考点06 函数周期性的3个结论-2022年新高考数学方法研究（人教A版2019）练习题

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专题二 函数
考点6 函数周期性的3个结论

【方法点拨】


【高考模拟】
1．若奇函数f（x）在[1，3]上是增函数，且最小值是1，则它在[-3，-1]上是（　　）
A．增函数，最小值-1 B．增函数，最大值-1
C．减函数，最小值-1 D．减函数，最大值-1
【答案】B
【解析】
因为函数f（x）是奇函数，且在[1，3]上是增函数，故函数在对称区间上单调性相同，即函数在[-3，-1]上是增函数，在-1处取得最大值，由奇函数的性质得到
故答案选B.
点睛：本题考查的是函数的单调性和奇偶性的综合性质，根据结论知道奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反；在根据奇偶函数的定义式：奇函数 ，偶函数满足
2．已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
是定义在上的偶函数，
，即，
则函数的定义域为
函数在上为增函数，

故两边同时平方解得，
故选
3．已知函数是上的奇函数,且对任意有是偶函数,且,则( ).
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】
根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得，进而可得，即可得是周期为4的周期函数，据此求出的值，相加即可得答案．
【解析】
解：根据题意，是偶函数，则，
变形可得.
又由是上的奇函数，则，
变形可得，
所以是周期为4得周期函数.
因为是上的奇函数，
所以，
则；
.
故.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，关键是分析函数的周期性，属于基础题．
4．分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数h（x）＝f（x）g（x），利用已知可判断出h（x）的奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．
【解析】
令h（x）＝f（x）g（x），分别是定义在上的奇函数和偶函数，
则h（﹣x）＝f（﹣x）g（﹣x）＝﹣f（x）g（x）＝﹣h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．
∵当x＜0时，，∴h（x）在时单调递减，故函数h（x）在上单调递减．
∵，∴h（3）＝f（3）g（3）＝0，进而h（-3）＝f（-3）g（-3）＝0，
且h（0）=f（0）g（0）=0，∴h（x）＝，∴或．
故选：D
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、单调性和应用，考查导数的运算法则的逆用，函数的单调性与导数的符号之间的关系，考查运算能力，属于中档题．
5．已知定义在上的偶函数的导函数为，函数满足：当时，，且.则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
构造函数，则时，单调递增，为上的奇函数且，则当时，单调递增，不等式,当时，时，.
【解析】
当时，，，
令，则，即当时，单调递增.又为上的偶函数,为上的奇函数且，则当时，单调递增.不等式,当时，，即，即，；当时，，，即，
. 综上，不等式的解集为.
故答案为C.
【点睛】
本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，以及导数在探究函数单调性中的应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集．
6．已知函数为奇函数，，若，则数列的前项和为( )
A．2017 B．2016 C．2015 D．2014
【答案】B
【解析】
∵函数为奇函数图象关于原点对称，
∴函数的图象关于点(,0)对称，
∴函数的图象关于点(,1)对称，
∴，
∵，
∴数列的前2016项之和为，
故选：B
点睛：本题主要考查函数的奇偶性及对称性结合数列，抓住通项特征可以看出是首尾相加是定值，采用倒序相加会很快得出答案。、
7．若定义在上的增函数的图象关于点对称 ，且， 令，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
首先根据题意得到函数为定义在上奇函数，B选项，计算即可判定B正确，C选项，计算，即C正确，D选项，计算，根据的单调性即可判断D正确.
【解析】
因为函数向左平移一个单位得到，
函数的图象关于点对称，
所以的图象关于点，即函数为定义在上奇函数.
B选项，，故B正确.
C选项，，
故C正确.
D选项，，
因为在上为增函数，所以，即.
所以，故D正确.
故选：A
【点睛】
本题主要考查奇函数的性质，同时考查了函数图象的平移变换，属于中档题.
8．已知偶函数的导函数为，且满足，当时，，则使成立的的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
构造函数,因为是偶函数,所以,即g(x)是偶函数, 又,当时, ,即在上单调递减,且,的解为, 的解为,又偶函数,所以使成立的的取值范围为,故选B.
9．已知是定义在上的奇函数，当时，单调递增且，则不
等式的解集为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
∵f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且f（1）=0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，且f（﹣1）=f（1）=0，
若，则不等式等价为f（1），
即＞1，此时解得x>2．
若＜0，则不等式等价f（﹣1），
即＞﹣1，此时解得＜x＜1．
综上不等式的解为＜x＜1或x>2，
故选：B．
10．定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，且，则不等式解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由对任意的，，有，则函数在为减函数，又函数在上为偶函数，则函数在为增函数，再利用函数的性质可得等价于，再求解即可.
【解析】
解：由对任意的，，有，则函数在为减函数，又函数在上为偶函数，则函数在为增函数，
又，则当时，，当或时，，
又等价于，即，即或，
即或，即或，
即不等式解集是.
故选：B.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性及单调性，主要考查了利用函数的性质求解不等式，重点考查了运算能力，属中档题.
11．已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以为周期的周期函数；②函数是以为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由偶函数的定义和条件，将x换为x+2，可得f（x+4）＝f（x），可得周期为4，即可判断①②的正确性；再由奇函数、偶函数的定义，将x换为﹣x，化简变形即可判断③④的正确性．
【解析】
解：偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0，
即有f（﹣x）＝f（x）＝﹣f（2﹣x），
即为f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
可得f（x）的最小正周期为4，故①错误；②正确；
由f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+1）＝﹣f（x﹣1），
又f（﹣x﹣1）＝f（x+1），即有f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），故f（x﹣1）为奇函数，故③正确；
由f（﹣x﹣3）＝f（x+3），若f（x﹣3）为偶函数，即有f（﹣x﹣3）＝f（x﹣3），
可得f（x+3）＝f（x﹣3），即f（x+6）＝f（x），可得6为f（x）的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．
故选B．
【点睛】
本题考查抽象函数的周期性和奇偶性的判断，注意运用定义法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．


