考点08 二次函数在闭区间上的最值（值域）问题的解法-2022年新高考数学方法研究（人教A版2019）

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专题二  函数考点8  二次函数在闭区间上的最值（值域）问题的解法 【方法点拨】一、知识梳理   二、二次函数在闭区间上的最值（值域）问题的解法【高考模拟】1．已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题设可得，又即为方程两个不等的实根，即有，结合、得，即可求其最小值.【解析】由题意知：当有，∵知：是两个不等的实根.∴，而，∵，即，∴，令，则，∴当时，的最小值为.故选：B【点睛】关键点点睛：由已知条件将函数转化为一元二次方程的两个不同实根为，结合韦达定理以及，应用二次函数的性质求最值即可.2．已知函数，满足，且，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题设知关于对称且开口向上，根据二次函数的对称性有，求解集.【解析】依题意，有二次函数关于对称且开口向上，∴根据二次函数的对称性：若，即有，∴.故选：C【点睛】关键点点睛：由题设可得关于对称且开口向上，根据对称性求函数不等式的解集即可.3．已知函数，若存在使不等式成立，则整数的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先对求导可得，单调递增，原不等式可化为存在使得有解，即对于有解，只需，利用导数判断的单调性求最小值即可.【解析】由可得，所以在单调递增，所以不等式成立等价于，所以对于有解，令，只需，则，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，，，所以，所以，整数的最小值为，故选：A.【点睛】方法点睛：若不等式（是实参数）有解，将转化为或有解，进而转化为或，求的最值即可.4．已知函数，若存在，使得在上恰有两个零点，则实数b的最小值为（    ）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】由函数在，上恰好有2个零点可得，可得零点必在区间的端点，讨论零点为2和时，解得的值，将的值代入使得函数值（b）求出的值即可．【解析】因为函数在，上恰有两个零点，所以在与时恰好取到零点的最小值和最大值时，实数b取最小值，若，的零点满足（2），解得，或，当，，满足在，上恰好有2个零点，则（b），且，解得（舍或（舍，当时，且，满足在，上恰好有2个零点，则（b），，所以，即整理，解得（舍，或解得：（舍或，综上所述，当时满足在，上恰好有2个零点．故答案为：．【点睛】本题考查函数的零点和方程根的关系，考查了计算能力，同时考查了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题.5．已知数列的前项和为，，若存在两项，，使得，则的最小值为（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得．求得，，运用基本不等式，检验等号成立的条件，根据单调性即可得出结果.【解析】解：，可得，即，时，，又，相减可得，即，是首项为，公比为的等比数列．所以．，即，得，所以，当且仅当时取等号，即为，．因为，取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，因为，在上单调递减，在上单调递增，所以当，时，取得最小值为．故选：B.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．6．已知函数，若存在实数，当时，，则的最小值是（   ）.A． B． C． D．【答案】C【分析】作出分段函数的图像，结合图像确定的范围及等量关系，再将所求式子转化为关于的函数，利用函数的单调性求解最小值.【解析】如图： ， 即, 令,则当 时取得最小值 .故选C【点睛】本题主要考查分段函数图像、函数零点、函数最小值的应用，解题中主要应用了数形结合的思想、换元思想、函数思想，属于中档题；解题的关键有两个：一是准确作出分段函数图像，利用已知条件确定出范围以及；二是将所求式子转化为关于的函数，利用函数的性质求最小值.7．已知实数、满足,若存在、满足，则的最小值为（ ）A．1    B．    C．    D．【答案】B【解析】试题分析：可行域为直线围成的三角形区域， 到点的距离最小值为，所以的最小值为考点：线性规划问题8．若实数、、，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以 ，所以=，当且仅当时，等号成立. 故选D.点睛：本题主要考查均值不等式的灵活应用，关键是对已知等式分解为.9．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）A．    B．    C．    D．【答案】D【解析】试题分析：由题意以为直径的圆与圆有公共点，则，解得．所以的最小值为1，故选D．考点：两圆的位置关系．【名师点睛】1．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．10．