模块综合（综合检测）-高中数学人教A版（2019）必修第二册 (2)

模块检测

(120分钟　150分)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)

1.复数z=(i为虚数单位)的虚部为(　　)

A.1 B.-1 C.±1 D.0

【解析】选B.因为z==-1-i,所以复数z的虚部为-1.

2.当前,国家正大力建设保障性住房以解决低收入家庭住房困难的问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户,假设第一批保障性住房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题,若采用分层抽样的方法决定各社区户数,则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为(　　)

A.40 B.30 C.20 D.36

【解析】选A.×90=40.

3.一组数据中的每一个数据都乘以2,再减去80,得到一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是(　　)

A.40.6,1.1  B.48.4,4.4

C.81.2,44.4  D.78.8,75.6

【解析】选A.设原来数据的平均数和方差分别为和s,

则　解得

4.已知点O,N在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,则点O,N依次是△ABC的(　　)

A.重心　外心  B.重心　内心

C.外心　重心  D.外心　内心

【解析】选C.由||=||=||知,O为△ABC的外心;由++=0,得=+,取BC边的中点D,则=+=2,知A,N,D三点共线,且AN=2ND,故点N是△ABC的重心.

5.一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键,则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为(　　)

A. B. C. D.

【解析】选A.任意敲击0到9这十个数字键两次,其得到的所有结果为(0,i)(i=0,1,2,…,9);(1,i)(i=0,1,2,…,9);(2,i)(i=0,1,2,…,9);…;(9,i)(i=0,1,2,…,9).故共有100种结果.两个数字都是3的倍数的结果有(3,3),(3,6),(3,9),(6,3),(6,6),(6,9),(9,3),(9,6),(9,9),共有9种.故所求概率为.

6.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是(　　)

A.PB⊥AD

B.平面PAB⊥平面PBC

C.直线BC∥平面PAE

D.直线PD与平面ABC所成的角为45°

【解析】选D.选项A,B,C显然错误.因为PA⊥平面ABC,所以∠PDA是直线PD与平面ABC所成的角.因为ABCDEF是正六边形,所以AD=2AB.

因为tan∠PDA===1,

所以直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D.

【补偿训练】

在等腰Rt△A′BC中,A′B=BC=1,M为A′C的中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为(　　)

A.30°　　　B.60°　　　C.90°　　　D.120°

【解析】选C.如图所示,

由A′B=BC=1,∠A′BC=90°,得A′C=.

因为M为A′C的中点,所以MC=AM=.

且CM⊥BM,AM⊥BM,所以∠CMA为二面角C-BM-A的平面角.因为AC=1,MC=AM=,所以∠CMA=90°.

7.在△ABC中,若(+)·(-)=0,则△ABC为(　　)

A.正三角形  B.直角三角形

C.等腰三角形  D.形状无法确定

【解析】选C.因为(+)·(-)=0,

所以-=0,=,

所以CA=CB,△ABC为等腰三角形.

【补偿训练】

圆O为△ABC的外接圆,半径为2,若+=2,且||=||,则向量在向量方向上的投影为(　　)

A.1　　　　 B.2　　　　 C.3　　　　D.4

【解析】选C.因为+=2,所以O是BC的中点,故△ABC为直角三角形.在△AOC中,有||=||,所以∠B=30°.

由定义,向量在向量方向上的投影为||cos B=2×=3.

8.已知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一球面上,底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内,当此四棱锥体积取得最大值时,其表面积等于4+4,则球O的体积等于(　　)

A.π  B.π

C.π  D.π

【解析】选B.由题意可知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一个球面上,底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内,当体积最大时,可以判定该棱锥为正四棱锥,底面在球大圆上,可知底面正方形的对角线长度的一半为球的半径r,且四棱锥的高h=r,进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为r的正三角形,底面为边长为r的正方形,所以该四棱锥的表面积为S=4×(r)2+(r)2=2r2+2r2=(2+2)r2=4+4,因此r2=2,r=,

所以球O的体积V=πr3=π×2=.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

9.奥林匹克会旗中央有5个套连的圆环,颜色自左至右,上方依次为蓝、黑、红,下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上,老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学,每人分得1个,则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是(　　)

A.对立事件

B.互斥事件

C.不对立事件

D.不互斥事件

【解析】选BC.甲、乙不能同时得到红色,因而这两个事件是互斥事件;又甲、乙可能都得不到红色,即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件,故这两个事件不是对立事件.

