专题06 二次函数的简单应用-初升高数学衔接必备教材（解析版）

这是一份专题06 二次函数的简单应用-初升高数学衔接必备教材（解析版），共26页。
专题06二次函数的简单应用

高中必备知识点1：平移变换

问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．

典型考题

【典型例题】
如图，抛物线经过两点，顶点为D．
 求a和b的值；
将抛物线沿y轴方向上下平移，使顶点D落在x轴上．
求平移后所得图象的函数解析式；
若将平移后的抛物线，再沿x轴方向左右平移得到新抛物线，若时，新抛物线对应的函数有最小值2，求平移的方向和单位长度．

【答案】将抛物线向左平移个单位长度或向右平移个单位长度．
【解析】
代入，
得：，解得：．
，
抛物线顶点D的坐标为．
将抛物线沿y轴平移后，顶点D落在x轴上，
平移后的抛物线的顶点坐标为，
平移后的抛物线为，即．
若将抛物线向左平移个单位长度，则新抛物线的解析式为，
时，新抛物线对应的函数有最小值2，
新抛物线必过点，
，

解得：舍去；
若将抛物线向右平移个单位长度，则新抛物线的解析式为，
时，新抛物线对应的函数有最小值2，
新抛物线必过点．
，
解得：舍去．
将抛物线向左平移个单位长度或向右平移个单位长度．

【变式训练】
已知抛物线，把它向上平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若是直角三角形，那么原抛物线应向上平移几个单位？
【答案】向上平移3个单位．
【解析】
由题意知，必为等腰直角三角形，设平移后的抛物线为，
则，
代入抛物线方程得：，
舍去．
所以向上平移3个单位．

【能力提升】
已知抛物线y＝x（x﹣2）+2．
（1）用配方法把这个抛物线的表达式化成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出它的项点坐标；
（2）将抛物线y＝x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，求新抛物线的表达式．
【答案】（1）y＝（x﹣1）2+1，它的顶点坐标为：（1，1）；（2）图象向下平移1个单位得到：y＝（x﹣1）2．
【解析】
（1）y=x（x﹣2）+2=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，它的顶点坐标为：（1，1）；
（2）∵将抛物线y=x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，∴图象向下平移1个单位得到：
y=（x﹣1）2．


高中必备知识点2：对称变换

在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．

典型考题

【典型例题】
如图，抛物线y=ax²-2x+c(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A，B，C三点，已知点(-2,0)，C(0,-8)，点D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)如图，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EB直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；

【答案】(1)y=x2﹣2x﹣8；D(1，﹣9)；(2)P()．
【解析】
(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：a=1，c=﹣8．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．
∵y=(x﹣1)2﹣9，
∴D(1，﹣9)．
(2)将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，
∴B(4，0)．
∵y=(x﹣1)2﹣9，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∴E(1，0)．
∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，
∴EP为∠BEF的角平分线．
∴∠BEP=45°．
设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，
∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．
将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．
∵点P在第四象限，
∴x=．
∴y=．
∴P()．

【变式训练】
已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,-2),且与y轴交于（0,）.
(1)求函数的解析式;
(2)若点(p,m)和点(q,n)都在该抛物线上,若p>q>5,判断m和n的大小.
【答案】（1）y=(x-3)2-2.（2）m>n.
【解析】
(1)由题意设函数的解析式为y=a(x-3)2-2,
根据题意得9a-2=
解得a=，
所以函数解析式是y=(x-3)2-2.
(2)因为a=>0,所以抛物线开口向上,
又因为二次函数的对称轴是直线x=3.
所以当x>3时,y随x增大而增大,
因为p>q>5>3,
所以m>n.