12．设为偶函数，为奇函数，且，则是最小正周期为______的周期函数。
【答案】
【解析】
【解析】
因为为偶函数,所以,,
因此,,即是最小正周期为的周期函数.
13．n 是正整数， .则__________.
【答案】-1
【解析】
【解析】
易知.
所以.
14．设函数满足对一切的，，且.已知当时，则=______.
【答案】
【解析】
【解析】
由已知得
.
又，则.
故是以2为周期的周期函数.
由，有.
则.
故答案为:
15．已知，对于，定义：，.如果，那么的解析式是__________。
【答案】
【解析】
【解析】
易知的反函数为，则



类似地，有，，…，=

于是，，.
故.
16．已知函数对任意的，均有，且.则__________.
【答案】
【解析】
注意到，.
于是，.
则.
17．已知定义在上的奇函数，它的图象关于直线对称．当时，，则______．
【答案】2
【解析】
【解析】
由为奇函数，且其图象关于直线对称，
知，且，
所以，．
是以8为周期的周期函数．
又，，
所以．
18．已知是定义在实数集上的函数，且.若，则的值是_________.
【答案】
【解析】
【解析】
由，得.
∴.
∴.
故是以8为周期的周期函数.
∴
.
19．若定义在上的奇函数的图像关于直线对称，且当时，，则方程在区间内的所有实根之和为______.
【答案】30
【解析】
【解析】
由函数的图像关于直线对称，以及为奇函数知.
因此，，即是周期函数，4是它的一个周期.
由是定义在上的奇函数知.
于是，方程化为.
结合图像可知，在、内各有一个实根，且这两根之和为2；在、内各有一个实根，且这两根之和为10；在、内各有一个实根，且这两根之和为18.
故原方程在区间内有六个不同的实根，其和为30.
20．在上定义函数则______.
【答案】1
【解析】
【解析】
先考虑区间上函数值的求法.
若，则
.
于是，对，有.
从而，在区间上是以6为周期的周期函数.
故 .

