2020年初升高数学衔接课程 第8讲 基本不等式（教师版含解析）练习题

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第8讲 基本不等式    基本不等式：对于任意的正实数，(当且仅当时，等号成立)叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数.     使用原则：一正：一般要求同为正；二定：或为定值；三相等：当且仅当时，不等式取得等号. 例1. (1)    已知矩形周长为8，则其面积最大值为多少？(2)    已知某矩形的面积为6，则其周长最小值为多少？【答案】(1)4；(2).【解析】(1)设矩形长和宽分别为，依题意，则，，当且仅当时取等号，所以面积最大值为4；（2）依题意，则，当且仅当时取等号，所以周长最小值为. 例2. (1)    已知，求的最小值；(2)    若，有最大值还是有最小值？【答案】(1)2；(2)最大值.【解析】(1)，，当且仅当，即取等号，所以的最小值为2；(2)，，，当且仅当，即取等号，所以的最大值为. 例3.已知，则的大小关系为(    )   A.        B.         C.          D.【答案】D【解析】，，当且仅当时取等号，即，又，当且仅当时取等号，即，所以，选D. 例4. (1)    已知，则的最大值为          ；(2)    已知，则的最大值为          .【答案】(1)；(2).【解析】(1)，，，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为；(2)，，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.例5.某同学对求最小值，书写过程如下，请指出解法中的错误之处.  【答案】没有考虑取等号的条件，上述不等式当且仅当，即时取等号，而，显然无法取等号. 例6.设，则的最小值为          .【答案】【解析】设，即，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 例7. (1)    已知，，则的最小值为          ；(2)    已知，，则的最小值为          ；(3)    已知，，则的最小值为          .【答案】(1)8；(2)；(3).【解析】(1)由已知得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8；(2)由已知得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为；(3)由，得，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 例8. (1)    设，若，则的最小值为          ；(2)    已知，，则的最小值为          .【答案】(1)；(2).【解析】(1)，，，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为；(2)，，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 例9. (1)    已知，若，则的最大值为          ；(2)    已知，若，则的最小值为          .【答案】(1)2；(2)6.【解析】(1)，，，当且仅当时取等号，解得，所以的最大值为2.(2)，，当且仅当，即时取等号，，，，，所以的最小值为6. 例10.            (1)    已知，，则的最小值为          ；(2)    已知，，则的最小值为          .【答案】(1)；(2)4.【解析】(1)，，，当且仅当，即时取等号，，，，所以的最小值为.(2)，，，当且仅当，即时取等号，，，，，所以的最小值为4； 例11.            (1)    若，则的最小值为          ；(2)    已知，且，则的最小值为(    )  A.3             B.4              C.5              D.6    【答案】(1)16；(2)C.【解析】，，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为16；(2)，且，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为5，选C.      例12.           证明下列不等式：(1)    ；               (2)    已知为正数且，求证：.【证明】（1），当且仅当时取等号；（2）为正数且，，当且仅当时取等号.   
跟踪训练    已知，且，在下列四个数中最大的是(    )  A.               B.              C.              D. 【答案】D【解析】解法一：，且，，又，当且仅当时取等号，，最大，选D.解法二：依题意可取，则，所以最大，选D.     已知，则的最小值为          .【答案】3【解析】，，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为3.     已知点为直线第一象限上的点，则的最小值为          .【答案】9【解析】为直线第一象限上的点，且，即，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9.     已知，当且仅当时，取得最小值，则实数          .【答案】16【解析】，，当且仅当，即时取等号，所以，解得.     已知，且，则的最小值为          .【答案】36【解析】，，，当且仅当，即时取等号，，解得，即，所以的最小值为36.     若实数满足，则的最小值为          .【答案】【解析】，，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.     已知，，则的最小值为          .【答案】【解析】，，，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.     已知，且，则的最小值为          .【答案】【解析】，且，，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.     已知正数满足，那么的最小值为          .【答案】【解析】，，即，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.  已知，则的最大值为          .【答案】【解析】，，，当且仅当，即时取等号，所以的最呆滞为.  当时，不等式的最小值为          .【答案】6【解析】，，设，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为6.  已知，且，则的最小值为(    )  A.3             B.4            C.             D.5     【答案】C【解析】，且，，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，选C.  已知，则的最小值为          .【答案】【解析】，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，所以的最小值为.  某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(空白部分)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为平方米，其中.（1）试用表示；（2）若要使最大，则的值分别为多少？  【答案】(1)；(2).【解析】(1)依题意可得，则，即，；(2)，当且仅当，即时取等号，所以时，取得最大值1352.