【能力提升】
已知抛物线经过点（1，-2）．
（1）求的值；
（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
【答案】（1）a=-1；（2）y1＜y2．
【解析】
(1)、∵抛物线经过点（1，-2）， ∴，解得a=-1；
(2)、∵函数的对称轴为x=3，
∴ A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）在对称轴左侧，
又∵抛物线开口向下，∴ 对称轴左侧y随x的增大而增大， ∵ m＜n＜3，∴ y1＜y2．

高中必备知识点3：分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．

典型考题

【典型例题】
函数，则的值是___．
【答案】0
【解析】
∵函数f（x），
∴f（1）＝1﹣1＝0，
f（f（1））＝f（0）＝0．
故答案为：0．

【变式训练】
已知函数，若，则_________．
【答案】
【解析】
，故，填．

【能力提升】
函数__________．
【答案】1.
【解析】
由题意得．
故答案为：1．
专题验收测试题
1．如图，在四边形中，，，，， ，动点，同时从点出发，点以的速度沿折线运动到点，点以的速度沿运动到点，设，同时出发时，的面积为，则与的函数图象大致是( )

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
解：作AE⊥BC于E，根据已知可得，

AB2=42+（6-3）2，
解得，AB=5cm．
下面分三种情况讨论:
当0≤t≤2.5时：P点由B到A，,y是t的二次函数.最大面积= 5 cm2;
当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时，, y是t的一次函数且最大值=;
当4≤t≤6时，即P点从D到C时，y是t的二次函数
故符合y与t的函数图象是B．
故选：B．
2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，DC＝4cm，BC＝6cm，AD＝3cm，动点P，Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿折线BA﹣AD﹣DC运动到点C，点Q以1cm/s的速度沿BC运动到点C，设P，Q同时出发xs时，△BPQ的面积为ycm2．则y与x的函数图象大致是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
作AE⊥BC于E，根据已知可得，

AB2＝42+（6﹣3）2，
解得，AB＝5cm．
当0≤x≤2.5时：P点由B到A，△BPQ的面积从小到大，且达到最大此时面积＝×2.5×4＝5cm2．
当2.5≤x≤4时，即P点在AD上时，，且增大值为：；
当4≤x≤6时，即P点从D到C时，y＝＝﹣x2+6x．
故符合y与x的函数图象大致是B．
故选B．
3．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E，设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
解：如图，连接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折叠得到，
∴∠CPD＝∠C′PD，
∵PE平分∠BPC′，
∴∠BPE＝∠C′PE，
∴∠EPC′+∠DPC′＝×180°＝90°，
∴△DPE是直角三角形，
∵BP＝x，BE＝y，AB＝3，BC＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝3﹣y，CP＝BC﹣BP＝5﹣x，
在Rt△BEP中，PE2＝BP2+BE2＝x2+y2，
在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝（3﹣y）2+52，
在Rt△PCD中，PD2＝PC2+CD2＝（5﹣x）2+32，
在Rt△PDE中，DE2＝PE2+PD2，
则（3﹣y）2+52＝x2+y2+（5﹣x）2+32，
整理得，﹣6y＝2x2﹣10x，
所以y＝（0＜x＜5），
纵观各选项，只有D选项符合．
故选：D．

4．某种圆形合金板材的成本y（元）与它的面积（cm2）成正比，设半径为xcm，当x＝3时，y＝18，那么当半径为6cm时，成本为（　　）
A．18元 B．36元 C．54元 D．72元
【答案】D
【解析】
解：根据题意设y＝kπx2，
∵当x＝3时，y＝18，
∴18＝kπ•9，
则k＝，
∴y＝kπx2＝•π•x2＝2x2，
当x＝6时，y＝2×36＝72，
故选：D．
5．把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为. 若存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为（米），则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵a≥0，由题意得方程
10t-t2=a有两个不相等的实根
∴△=b2-4ac=102+4××a＞0得0≤a＜50
又∵0≤t≤14
∴当t=14时，a=h=10×14-×142=42
所以a的取值范围为：42≤a＜50
故选：C．
6．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s=-6t2+bt（b为常数）．已知t=时，s=6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（　　）
A．米 B．8米 C．米 D．10米
【答案】C
【解析】
解：把t=，s=6代入s=-6t2+bt得，
6=-6×+b×，
解得，b=15
∴函数解析式为s=-6t2+15t=-6（t-）2+，
∴当t=时，s取得最大值，此时s=，
故选：C．
7．已知直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B，点C，二次函数图象的顶点为A，当△ABC是等腰直角三角形时，则n的值为（　　）
A．1 B． C．2﹣ D．2+
【答案】A
【解析】
设B（x1，n）、C（x2，n），作AD⊥BC，垂足为D连接AB，AC，

∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点A（2，﹣1），
AD＝n﹣（﹣1）＝n+1
∵直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B、C，
∴（x﹣2）2﹣1＝n，
化简，得x2﹣4x+2﹣2n＝0，
x1+x2＝4，x1x2＝2﹣2n，
∴BC＝|x1﹣x2|＝，
∵点B、C关于对称轴直线AD对称，
∴D为线段BC的中点，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AD＝BC，
即BC＝2AD
＝2（n+1），
∴（2+2n）＝（n+1）2，
化简，得n2＝1，
∴n＝1或﹣1，
n＝﹣1时直线y＝n经过点A，不符合题意舍去，
所以n＝1．
故选：A．
8．如图，跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）

A．10m B．20m C．15m D．22.5m
【答案】C
【解析】
根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），
则，
解得：，
所以x=-=15（m）．
故选C．
9．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
解：由题意，抛物线的解析式为y=at(t-9)，把(1，8)代入可得a=-1，
∴y=-t2+9t=-(t-4.5)2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，y=0，
∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，
∴正确的有②③.
故选B.
10．某一型号飞机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）之间的函数解析式是S＝﹣1.5t2+60t，则该型号飞机着陆后滑行（　　）秒才能停下来．
A．600 B．300 C．40 D．20
【答案】D
【解析】
解：由题意，
s＝﹣1.5t2+60t，
＝﹣1.5（t2﹣40t+400﹣400）
＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
即当t＝20秒时，飞机才能停下来．
故选：D．
11．如图是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处双测P处，仰角分别为α、β，且tanα＝，tanβ＝，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系． P点坐标为_____；若水面上升1m，水面宽为_____m．

【答案】；
【解析】
解：（1）过点P作PH⊥OA于H，如图．
设PH＝3x，
在Rt△OHP中，
∵tanα＝，
∴OH＝6x．
在Rt△AHP中，
∵tanβ＝，
∴AH＝2x，
∴OA＝OH+AH＝8x＝4，
∴x＝，
∴OH＝3，PH＝，
∴点P的坐标为（3，）；
故答案是：（3，）；
（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，

过点O（0，0），A（4，0）的抛物线的解析式可设为y＝ax（x﹣4），
∵P（3，）在抛物线y＝ax（x﹣4）上，
∴3a（3﹣4）＝，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x（x﹣4）．
当y＝1时，﹣x（x﹣4）＝1，
解得x1＝2+，x2＝2﹣，
∴BC＝（2+）﹣（2﹣）＝2．
故答案是：2．
12．某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间经过时，将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图）已知点A，B的坐标分别为（0，4），（5，4），小车沿抛物线y=ax2-2ax-3a运动．若小车在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是______

【答案】a＜-或a＞
【解析】
解：抛物线y=ax2-2ax-3a=a（x+1）（x-3），
∴其对称轴为：x=1，且图象与x轴交于（-1，0），（3，0）．
当抛物线过点（0，4）时，代入解析式得4=-3a，
∴a=，由对称轴为x=1及图象与x轴交于（-1，0），（3，0）可知，当a＜时，抛物线与线段AB只有一个交点；
当抛物线过点（5，4）时，代入解析式得25a-10a-3a=4，
∴a=，同理可知当a＞时，抛物线与线段AB只有一个交点．
故答案为：a＜或a＞．
13．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是___m2．