21．设是定义在上的奇函数 且对任意实数，恒有，当时，．
（1）求证：是周期函数；
（2）计算
（3）当时，求的解析式
【答案】（1）是周期为的周期函数，证明见解析；（2）；
（3）.
【分析】
（1）根据条件可得即得证；
（2）当时，可知，将代入，再由即可求出，当时，结合周期性即可求，
（3）先计算的值，利用函数的周期性即可求解；
【解析】
（1）因为，所以．
所以是周期为的周期函数；
（2）因为当时，．
所以，，，
因为是周期为的周期函数，
所以，，
，
所以.
（3）当，，所以，
所以，
又，
所以，
即，．
当时，，
，
综上所述：
【点睛】
关键点点睛：证明函数的周期性用定义即可，求周期函数在某一区间的解析式，一般求哪个区间的解析式就把设在哪个区间，再利用周期性和奇偶性即可求解.
22．给定函数、，定义.
（1）证明：；
（2）若，，证明：是周期函数；
（3）若，，，，，证明：是周期函数的充要条件是为有理数.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）运用新定义，去绝对值，即可得证；
（2）由正弦函数和余弦函数的周期，即可得证；
（3）运用周期函数的定义，结合和差化积公式，即可得证．
【解析】
证明：（1）由F（f（x），g（x）），
f（x）≥g（x）时，f（x），
f（x）＜g（x）时，g（x），
则F（f（x），g（x））；
（2）f（x）＝sin2x﹣cosx，g（x）＝sin2x+cosx，
F（f（x），g（x））sin2x+|cosx|，
由F（f（x+π），g（x+π））＝sin（2x+2π）+|cos（x+π）|＝sin2x+|cosx|
＝F（f（x），g（x）），即F（f（x），g（x））是最小正周期为π的周期函数；
（3）f（x）+g（x）是周期函数⇔∀x∈R，∃T≠0，f（x+T）+g（x+T）＝f（x）+g（x）恒成立
⇔A1sinω1（x+T）+A2sinω2（x+T）＝A1sinω1x+A2sinω2x，
由A1[sinω1（x+T）﹣sinω1x]+A2[sinω2（x+T）﹣sinω2x]＝0，
可得sinω1（x+T）﹣sinω1x＝0，sinω2（x+T）﹣sinω2x＝0，
即2cos（ω1xω1T）sinω1T＝0，2cos（ω2xω2T）sinω2T＝0，
由x∈R，可得sinω1T＝0，sinω2T＝0，
即有ω1T＝kπ，k∈Z；ω2T＝mπ，m∈Z，k，m≠0，
即有为有理数，
可得f（x）+g（x）是周期函数的充要条件是为有理数．
【点睛】
本题考查分段函数的表示和性质，考查周期函数的判断和证明，注意定义法的合理运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
23．已知函数，若存在非零实数､，使得对定义域内任意的，均有成立，则称该函数为阶梯周期函数.
（1）判断函数是否为阶梯周期函数，请说明理由.(其中表示不超过的最大整数，例如：，)
（2）已知函数，的图像既关于点对称，又关于点对称.
①求证：函数为阶梯周期函数；
②当时，(､为实数)，求函数的值域.
【答案】（1）是，理由见解析；（2）①证明见解析；②，.
【分析】
（1）根据阶梯周期函数的定义求解判断.
（2）①根据函数的图像既关于点对称，又关于点对称，得到求解.②根据①的结论，分和两种情况讨论求解.
【解析】
（1）因为,
所以存在,使得函数为阶梯周期函数
（2）①因为函数的图像既关于点对称，又关于点对称，
所以 ，
两式相减得：，
即
所以函数为阶梯周期函数；
②当时，，
由，得 ，
当时，，
由，得 ，
综上：函数的值域是.
【点睛】
关键点点睛：本题关键是阶梯周期函数定义的理解以及若关于点对称，则结合应用.
24．已知周期函数的图象如图所示，

（1）求函数的周期；
（2）画出函数的图象；
（3）写出函数的解析式.
【答案】（1）.（2）见解析 （3）
【分析】
（1）根据周期定义结合图象求得结果；
（2）把向左平移一个单位得的图象；
（3）根据一次函数解析式得在一个周期上的解析式，再根据周期得结果.
【解析】
解：（1）.
（2）把向左平移一个单位得的图象，即如图所示