已知函数，，函数的最小值，则实数的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得，先证明，可得当时，单调递减，当时，单调递增，则，设，可证明在上单调递减，，从而可得结果.【解析】求得考察是否有零点，令，可得，记，,在上递减，在上递增，所以 ，即，因为,所以，故可知，当时，单调递减，当时，单调递增，从而由上知，设，记在上单调递减，，的最小值为0.故选C.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值，属于难题.求函数最值步骤：(1) 求导数；(2)判断函数的单调性；(3)若函数单调递增函数或单调递减，利用单调性求最值；(4) 如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（5）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.11．已知函数，若存在，使，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意， 有解∴sinφ＋a+cosφ＋a=0∴－2a=sinφ+cosφ=sin（φ+）∵φ∈（，），∴φ+∈（，），∴sin（φ+）∈（，1）∴sin（φ+）∈（1，）∴-2a∈（1，）∴a∈。故答案选B。点睛：这个题目考查了方程有解求参的问题；可以变量分离，转化为求值域问题；可以分离成两个函数转化为两个函数图像有交点问题；还能直接构造要研究的函数，研究该函数和x轴的交点问题。这三个方法是等价的，可以通用。12．已知正项等比数列中，若存在两项、，使，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据可得出，利用基本不等式即可求出的最小值.【解析】正项等比数列中，，所以.因为，所以.因为，当且仅当，即时取等号，因为、，所以，，所以的最小值为5.故选：A.【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.13．若函数在区间上存在最小值，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意不妨设，求出的范围，根据三角函数的单调性可得，从而可求出的最小值.【解析】对于函数，令，得，当时，在上单调递减，当时，.又因为在上存在最小值，所以的最小值为.故选：A.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，掌握性质是解题的关键，属于基础题.14．设函数，若存在，使，则实数a的值为（    ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】表示点与点间的距离的平方，的最小值表示曲线上的点到直线的距离的最小值，设过点到直线的距离的最小值，利用导数求出切点，利用点到直线的距离公式可得，满足条件存在使，求出过切点且与垂直的直线方程，联立即可求解.【解析】表示点与点间的距离的平方，的最小值表示曲线上的点到直线的距离的最小值，设过点到直线的距离的最小值，，则由，解得 即为点到直线的距离，，所以，由，解得，所以.故选：A【点睛】本题考查了不等式能成立问题、导数在研究最值中的应用以及导数的几何意义，属于中档题.15．已知圆：和两点，，若圆上存在点，使得，则的最小值为（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得点P的轨迹方程是以位直径的圆，当两圆外切时有：，即的最小值为1.本题选择D选项.点睛：在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围16．若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意，函数g（x）是奇函数，可得函数f（x）最大值为M，最小值为N，且M+N＝8，可得2t＝8，即可求出实数t的值．【解析】由题意，，函数g（x）是奇函数， 即有g（x）的最大值S和最小值s互为相反数，又函数f（x）最大值为M，最小值为N，∴M+N＝（S+t）+（s+t）＝8，且M+N＝8，∴2t＝8，∴t＝4，故选D．【点睛】本题考查函数的最大值、最小值，考查函数是奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．已知函数，若存在实数，对任意都有成立.则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，则，设，则，利用导数可求，从而得到的最值，故可得的取值范围，从而得到正确的选项.【解析】，故，令，则，设，则，又，若，则，故在为增函数；若，则，故在为减函数；故，故，所以，，当且仅当时取最大值，当且仅当时取最小值，故即的最小值.故选：C.【点睛】本题考查与三角函数有关的函数的最值，注意通过换元法把与三角函数有关的函数问题转化为多项式函数，后者可以利用导数来讨论，本题属于中档题.18．已知不等式的解集为，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由一元二次不等式与一元二次方程的关系，根与系数的关系，即可求解.【解析】因为的解集为，所以2,4是方程的根且，所以，即，故，，，，故选：D19．