【答案】300．
【解析】
如图，

∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设BC＝x，BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a，
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，
∴a＝﹣x+10，3a＝﹣x+30，
∴矩形区域ABCD的面积S＝（﹣x+30）x＝﹣x2+30x，
∵a＝﹣x+10＞0，
∴x＜40，
则S＝﹣x2+30x（0＜x＜40）；
∵S＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，
∴当x＝20时，S有最大值，最大值为300m2．
故答案为：300．
14．某民房发生火灾．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A，E，F在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好经过E，F．若点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移5m，再向左后退_____m，恰好把水喷到F处进行灭火．

【答案】5
【解析】
由图可知：A(0，21.2)，B(0，9.2)，C(0，6.2)，D(0，1.2)，
∵点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同，
∴E(20，9.2)，
设AE的直线解析式为y＝kx+b，
，
∴，
∴y＝﹣x+21.2，
∵A，E，F在同一直线上．
∴F(25，6.2)，
设过D，E，F三点的抛物线为y＝ax2+bx+c，
∴，
∴，
水流抛物线向上平移5m，设向左退了m米，
∴D(0，6.2)，
设平移后的抛物线为，经过点F，
∴m＝5或m＝﹣25(舍)，
∴向后退了5米．
故答案为5．
15．某网店销售某种商品，成本为30元/件，当销售价格为60元件/时，每天可售出100件，经市场调查发现，销售单价每降1元，每天销量增加10件.当销售单价为__________元时，每天获取的利润最大.
【答案】50
【解析】
解：设当销售单价为x元时，每天获取的利润为y元，
则y=（x-30）[100+10（60-x）]
=-10x2+1000x-21000
=-10（x-50）2+4000，
∴当x=50时，y有最大值，且为4000，
故答案为：50．
16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为.由此可知，铅球推出的距离是__________m.
【答案】10
【解析】
在中，
当，
解得（舍去）.
即铅球推出的距离是10m．
故答案为：10
17．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图1所示．
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义；
（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在图2的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；
（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图3所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元．
【解析】
解：（1）图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，
可按5元/kg批发，
图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发；
（2）由题意得： ，
函数图象如图所示．

由图可知批发量超过60时，价格在4元中，
所以资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果；
（3）设日最高销售量为xkg（x＞60），日零售价为p，
设x＝pk+b，则由图②该函数过点（6，80），（7，40），
代入可得：x＝320﹣40p，于是p＝ ,
销售利润y＝x（﹣4）＝﹣（x﹣80）2+160
当x＝80时，y最大值＝160，
此时p＝6，
即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，
当日可获得最大利润160元．
18．某商品现在的售价为每件30元，每星期可卖出160件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出2件．已知商品的进价为每件10元．
（1）在顾客得到实惠的情况下，如何定价商家才能获得4200元的利润？
（2）如何定价才能使利润最大？
【答案】（1）在顾客得到实惠的情况下，售价为40（80舍）元时商家才能获得4200元的利润；（2）售价为60元时利润最大为5000元．
【解析】
（1）设商品的涨价x元，由题意得：（30+x-10）（160-2x）=4200，
整理得：x2-60x+500=0，
解得：x=10或50，
故为尽可能让利于顾客并使每周利润为4200元，取x的值为10，
所以，在顾客得到实惠的情况下，售价为40元时商家才能获得4200元的利润；
（2）由题意得：
y=（30+x-10）（160-2x）
=-2x2+120x+3200，
=-2（x-30）2+5000
∵-2＜0，
∴当x=30时，y取得最大值，
此时y=5000（元），
即当售价为60元时，会获得每周销售最大利润，每周最大销售利润为5000元．
19．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）写出花园面积S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？
（3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是a（14≤a≤22）和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S的最大值为y，直接写出y与a的关系式．

