2020年初升高数学衔接课程 第10讲 函数的概念及其表示（教师版含解析）练习题

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第10讲 函数的概念及其表示一、函数的概念    函数的概念：一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作.其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与值对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 思考：值域与集合是什么关系？ 说明：①“是非空的实数集”.一方面强调了中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集．②函数的三要素：定义域、对应关系、值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
③函数的“三性”：任意性、存在性、唯一性.     区间的概念①设定义符号名称闭区间开区间 半开半闭区间②符号“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”.定义符号     函数的表示方法①解析法 ；②图象法 ；③列表法.题型一  函数的概念例1.在下列从集合到集合的对应关系中，能确定是的函数的是   （1），对应法则；（2），对应法则；（3），对应法则；（4），对应法则；（5），对应法则；（6），对应法则；（7），对应关系如图：【答案】(4)(5)(7)【解析】(1)在对应法则下，不能被3整除的在中没有对应的数；(2)(3)在对应法则下，在中有两个对应的数，不是唯一确定；(6)A中不是数集；(4)(5)(7)满足函数的特征. 例2.              若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是(　　)【答案】B 例3.判断下列各组中的两个函数是否为同一函数.(1)    ；(2)    ；(3)    ；(4)    ；(5)    .【答案】(1)不是；(2)不是；(3)是；(4)是；(5)不是.【解析】(1)的定义域为，定义域为R，不是同一函数；（2）要使函数有意义，则，解得，要使有意义，则， 解得或，两个函数的定义域不同，不是同一函数；（3）两个函数的定义域和对应法则完全相同，是同一函数；（4）函数，定义域和对应法则均相同，是同一函数；（5）的定义域为，定义域为R，不是同一函数. 例4.已知函数.（1）分别求下列函数值：①         .           ②          .         ③         . ④         .        ⑤         .          ⑥         . ⑦         .      ⑧         .      ⑨         . （2）若，则         . 【答案】(1)①2；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；(2). 题型二  函数的定义域例5.求下列函数的定义域.（1）（2）（3）（4）【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】(1)，解得，所以定义域为；(2)，解得，所以定义域为；(3)，解得，所以定义域为；(4)，解得，所以定义域为. 例6. (1)    已知函数的定义域为，求函数的定义域；(2)    已知函数的定义域为，求函数的定义域；(3)    已知函数的定义域为，求函数的定义域；(4)    已知函数的定义域为，求函数的定义域；(5)    若函数的定义域为，求函数的定义域.【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【解析】)(1)的定义域为，由，得，的定义域为；(2)的定义域为，，，的定义域为；(3)的定义域为，，的定义域为，由得，的定义域为；(4)的定义域为，，的定义域为，由得，的定义域为；(5)的定义域为，中有：，解得，的定义域为. 题型三  函数解析式例7. (1)    已知函数为一次函数，满足，求的解析式；(2)    已知函数为一次函数，且，求的解析式.【答案】(1)；(2)或.【解析】(1)依题意可设，则，解得，；(2)依题意可设，则，，解得或，或. 例8. (1)    已知，求的解析式；(2)    已知，求的解析式；(3)    已知，求的解析式.【答案】(1)；(2).【解析】(1)设，则，，；(2)设，则，，. 例9. (1)    已知，求的解析式；(2)    已知函数满足，求的解析式；(3)    已知函数满足，求的解析式.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)由两式相加得，；(2)①，②，由①②得；(3)，，由两式得. 题型四  函数值域例10.           求下列函数的值域：(1)              (2)   (3)                   (4)(5)                    (6)(7)            (8)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).【解析】(1)，则，所以值域为；(2)，，故值域为；(3)，在上单调递增，，故值域为；(4)，在上单调递减，且，，故值域为；(5)，且，，故值域为；(6)设，则，，又在上单调递增，，故值域为；(7)设，则，，又在上单调递增，，故值域为；(8)设，则，，又在单调递减，在单调递增，，故值域为.例11.           求下列函数的值域.（1）                       (2)(3)                (4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】(1)解法一：，设，则，，当时，；当时，，由对勾函数图象可知，，，即，综上所述，值域为.解法二：，由得，即，当时，，符合题意；当时，方程有解需满足，解得且，综上所述，值域为.(2)设，则，，在上单调递增，，故值域为；(3)，设，则，，在上单调递增，，，故值域为；(4)，，，，，，故值域为. 题型五  分段函数例12.            (1)    若函数，则         .(2)    已知，若，则         .(3)    已知，则不等式的解集是         .【答案】(1)4；(2)；(3).【解析】(1)，；(2)若，则，解得(舍去)；若，则，解得或(舍去)，综上，；(3)，则由得或，解得或，综上，解集为. 例13.           把下列函数写成分段函数的形式，并画出其图像.（1）                           (2)(3)                      (4)【答案】略 跟踪训练 下列各图像中，是函数图像的是(    )【答案】D  函数的定义域为，则函数的图象与直线的交点个数为(    )A.0              B.1             C.2          D. 0个或1个均有可能【答案】B  函数的定义域是(    )  A.           B.     C.    D.      【答案】B【解析】依题意，解得，故定义域为，选B. 已知，若，则的值是(     ) A.1       B.1或     C.1或或     D. 【答案】D【解析】若，则，解得(舍去)；若，则，解得或(舍去)；若，则，解得(舍去)，综上，，选D.  若函数的定义域是，则的定义域是(     ) A.     B.    C.    D. 【答案】B【解析】函数的定义域是，则在中有，解得，故定义域为，选B.  已知函数的定义域是，则的定义域为(     ) A.    B.    C.     D.  【答案】A【解析】的定义域是，，的定义域为，由解得，故定义域为，选A.   已知，则(     )A.     B.    C.1     D. 0 【答案】D【解析】，，，选D.  已知，若，则         .【答案】【解析】若，则，解得或(舍去)；若，则，解得(舍去)，综上，.  已知，则         .【答案】11【解析】依题意.   函数，若，则的取值范围是              .【答案】【解析】依题意，则不等式化为，若，则，解得，此时；若，则，解得(舍去)；若，则，解得(舍去)，综上，的取值范围是.  已知函数满足，则的解析式是              .【答案】【解析】设，则，，.  已知函数的定义域为，求实数的取值范围.【答案】【解析】依题意，，恒成立，当时，不等式化为恒成立，符合题意；当时，则，解得，综上所述，的取值范围为.   求下列函数的值域：(1)；           (2)；            (3)；(4)；        (5)；         (6)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】(1)，，故值域为；（2），故值域为；（3），故值域为；（4），定义域为，解法一：，当时，；当时，，又，，，综上所述，值域为；解法二：由得，即，当即时，，符合题意；当即时，方程有解需满足，解得，综上所述，值域为；(5)设，则，，故值域为；(6)，，，故值域为.   画出下列函数的图像：(1)；        (2)；         (3) 【答案】略