2020年初升高数学衔接课程 第16讲 对数运算与对数函数（教师版含解析）练习题

第16讲 对数运算与对数函数

一.对数的概念

一般地，对于指数式，我们把“以为底的对数”记作，即.其中，数叫做对数的底数，叫做真数，读作“等于以为底的对数”.

【定义理解】

训练1.将下列指数式写成对数式：

(1) ；       (2).  

【答案】(1)；(2)

训练2.将下列对数式写成指数式：

(1)；      (2) .

【答案】(1)；(2)

二.对数运算法则

（1）

（2）

（3）

（4）

（5） 

例1.计算：

（1） (2)  (3)  (4)

(5)    (6)   (7) 

【答案】(1)1；(2)1；(3)0；(4)19；(5)；(6)；(7)15

练习1： 计算：

(1)   (2)  (3)  (4)   

(5)      (6)      (7)

【答案】(1)；(2)16；(3)3；(4)-1；(5)0；(6)；(7)

【解析】(4)；

（5）；

（6）；

（7）.

例2.已知 ， ,  用表示 .

【答案】

【解析】，

三．对数函数的概念

1.定义：一般地，我们把函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是.      

2.常用对数：我们通常把以10为底的对数叫做常用对数,例如简记为.

3.自然对数：我们通常把无理数为底的对数叫做自然对数，例如简记为.

四．对数函数的性质

例3.函数是对数函数，则实数________．

【答案】1

【解析】依题意，解得.

例4.比较下列各组中两个值的大小．

(1)；(2)；(3)

【答案】(1)；(2)；

(3)时；时，

例5.求下列函数的定义域．

(1)        (2)        (3)

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】(1)要使函数有意义，则，解得，定义域为；

（2）要使函数有意义，则，解得且，定义域为；

（3）要使函数有意义，则，即，

解得，定义域为.

例6.求下列函数的值域：

(1)                     (2)

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)函数定义域为，

，，故值域为；

(2)由得，故定义域为，

，，

故值域为.

例7.已知，求的最大值及相应的的值．

【答案】

【解析】，要使函数有意义，

则，解得，

令，则

，

，即时，取得最大值.

五、对数函数的图象变换及定点问题

(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题

对数函数过定点，即对任意的对数函数都有.

(2)对数函数的图象变换的问题

①

②

③

④

例8.若函数的图象恒过定点，则实数的值分别为        .

【答案】-2，2

例9.作出函数的图象．

【答案】略

例10.           解下列不等式：

(1)；                  (2)．

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)，解得；

(2)由得，

，解得.

例11.           若，求实数的取值范围.

【答案】

【解析】，，即，

当时，，解得；

当时，，解得，

综上，的取值范围是.

例12.           求函数的单调区间．

【答案】单调递减区间为，无单调递增区间.

【解析】由得，故定义域为，

是由和复合而成的，

是增函数，是减函数，

的单调递减区间为，无单调递增区间.

例13.           求函数的单调区间．

【答案】当时，单调递减区间为，无单调递增区间；当时，单调递减区间为，无单调递增区间.

【解析】函数是由和复合而成的，

要使函数有意义，则，即，

①当时，解得，即定义域为，

此时是增函数，而是减函数，

则的单调递减区间为，无单调递增区间；

②当时，解得，即定义域为，

此时是减函数，而是增函数，

则的单调递减区间为，无单调递增区间，

综上，当时，单调递减区间为，无单调递增区间；当时，单调递减区间为，无单调递增区间.

例14.           已知在上是增函数，求实数的取值范围．

【答案】

【解析】是由和复合而成的，

是减函数，在上是增函数，

在上是减函数，且恒成立，

且当时，解得，

的取值范围是.

例15.           判断函数的奇偶性.

【答案】奇函数

【解析】恒成立，函数定义域为，

，

是奇函数.

例16.           已知函数．

(1)求函数的定义域；

(2)判断函数的奇偶性；

(3)求使的的取值范围．

【答案】(1)；(2)奇函数；(3)当时，的取值范围是；当时，的取值范围是.

【解析】(1)要使有意义，则，解得，故定义域为；

（2），是奇函数；

（3）由得，

①若，则，解得；

②若，则，解得，

综上所述，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是.

扩充：反函数

(1)对数函数的反函数

指数函数与对数函数互为反函数．

(2)互为反函数的两个函数之间的关系

①原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域；

②互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．

例17.           若函数是函数的反函数，且，则(　　)

A．    B．    C．           D．

【答案】A

例18.           函数的反函数的定义域为(　 　)

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】函数的反函数的定义域就是的值域，

，，故选B.

例19.           若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点(　　)

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】原函数与反函数关于直线对称，点关于直线对称的点为，

必过点，选A.