【答案】（1）花园的面积为192m2，x的值为12m或16m；（2）x为14m时，花园面积S有最大值，最大值为196m2；（3）当x＝28﹣a时，函数有最大值，y=﹣（14﹣a）2+196．
【解析】
解：（1）依题意得 S＝x（28﹣x），
当S＝192时，有S＝x（28﹣x）＝192，
即x2﹣28x+192＝0，
解得：x1＝12，x2＝16，
答：花园的面积为192m2，x的值为12m或16m；
（2）由题意可得出：
S＝x（28﹣x）
＝﹣x2+28x
＝﹣（x﹣14）2+196，
答：x为14m时，花园面积S有最大值，最大值为196m2；
（3）依题意得：
，
解得：6≤x≤28﹣a，
S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，
∵a＝﹣1＜0，当x≤14，y随x的增大而增大，
又6≤x≤28﹣a，
∴当x＝28﹣a时，函数有最大值，
∴y＝﹣（28﹣a﹣14）2+196＝﹣（14﹣a）2+196．
20．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y=﹣2x+80；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
【解析】
试题分析：（1）待定系数法列方程组求一次函数解析式.
(2)列一元二次方程求解.
(3)总利润=单件利润销售量：w＝(x－20)(－2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值.
试题解析：
(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.
把(22，36)与(24，32)代入，得
解得
∴y＝－2x＋80.
(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意，得
(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150.
解得x1＝25，x2＝35(舍去)．
答：每本纪念册的销售单价是25元．
(3)由题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200.
∵售价不低于20元且不高于28元，
当x＜30时，y随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．
答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
21．数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱70元销售平均每天销售30箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．老师要求根据以上资料，解答下列问题，你能做到吗？
（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系；
（2）写出平均每天销售利润W（元）与每箱售价x（元）之间的函数关系；
（3）现该商场要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？
（4）你认为每天赢利900元，是牛奶销售中的最大利润吗？为什么？
【答案】（1）y＝﹣3x+240；（2）w＝﹣3x2+360﹣9600；（3）50；（4）不是，理由见解析.
【解析】
（1）y＝30+3（70﹣x）＝﹣3x+240；
（2）w＝（x﹣40）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360﹣9600；
（3）当w＝900时，
（x﹣40）（﹣3x+240）＝900
整理得：x2﹣120x+3500＝0
∴x1＝50，x2＝70，
∵要使顾客得到实惠，
∴x＝70舍去
∴每箱价格定为50元；
（4）由w＝（x﹣40）（﹣3x+240）
＝﹣3x2+360﹣9600得
w＝﹣3（x﹣60）2+1200
w最大＝1200（元）
∴赢利900元不是销售的最大利润．
22．（本题满分10分）我市某高科技公司生产一种矩形新型材料板，其长宽之比为 3∶2，每张材料板的成本 c与它的面积成正比例。每张材料板的销售价格 y与其宽 x 之间满足我们学习过的某种函数关系(即一次函数、反比例函数和二次函数关系中的一种)，下表记录了该工厂生产、销售该材料板一些数据：

（1）求一张材料板的销售格 y 其宽 x 之间的函数关系式 （不必写出自变的取值范围）
（2）若一张材料板的利润 w 为销售价格 y与成本 c 的差
①请直接写出一张材料板的利润 w 其宽 x 之间的函数关系 （不必写出自变的取值范围）
②当材料板的宽为多少时，一张材料板的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1） ；（2） ① ；②当宽为60cm时，利润最大 ，最大利润为900元.
【解析】
解：（1）根据表中的数据判断，销售价格y于宽x之间的函数关系是一次函数，设其解析式为y＝kx＋b，
则24k＋b＝780，30k＋b＝900，
解得：k＝20，b＝300，
将x＝42，y＝1140和x＝54，y＝1380代入检验，满足条件
所以其解析式为y＝20x＋300；
（2）①∵矩形材料板，其长宽之比为3：2，
∴当宽为x时，则长为1.5x，
c＝1.5kx2；k＝，
即c＝x2，
∴w＝x2＋20x＋300；
②由①可知：w＝x2＋20x＋300＝（x−60）2＋900，
∴当材料板的宽为60cm时，一张材料板的利润最大，最大利润是900元．