专题07 方程与不等式-初升高数学衔接必备教材（解析版）

专题07方程与不等式

方程

是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中,,叫做这个方程的二次项,,叫做一次项,6叫做常数项．

我们看下面的两个方程组：

第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．

下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．

一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．

【典型例题】

已知方程组有两组相等的实数解，求的值，并求出此时方程组的解.

【答案】,当时 ;当时

【解析】

把②代入①后计算得，

∵方程组有两组相等的实数解，

∴△＝（12m）2−4（2m2+1）•12＝0，

解得：，

当时，解得

当时，解得

【变式训练】

解方程组：

【答案】

【解析】

，

由①得 （x+y）（x-2y）=0，

∴x+y=0或x-2y=0，

由②得 （x+y）2=1，

∴x+y=1或x+y=-1，

所以原方程组化为，

所以原方程组的解为．

【能力提升】

解方程组：

【答案】

【解析】

由②得：

所以

,

.

为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．

我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．

 （1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知

不等式ax2＋bx＋c＞0的解为

             x＜x1，或x＞x2；

    不等式ax2＋bx＋c＜0的解为

             x1＜x＜x2．

    （2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－，由图2.3－2②可知

不等式ax2＋bx＋c＞0的解为

             x≠－；

    不等式ax2＋bx＋c＜0无解．

 （3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知

不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；

不等式ax2＋bx＋c＜0无解．

 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．

【典型例题】

解下列不等式：

(1)－3x2－2x＋8≥0；

(2)0＜x2－x－2≤4；

【答案】(1) .(2) .

【解析】(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，

即(3x－4)(x＋2)≤0.

解得－2≤x≤，

所以原不等式的解集为.

(2)原不等式等价于

⇔

⇔⇔

借助于数轴，如图所示，

原不等式的解集为.

【变式训练】

求不等式的解．

【答案】或

【解析】

由题意，不等式，可得或，

由不等式组，可得解集为

由不等式组，可得解集为或，

所以不等式的解集为或.

【能力提升】

解下列不等式：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】

（1）由题意，不等式，可化为，

所以不不等式的解集为；

（2）由题意，可得，所以不等式的解集为；

（3）由不等式，可化为，即，

所以不等式的解集为或.

专题验收测试题

1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A．    B．

C．    D．

【答案】D

【解析】试题分析：解不等式3x＋4≤13，得：x≤3，

解不等式﹣x＜1，得：x＞﹣1，

则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，

故选：D．
2． 20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是（ ）

A．    B．

C．    D．

【答案】D

【解析】

试题分析：要列方程（组），首先要根据题意找出存在的等量关系.本题等量关系为：

①男女生共20人；

②男女生共植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵.

据此列出方程组：.

故选D．

3．解不等式，解题依据错误的是（　　）

解：①去分母，得5（x+2）＜3（2x﹣1）

②去括号，得5x+10＜6x﹣3

③移项，得5x﹣6x＜﹣3﹣10

④合并同类项，得﹣x＜﹣13

⑤系数化1，得x＞13

A．②去括号法则        B．③不等式的基本性质1

C．④合并同类项法则    D．⑤不等式的基本性质2

【答案】D

【解析】

由题目中的解答步骤可知，

②去括号法则，故选项A正确，

③不等式的基本性质1，故选项B正确，

④合并同类项法则，故选项C正确，

⑤不等式的基本性质3，故选项D错误，

故选：D．

4．已知温州至杭州铁路长为380千米，从温州到杭州乘“G”列动车比乘“D”列动车少用20分钟，“G”列动车比“D”列动车每小时多行驶30千米，设“G”列动车速度为每小时x千米，则可列方程为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