设为正实数，且，则的最大值与最小值之差为_______.【答案】8【分析】利用换元法，设，，则，利用基本不等式将其转化为，解不等式即可得到m的取值范围，从而求得的最大值与最小值之差.【解析】设，，则当且仅当，即，即或时，等号成立.，即，解得，即所以的最大值为9，的最小值为1，最大值与最小值之差为8.故答案为：8【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.20．已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围_______.【答案】【分析】解一元二次不等式求集合A、B，由必要不充分条件知，列方程组求的取值范围.【解析】由题意，或，，或，∵是的必要不充分条件，即.∴，解得，故答案为：.21．不等式对恒成立，则实数的取值范围为_______.【答案】；【分析】由题意可得，不等式成立；当，结合二次函数的性质可得，进而可得结果.【解析】① 当即时，不等式显然成立；② 当，欲使不等式对恒成立，则需满足，解之；综合①②，则实数的取值范围为.故答案为：22．已知实数满足，则的最大值为___________.【答案】5【分析】利用基本不等式求得的取值范围，注意，分类和讨论可得，然后由二次函数知识得的最大值．【解析】，当时，，当时，，， 所以，时，，时，，，所以时，．故答案为：5．【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的最大值问题，解题关键是用基本不等式确定的范围时，，需要分类讨论才能得出的范围，否则易出错：，得，当然这样做无法求得最大值．23．已知函数 f (x) = x2 + 2ax +1，存在 x0 ∈ R ，使得及同时成立，则实数 a 的取值范围是_______________.【答案】【分析】令，因为开口向上，故的两根间距大于1，故有，再令，因为开口向上，故的两根间距小于1，故有，然后，求出的解即可.【解析】令，则，则有存在，使得及同时成立，因为开口向上，故的两根间距大于1，所以，解得或，同理，令，则，则有存在，使得及同时成立，因为开口向上，故的两根间距小于1，所以，即，解得，综上所述，故答案为：【点睛】本题关键时理解“存在 x0 ∈ R ，使得及同时成立”的意义，距离之差为的两个数对应的函数值在和之间，所以需要分别计算和的两根距离，然后和1比较大小.24．已知关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____.【答案】.【分析】根据题意，可得，根据不等式与解集的关系，可得，根据根的大小关系，即可求得答案.【解析】根据题意，可得，所以不等式可化为，因为解集是，所以，解得.故答案为：25．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为____________.【答案】【分析】根据二次函数的性质，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可.【解析】因为，该函数的值域为，所以，由，可得，因为的解集为，所以且，消去可得：，而，所以，故答案为：26．对任意，都有不等式恒成立，则的取值范围是________【答案】【分析】转化为，对任意恒成立，利用单调性求出最值即可得解.【解析】对任意，都有不等式恒成立，转化为，对任意恒成立，转化为，因为函数在上单调递增，所以，所以.故答案为：.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若在上恒成立，则；②若在上恒成立，则；③若在上有解，则；④若在上有解，则.27．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为___________.【答案】【分析】依题意和为方程的两根，利用韦达定理得到方程即可求出和的值，再代入解一元二次不等式即可；【解析】解：因为关于x的不等式的解集为所以和为方程的两根，由韦达定理可得，解得，所以原不等式为，即，解得.即不等式的解集为故答案为：28．若对时，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________..【答案】【分析】运用换元法,参变分离法来求解不等式恒成立问题.【解析】不等式转化为,化简为，令,又,则,即恒成立，令，又，当时，取最小值，所以，恒成立,化简得，解不等式得.故答案为：【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题,在求解过程中运用了参变分离法,注意题目中变量的取值范围.29．已知函数，当时，恒成立，则的最大值为________.【答案】2【分析】由时，恒成立，转化为恒成立，根据中，a，b系数相等，令求解.【解析】因为时，恒成立，所以恒成立，令，则或，当时， ，即，当时，，即，要使时，的等号成立，则，即，解得，，函数图象开口向上，对称轴为，所以则的最大值为2，故答案为：2【点睛】关键点点睛：由中，a，b系数相等，令是本题求解的关键..30．已知、为实数，若关于x的不等式的解集为，则______．【答案】【分析】由题意可知，关于的方程的两根，利用韦达定理可求得、的值，由此可求得结果.【解析】不等式的解集是，方程的两根为，，则，，即，，，故答案为：．