解法二：证明，，两两垂直后，几何体外接球就是以，，相邻的棱的长方体的外接球，，解得，则外接球的体积.18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.（1）求证：平面；（2）若直线与底面所成的角的余弦值为，求三棱锥的外接球表面积.【解析】（1）证明：在四边形中，，，，所以，为等腰直角三角形，即，又因为平面平面，，平面平面，所以直线平面，即，因为，所以直线平面得证；（2）由于平面，所以是直线与底面所成的角，故，且，由于，所以三棱锥的外接球球心在棱中点，设外接圆半径为∴，即表面积为19．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，E为的中点．（1）证明：平面．（2）求三棱锥外接球的体积．【解析】（1）由知：，底面是正方形有，又，∴面，而面，即，∵，，∴为等边三角形，E为的中点，故，∵，∴平面．（2）由（1）知：为等腰直角三角形且 ，有，在中，即，故，∴由上知：、都是以为斜边的直角三角形，由直角三角形斜边中点O到三顶点距离相等知：，即O为三棱锥外接球的球心，∴外接球的半径为，所以三棱锥外接球的体积为.20．如图，四棱锥中，四边形为矩形，，，.（1）求证：平面；（2）求四棱锥外接球的体积.【解析】（1）证明：，，,平面平面，又，平面，平面，，又在中，，，故，∴，，面，∴平面，（2）设G为矩形的对角线的交点，则作于O，因为平面，平面，所以平面平面，平面平面，平面，故平面，平面，，连结，，则，所以G为四棱锥外接球的球心，且球的半径为，故所求的球的体积为21．如图，将斜边长为的等腰直角沿斜边上的高折成直二面角，为中点.    （1）求二面角的余弦值；（2）为线段上一动点，当直线与平面所成的角最大时，求三棱锥外接球的体积.【解析】解法一：（1）设为中点，连接､.∵为等腰直角三角形，且二面角为直二面角，∴平面，∴，，由平面几何可知，，∴，，∴就是二面角的平面角，在中，，，，∴，∴二面角的余弦值为.（2）设直线与平面所成的角为，点到平面的距离为，则，在三棱锥中，，由，求得，∴当最小时，直线与平面所成的角的正弦值最大，此时所成角也最大，∴当为中点时，直线与平面所成的角最大，此时.由平面几何知识可知，和都是直角三角形，设为的中点，则，∴三棱锥外接球的半径为，∴外接球的体积.解法二：（1）∵为等腰直角三角形，且二面角为直二面角，∴平面，∴，∴以为坐标原点，以､､所在直线为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系.∵在平面图形中，是斜边为的等腰直角三角形，且为高的中点，∴，，，，，∴，，，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，由，得，令，则∴，同理可求得，∴，∴二面角的余弦值为.（2）如图，设，可得，∴，又由（1）可知平面的法向量为，∴，即直线与平面所成的角的正弦值为，∵，∴，当且仅当时，等号成立.∴当为中点时，直线与平面所成的角最大，此时.由平面几何知识可知，和都是直角三角形，设为的中点，则，∴三棱锥外接球的半径为，∴外接球的体积.22．设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，，，且平面平面.（1）确定的位置（需要说明理由），并证明：平面平面.（2）与侧面平行的平面与棱，，分别交于，，，求四面体的体积的最大值.【解析】（1）证明：取的中点，连接，取点为的三等分点且，连接.因为，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，故. 因为为等腰直角三角形，为的中点，故，因为，，故，故，同理，因为是等边三角形，故为的中心，故，故为三棱锥的外接球的球心，故与重合即在线段上且.因为在上，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由题意得，解得，因为为等腰直角三角形，为的中点，故，而平面平面，平面平面，平面，故平面，故为点到平面的距离.在等腰直角三角形中，即到平面的距离.设，到平面的距离为.因为平面平面，平面平面，平面平面，故，同理，因为方向相同，故，同理，所以，则的面积为.又，所以到平面的距离为，所以四面体的体积.设，，当时，；当时，.所以在为增函数，在为减函数，所以，即四面体的体积的最大值为.