解：设“G”列动车速度为每小时x千米，则“D”列动车速度为每小时（x﹣30）千米，

依题意，得：．

故选：D．

5．不等式组的整数解有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【答案】C

【解析】

解：解不等式①，得x≤2，

解不等式②，得x＞﹣3．

∴原不等式组的解集为﹣3＜x≤2．

又∵x为整数，

∴x＝﹣2，﹣1，0，1，2．

故选：C．

6．方程组的实数解的个数是（ ）

A．4    B．2    C．1    D．0

【答案】B

【解析】

由①得
原方程组可以转化为 解得
或无解．
故方程组的实数解的个数是2个．
故选：B．

7．以下说法：①关于x的方程的解是x=c（c≠0）；   

②方程组正整数的解有2组；     

③已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；其中正确的有（    ）

A．②③    B．①②    C．①③    D．①②③

【答案】A

【解析】①于x的方程x+ ==c+ 的解是x=c或x=（c≠0），此项错误；②方程组 的正整数解有2组，方程组，因x、y、z是正整数，可得x+y≥2，又因23只能分解为23×1方程②变为（x+y）z=23，所以只能是z=1，x+y=23将z=1代入原方程转化为，解得x=2，y=21或x=20，y=3；所以这个方程组的正整数解是（2，21，1）、（20，3，1），此项正确；

③关于x，y的方程组 ，其中-3≤a≤1，解得x=1+2a，y=1-a，x+y=2+a，当a=1时，x+y=3，故方程组的解也是方程x+y=4-a=3的解，此项正确．故选A．

点睛：此题主要考查了分式方程的解法以及二元二次方程组的解法等知识，正确将原式变形是解题关键．
8．二元二次方程组的解是

A．    B．

C．    D．

【答案】C

【解析】

本题可将选项中的四组答案代入检验看是否符合二元二次方程组．也可根据第一个式子，得出的关系，代入第二个式子求解

依题意得=3-

∴y=（3-=-10

-2+3+10=0

2-3-10=0

（-5）（+2）=0

1=5，2=-2

∴方程的解为：，故选C
9．一元二次方程kx2+4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞4 B．k≥4 C．k≤4 D．k≤4且k≠0

【答案】D

【解析】根据题意得k≠0且△＝42﹣4k≥0，

解得k≤4且k≠0．

故选：D．

10．一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+2的根的情况是（　　）

A．方程没有实数根

B．方程有两个相等的实数根

C．方程有两个不相等的实数根

D．方程的根是1、﹣5和

【答案】C

【解析】

解：∵原方程可化为x2+x﹣7＝0，

∴a＝1，b＝1，c＝﹣7，

∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣7）＝29＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：C．

11．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是_____．

【答案】2＜m≤3

【解析】

根据不等式组有3个整数解,可得:

.

故答案为:.

12．关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集为_____．

【答案】﹣1⩽x＜2．

【解析】

解：由图示可看出，从﹣1 出发向右画出的线且﹣1 处是实心圆，表示 x⩾﹣1；

从 2 出发向左画出的线且 2 处是空心圆，表示 x＜2，不等式组的解集是指它们的公共部分．

所以这个不等式组的解集是﹣1⩽x＜2．

13．不等式组 的解集是_____．

【答案】

【解析】

解：解不等式2x＋4＞0，得：x＞−2，

解不等式x−3（x−2）＞4，得：x＜1，

则不等式组的解集为−2＜x＜1，

故答案为：−2＜x＜1．

14．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是_____．

【答案】m≤2

【解析】

解：由题意知，△＝4﹣4（m﹣1）≥0，

∴m≤2，

故答案为：m≤2．

15．方程x2+2x＝0的解为_____．

【答案】0，﹣2．

【解析】

x2+2x＝0,

x（x+2）＝0,

∴x＝0或x+2＝0,

∴x＝0或﹣2,故本题的答案是0，﹣2．

16．设是方程的两个实数根，则的值为_____．

【答案】2019

【解析】

解：根据题意得：α＋β＝1，

α3−2021α−β+1

＝α（α2−2020）−（α＋β）+1

＝α（α2−2020）−1+1

=α（α2−2020），

∵α2−α−2019＝0，

∴α2−2020＝α−1，

把α2−2020＝α−1代入原式得：

原式＝α（α−1）

＝α2−α

＝2019.