（3）
所以.
【点睛】
本题考查函数周期、图象变换以及解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.
25．)是定义在R上的奇函数，且 ，当 时， ，
（1）求函数的周期；
（2）求函数在的表达式；
（3）求.
【答案】（1）4；（2） ；（3）.
【分析】
（1）根据已知推导；（2）根据求解；（3）根据周期和已知求值.
【解析】
解：因为 ，
所以，
所以周期.
(2)任取 ，则 ，所以
因为是奇函数，所以 ，
即.
（3）因为的周期为4，所以 ，
又，
所以.
【点睛】
本题主要考查函数周期性，奇偶性.
26．设函数在上满足，，且在闭区间上，只有．
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）试求方程在区间上的根的个数，并证明你的结论．
【答案】（1）是非奇非偶函数；（2）个根，理由见解析
【分析】
（1）分函数是偶函数、奇函数两种情况讨论，利用特殊值法推出矛盾，进而可说明函数为非奇非偶函数；
（2）推导出函数是以为周期的周期函数，推导出方程在区间上的根，由此可得出方程在区间和上的根，结合周期性可得出方程上的根的个数.
【解析】
（1）由已知条件，得函数的图象关于直线，对称．
若为偶函数，由，得，由关于对称，得，矛盾；
若为奇函数，则，矛盾；
所以是非奇非偶函数；
（2）由，得．
由，得．，
得，所以函数的周期为．
若，则由，得，矛盾.
同理，若，则由，得，矛盾．
因此在上，仅有两解，．
所以在时也只有两解，，
在上仅有两解．
所以方程在上共有个根，在上共有个根，
所以方程在区间共有个根．
【点睛】
本题考查函数奇偶性的判断，同时也考查了函数零点个数的求解，考查了函数周期性的应用，属于中等题.
27．已知函数对任意满足＋＝0，＝，若当时，(a＞0且a≠1)，且．
（1）求的值；
（2）求实数的值；
（3）求函数的值域．
【答案】（1） f(1)＝0 ；（2） a=，b=﹣1；（3）[﹣，)．
【分析】
（1）对题干条件进行赋值，即可求得的值；
（2）由题意可得，f(x)是奇函数，即可求得b的值，根据＝，可得f(x)的周期为2，又，代入数据，即可求得a的值；
（3）根据f(x)在上的解析式，可求得其在上的范围，根据f(x)是奇函数，可得f(x)在(﹣1，0)上的范围，根据f(x)的周期为2，可得f(x)在R上的值域，令t=f(x) 利用二次函数的性质，即可求得g(x)的值域.
【解析】
（1）∵f(x)+f(﹣x)=0，∴f(1)+f(-1)=0……①，
∵f(x﹣1)=f(x+1)，∴f(－1)=f(1)……②，
由①②可得f(1)＝0；
（2）∵f(x)+f(﹣x)=0，
∴f(﹣x)=﹣f(x)，即f(x)是奇函数，
所以，所以，即，
∵f(x﹣1)=f(x+1)，
∴f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，
又f()=f()=f()=1-=，
解得a=，
所以；
（3）当时，f(x)=ax+b=()x﹣1∈(﹣，0]，
由f(x)为奇函数知，
当x∈(﹣1，0)时，f(x)∈(0，)，
又f(x)的周期为2，
∴当x∈R时，f(x)∈(﹣，)，
设t=f(x)∈(﹣，)，
∴g(x)=f2(x)+f(x)=t2+t=(t+)2﹣∈[﹣，)，
故函数g(x)=f2(x)+f(x)的值域为[﹣，)．
【点睛】
本题考查奇函数的应用、函数的周期性、二次函数的图像与性质，综合性较强，考查分析理解，求值计算的能力，考查学生对基础知识的掌握程度，属中档题.
28．已知函数，且.
（1）求a的值；
（2）求出的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证明）
（3）是否存在正整数n，使得在区间内恰有2021个零点，若存在，求出n的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）（2）证明见解析（3）存在正整数，理由见解析.
【分析】
（1）计算时的值，从而解得的值；
（2）根据，求得的最小正周期为；
（3）根据的最小正周期为，且，内有4个零点，可解得．
【解析】
（1）函数，
令，得，解得；
（2）
，
所以的最小正周期为．
（3）存在正整数，使得在区间，内恰有2021个零点．
当时，．
设，则，
于是，
令，得或，
于是，或或，其中，
当时，．
设，则，
于是，令，
解得或，故在没有实根．
综上讨论可得，在，上有4个零点，
而，
所以函数在有2021个零点.
【点睛】
本题考查三角函数的周期性及其求法，根据三角函数的值求角的大小，判断在上有4个零点是解题的关键，属于难题.
29．已知函数.
（1）求函数的定义域和值域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）判断函数的周期性，若是周期函数，求其周期．
【答案】（1）定义域为，值域为；（2）偶函数；（3）是周期函数，最小正周期为.
【分析】
（1）由可求得函数的定义域，由结合对数函数的单调性可得出函数的值域；
（2）利用函数奇偶性的定义判断可得出结论；
（3）利用函数周期性的定义判断可得出结论.
【解析】
（1）对于函数，可得，则，解得，
所以，函数的定义域为.
由于，则，即函数的值域为；
（2）函数的定义域关于原点对称，
且，
所以，函数为偶函数；
（3）如下图所示：

函数在上是最小正周期为的周期函数，
，
所以，函数是周期函数，且最小正周期为.
【点睛】
思路点睛：利用定义法判断函数的奇偶性，步骤如下：
（1）一是看定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；
（2）若函数的定义域关于原点对称，接下来就是判断与之间的关系；
（3）下结论.
30．定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，求的值．
【答案】
【分析】
由函数周期性和奇偶性可得，而当时，，从而可求出答案
【解析】
解：因为的最小正周期是，且为偶函数，
所以，
因为当时，，
所以，
所以
【点睛】
此题考查了利用函数的周期性和奇偶性求值，属于基础题.