10.下列说法:①一组数据不可能有两个众数;

②一组数据的方差必须是正数;

③将一组数据中的每个数据都加上或减去同一常数后,方差恒不变;

④在频率分布直方图中,每个小长方形的面积等于相应小组的频率.

其中错误的有(　　)

A.① B.② C.③ D.④

【解析】选AB.若一组数据中,有两个或几个数据出现的次数相同且最多,则这几个数据都是这组数据的众数.可见,一组数据的众数可以不唯一,即①错误.一组数据的方差是标准差的平方,必须是非负数,即②错误.根据方差的定义知③正确.根据频率分布直方图的定义知④正确.

11.下列事件中,是随机事件的有(　　)

A.从集合{2,3,4,5}中任取两个元素,其和大于7

B.明年清明节这天下雨

C.物体在地球上不受地球引力

D.盒子中有5个白球,2个红球,从中任取3个球,则至少有1个白球

【解析】选AB.A,B是随机事件;C是不可能事件;D是必然事件.

12.如图,在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,判断下列结论正确的是(　　)

A.PC∥平面OMN

B.平面PCD∥平面OMN

C.OM⊥PA

D.直线PD与直线MN所成角的大小为90°

【解析】选ABC.连接AC,易得PC∥OM,所以PC∥平面OMN,结论A正确.同理PD∥ON,所以平面PCD∥平面OMN,结论B正确.由于四棱锥的棱长均相等,所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2,所以PC⊥PA,又PC∥OM,所以OM⊥PA,结论C正确.由于M,N分别为侧棱PA,PB的中点,所以MN∥AB.又四边形ABCD为正方形,所以AB∥CD,所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角,即为∠PDC.又三角形PDC为等边三角形,所以∠PDC=60°,故D错误.

三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)

13.a为正实数,i为虚数单位,=2,则a=________. 

【解析】==1-ai,

则=|1-ai|==2,

所以a2=3.

又因为a为正实数,所以a=.

答案:

14.如图所示,是在某一年全国少数民族运动会上,七位评委为某民族舞蹈运动员打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为________,方差为________. 

【解析】七位评委为某民族舞蹈运动员打出的分数是:79,84,84,86,84,87,93,去掉一个最高分和一个最低分后所剩数据是84,84,86,84,87,平均分等于(84+84+86+84+87)=85,

则方差s2=[3(84-85)2+(86-85)2+(87-85)2]=1.6.

答案:　85　1.6

15.已知a,b表示不同的直线,α,β,γ表示不重合的平面.

①若α∩β=a,b⊂α,a⊥b,则α⊥β;

②若a⊂α,a垂直于β内任意一条直线,则α⊥β;

③若α⊥β,α∩β=a,α∩γ=b,则a⊥b;

④若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β.

上述命题中,正确命题的序号是________. 

【解析】对①可举反例,如图,需b⊥β才能推出α⊥β;对③可举反例说明,当γ不与α,β的交线垂直时,即可知a,b不垂直;根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确.

答案:②④

16.已知两点A(-1,0),B(-1,).O为坐标原点,点C在第一象限,且∠AOC=120°,设=-3+λ(λ∈R),则λ=________. 

【解析】由题意,得=-3(-1,0)+λ(-1,)=(3-λ,λ),

因为∠AOC=120°,

所以=-,

即=,

解得λ=.

答案:

四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)青海玉树发生地震后,为了重建,对某项工程进行竞标,现共有6家企业参与竞标,其中A企业来自辽宁省,B,C两家企业来自山东省,D,E,F三家企业来自河南省,此项工程需要两家企业联合施工,假设每家企业中标的概率相同.