故答案为：2019.

17．已知关于的一元二次方程，其中为常数.

（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）若抛物线轴交于两点，且，求的值；

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）∵

，

，

∴原方程总有两个不相等实数根

（2）解：∵

∴

∴

由题意：方程的两根为

∴，

代入上式，得 ，

∴，

∴，

∴.

18．（1）用配方法解方程：x2-2x-2=0；（2）已知关于x的方程（m-2）x2+（m-2）x-1=0有两个相等的实数根，求m的值．

【答案】（1）x1=1+，x2=1-；（2）m的值为-2．

【解析】

解：（1）∵x2-2x-2=0，

∴x2-2x=2，

则x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3，

∴x-1=，

则x1=1+，x2=1-；

（2）由题意，△=0即（m-2）2+4（m-2）=0，

解得m1=2，m2=-2，

又由m-2≠0，得m≠2，

∴m的值为-2．

19．已知关于x一元二次方程，

(1)当时，试解这个方程；

(2)若方程的两个实数根为，且，求的值.

【答案】（1）（2）c=4

【解析】

解：(1)当时，原方程为，

.

∴

(2)∵，

∴

∴

∴

解得： c=4       

∴ c=4

20．某学校准备采购一批茶艺耗材和陶艺耗材.经查询，如果按照标价购买两种耗材，当购买茶艺耗材的数量是陶艺耗材数量的2倍时，购买茶艺耗材共需要18000元，购买陶艺耗材共需要12000元，且一套陶艺耗材单价比一套茶艺耗材单价贵150元.

（1）求一套茶艺耗材、一套陶艺耗材的标价分别是多少元？

（2）学校计划购买相同数量的茶艺耗材和陶艺耗材.商家告知，因为周年庆，茶艺耗材的单价在标价的基础上降价2元，陶艺素材的单价在标价的基础降价150元，该校决定增加采购数量，实际购买茶艺素材和陶艺素材的数量在原计划基础上分别增加了2.5%和，结果在结算时发现，两种耗材的总价相等，求的值.

【答案】（1）购买一套茶艺耗材需要450元，购买一套陶艺耗材需要600元；（2）的值为95.

【解析】

（1）设购买一套茶艺耗材需要元，则购买一套陶艺耗材需要元，根据题意，得.

解方程，得.

经检验，是原方程的解，且符合题意

.

答：购买一套茶艺耗材需要450元，购买一套陶艺耗材需要600元.

（2）设今年原计划购买茶艺耗材和陶艺素材的数量均为，由题意得：

整理，得

解方程，得（舍去）.

的值为95.

21．某市举行“行动起来，对抗雾霾”为主题的植树活动，某街道积极响应，决定对该街道进行绿化改造，共购进甲、乙两种树共50棵，已知甲树每棵800元，乙树每棵1200元．

（1）若购买两种树的总金额为56000元，求甲、乙两种树各购买了多少棵？

（2）若购买甲树的金额不少于购买乙树的金额，至少应购买甲树多少棵？

【答案】（1）购买了甲树10棵、乙树40棵；（2）至少应购买甲树30棵．

【解析】

解：（1）设购买了甲树x棵、乙树y棵，根据题意得

解得：

答：购买了甲树10棵、乙树40棵；

（2）设应购买甲树a棵，根据题意得：

800a≥1200（50﹣a）

解得：a≥30

答：至少应购买甲树30棵．

22．解不等式≥1，并把它的解集表示在数轴上．

【答案】x≤﹣1

【解析】

解：去分母，得：2（2x﹣1）﹣3（3x﹣1）≥6，

去括号，得：4x﹣2﹣9x+3≥6，

移项，得：4x﹣9x≥6+2﹣3，

合并同类项，得：﹣5x≥5，

系数化为1，得：x≤﹣1，

将不等式的解集表示在数轴上如下：