跟踪训练——对数与对数运算(一)

1.     对应的指数式是(    )

1.    B.    C.   D.

【答案】B

2.     下列指数式与对数式互化不正确的一组是(    )

    A.与       B.与

C.与      D.与

【答案】C

3.     设，则的值等于(    )

1. 10    B.    C.100    D.1000

【答案】C

【解析】，，解得，选C.

4.     设，则底数的值等于(    )

1. 2    B.     C. 4    D.

【答案】D

【解析】，，，故选D.

5.     已知，那么等于(    )

1.     B.    C.    D.

【答案】C

【解析】，，，

，选C.

6.     若，则       ；若，则       .

【答案】

7.     计算：      ；        .

【答案】8，-6

8.     求下列各式的值：______；_______.

【答案】-6，

9.     求下列各式中的取值范围：(1)；    (2).

【答案】(1)；(2)

10. (1)设，求的值.

(2)设，且，求的值.

【答案】(1)12；(2)2

【解析】(1)，，；

(2)，，

且，，解得.

对数与对数运算(二)

1．(    )

A.1      B.    C.2     D.

【答案】B

2．化简得结果是(    )

A.     B.    C.    D.

【答案】C

【解析】，故选C.

3．化简的结果是(    )

A.     B.1     C.2     D.

【答案】A

4．已知， 则的值等于(    )

A.1      B.2     C.8              D.12

【答案】A

【解析】，，故选A.

5．化简的结果是 (     )

A.1      B.    C.2     D.3

【答案】C

【解析】，选C.

6．计算           .

【答案】1

【解析】原式

7．若，则          .

【答案】

【解析】，，

.

8．(1)已知，试用表示的值； 

(2)已知，用表示.

【答案】(1)；(2)

【解析】(1)，，

；

(2)，

.

跟踪训练——对数函数及其性质(一)

1.     下列各式错误的是(     )

A.          B. 

C.         D.

【答案】B

2.     当时,在同一坐标系中,函数与的图象是(     )

A     B     C     D

【答案】C

【解析】，，是增函数，且经过定点，是减函数，且经过定点，故选C.

3.     下列函数中哪个与函数是同一个函数(    )

A.        B. 

C.       D.

【答案】C

【解析】定义域为，A错误：定义域为；B错误：定义域为；C正确：，且定义域为；D错误：，故选C.

4.     函数的定义域是(     )

    A.   B.   C.   D.

【答案】D

【解析】要使有意义，则，即，

解得，故定义域为，选D.

5.     若，那么满足的条件是(     )

    A.   B.   C.  D.

【答案】C

【解析】，，，

，故选C.

6.     求下列函数的定义域：

(1)       (2)

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)依题意，解得或，

故定义域为；

(2)依题意，即，解得，

故定义域为.

7.     已知函数，，求：

(1)    的值域；

(2)    的最大值及相应的值.

【答案】(1)；(2)，

【解析】(1)是增函数且，

，，所以值域为；

(2)定义域为，要使有意义，

则，解得，

令，则

，

，即时，取得最大值-6.

跟踪训练——对数函数及其性质(二)

1.     函数的图象关于(    )

  A.轴对称   B.轴对称   C.原点对称   D. 直线对称

【答案】C

【解析】要使函数有意义，则，解得，

故定义域为，关于原点对称，

又，

为奇函数，关于原点对称，选C.

2.     函数的值域是(    )

  A.    B.   C.   D.

【答案】C

【解析】，

，故值域为，选C.

3.     设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则(    )

  A.    B.2     C.    D.4

【答案】D

【解析】，，

，故选D.

4.     图中的曲线是的图象，已知的值为，则曲线相应的 依次为(      )

A.            B.

 C.            D.

【答案】A

【解析】，在图中作直线从左到右与曲线相交，

对应横坐标等于底数，且底数依次增大，

故相应的依次为，故选A.

5.     下列函数中，在上为增函数的是(     )

A.      B.  

C.        D.

【答案】D

【解析】A错误：在为减函数；

B错误：为增函数，在为减函数，为增函数，在为减函数，在为增函数；

C错误：为增函数，在为减函数，在为减函数；

D正确：为减函数，在为增函数，在为减函数，

在为减函数，在为增函数.

6.     函数是         函数.(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”)

【答案】奇

【解析】恒成立，定义域为，关于原点对称，

又，

是奇函数.

7.     函数的反函数的图象过点，则的值为         .

【答案】3

【解析】函数的反函数的图象过点，则的图象过点，

代入得，，.

8.     求函数的单调区间.

【答案】单调增区间为，单调减区间为.

【解析】由解得或，

是由和复合而成的，

是减函数，在为减函数，在为增函数，

的单调增区间为，单调减区间为.

9.     若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.

【答案】

【解析】是由和复合而成的，

为减函数，在区间上是增函数，

在为减函数且恒成立，

且时，，解得，

的取值范围为.