(1)列举所有企业的中标情况;

(2)在中标的企业中,至少有一家来自山东省的概率是多少?

【解析】(1)所有企业的中标情况为:

AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF.共15种.

(2)在中标的企业中,至少有一家来自山东省的情况有:AB,AC,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,共9种,在中标的企业中,至少有一家来自山东省的概率是P==.

18.(12分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a-2bsin A=0.

(1)求角B的大小;

(2)若a+c=5,且a>c,b=,求·的值.

【解析】(1)因为a-2bsin A=0,

所以sin A-2sin Bsin A=0,

因为sin A≠0,所以sin B=,

又B为锐角,所以B=.

(2)由(1)知,B=,b=,

所以根据余弦定理得7=a2+c2-2accos ,

整理得(a+c)2-3ac=7,又a+c=5.

所以ac=6,又a>c,所以a=3,c=2,

于是cos A===,

所以·=||||cos A=2××=1.

19.(12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.

(1)证明:BC1∥平面A1CD;

(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.

【解析】(1)连接AC1交A1C于点F,连接DF,

则F为AC1的中点.

又D是AB的中点,则BC1∥DF.

因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,

所以BC1∥平面A1CD.

(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.

因为AC=CB,D为AB的中点,

所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,

所以CD⊥平面ABB1A1.

由AA1=AC=CB=2,AB=2得

∠ACB=90°,CD=,A1D=,DE=,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.

所以=××××=1.

20.(12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:

　(1)求出表中M,p及图中a的值;

(2)若该校高一学生有360人,试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数.

【解析】(1)由分组[10,15)内的频数是10,频率是0.25知,=0.25,所以M=40.

因为频数之和为40,所以10+25+m+2=40,解得m=3,故p===0.075.

因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商,所以a==0.125.

(2)因为该校高一学生有360人,分组[10,15)内的频率是0.25,所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25=90.

21.(12分)在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=2csin A.

(1)确定角C的大小;

(2)若c=,求△ABC周长的取值范围.

【解析】(1)已知a,b,c分别为角A,B,C所对的边,由a=2csin A,得sin A=2sin Csin A,

又sin A≠0,则sin C=,所以C=或C=,

因为△ABC为锐角三角形,所以C=舍去,

所以C=.

(2)因为c=,sin C=,所以由正弦定理得:

====2,

即a=2sin A,b=2sin B,

又A+B=π-C=,

即B=-A,

所以a+b+c=2(sin A+sin B)+

=2[sin A+sin]+

=2+

=3sin A+cos A+

=2+

=2·sin+,

因为△ABC是锐角三角形,

所以<A<,

所以<sin≤1,

则△ABC周长的取值范围是(3+,3].

22.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,N是PB的中点,E为AD的中点,过A,D,N的平面交PC于点M.

求证:(1)EN∥平面PDC;

(2)BC⊥平面PEB;

(3)平面PBC⊥平面ADMN.

【证明】(1)因为AD∥BC,BC⊂平面PBC,

AD⊄平面PBC,所以AD∥平面PBC.

又平面ADMN∩平面PBC=MN,

所以AD∥MN.

又因为AD∥BC,所以MN∥BC.

又因为N为PB的中点,

所以M为PC的中点,

所以MN=BC.

因为E为AD的中点,DE=AD=BC=MN,

所以DE?MN,

所以四边形DENM为平行四边形,

所以EN∥DM.

又因为EN⊄平面PDC,DM⊂平面PDC,

所以EN∥平面PDC.

(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°,E为AD中点,

所以BE⊥AD.

又因为PE⊥AD,PE∩BE=E,

所以AD⊥平面PEB.

因为AD∥BC,

所以BC⊥平面PEB.

(3)由(2)知AD⊥PB.

又因为PA=AB,且N为PB的中点,

所以AN⊥PB.

因为AD∩AN=A,

所以PB⊥平面ADMN.

又因为PB⊂平面PBC,

所以平面PBC⊥平面ADMN.