初中数学鲁教版 (五四制)七年级下册4 二元一次方程与一次函数学案

7.4    二元一次方程与一次函数

知 识 梳 理

知识点1  二元一次方程与一次函数的关系

任何一个二元一次方程都可以化成______________关系式的形式，二元一次方程有_______个解，以这些解为坐标的点组成的图象与这个二元一次方程化成的一次函数的图象____________。反之一次函数图象上的任一点的坐标都可看成这个二元一次方程的____________。

注意  判断一个点的坐标是否为某二元一次方程的解，把这个点的横、纵坐标分别代入方程当中，看左右两边是否相等即可。

知识点2  二元一次方程组与一次函数的关系

方程组的解是函数与函数的图象_________坐标。

注意  利用二元一次方程组的解可以求出一次函数图象的交点，反之利用两个一次函数图象的交点，也可以把二元一次方程组的解求出来。

知识点3   用图象法解二元一次方程组的一般步骤

1. 先把两个方程化成_________的形式。
2. 建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的__________。
3. 写出两直线的________坐标（a,b），二元一次方程组的解为。

知识点4  利用二元一次方程组确定一次函数的表达式

1. 设出一次函数的表达式y=kx+b。
2. 将已知条件代入_________，得关于k,b的二元一次方程组。
3. 解方程组得________的值，进而求出一次函数的表达式。

考 点 突 破

考点1：二元一次方程与一次函数的关系

【典例1】已知直线y=2x - 1与直线y=x+3，则它们的交点的坐标为_______________。

思路导析：求交点的坐标，可以求方程组的解。

把y=2x - 1，y=x+3组成方程组，得   解得。

答案：

友情提示  方程组的解是函数y=mx+n与函数y=ax - b的图象的交点的坐标。

变式1  二元一次方程2x+y=4有________个解，以它的解为坐标的点都在函数_________ 的图象上。

变式2  如图所示，直线l1，l2 的交点坐标可以看作方程组__________________的解。

考点2：用图象法解二元一次方程组

【典例2】 用作图象的方法解方程组

思路导析：从函数的角度来看，二元一次方程组的解是两个一次函数图象的交点。因此，把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式，然后作出它们的图象，找出两图象的交点即可知方程组的解。

解：由①得y=x+1，取点( - 2,0)，(0,1)，作出直线l1。

    由②得y=2x - 2，取点(1,0)，(0, - 2)，作出直线l2。

观察图象得出交点为P(2,2)，所以方程组的解是。

友情提示：用图象法求二元一次方程组的近似解的一般方法：（1）线把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：（1）先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：y1=k1x+b1和y2=k2x+b2；（2）画出这两个一次函数的图象；（3）这两条直线交点的横、纵坐标就是二元一次方程组的解，横坐标是x，纵坐标是y。

变式3  如图所示，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是_______________。

变式4   已知二元一次方程组的解为则在同一平面直角坐标系中， 直线

l1：y＝x＋5与直线l2：y＝ 的交点坐标为______________。

典例3  某出租车公司收费标准如图所示，如果小明有19元钱，那么他乘此出租车最远能到达多少千米处？

思路导析:由图象知:3千米以内，收费5元；3千米以后，收费的价钱与路程成一次函数关系。由图象可求出一次函数的关系式，在此基础上，可求出最远的路程。

解:设y与x的函数关系式是y＝kx＋b（k≠0）.

把（3，5），（8，12）代入上式得解得

y与x的函数关系式是y＝。

当y＝19时，得19＝y＝，解得x＝13.

答:他乘此出租车最远能到达13千米处。

变式5  “低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游.周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按照原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中.小红从家出发到返回家中，行进路程y（km）随时间x（h）变化的函数图象大致如图所示。

（1）小红从甲地到乙地骑车的速度为__________ km/h；

（2）当1.5≤x≤2.5时，求出路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式，并求出乙地离小红家多少千米？

巩 固 提 高

1.下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x-y＝2的解的是（    ）

2.下列哪个方程组的解是一次函数y＝-5x＋1和y＝x＋1的图象的交点坐标（   ）

A .    B.    C.     D.

3.如图所示，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是（    ）

A.     B.    C.    D.

4.已知直线l1: y＝-3x＋b与直线l2: y＝-kx＋1在同一坐标系中的图象交于点（1，-2），那么方程组的解是（     ）

A.    B.    C.    D.

5.把方程x＋1＝4y＋化为y＝kx＋b的形式，正确的是（    ）

A.y＝x＋1    B.y＝    C.y＝x＋1     D.y＝

6.已知是方程组的解，那么一次函数y＝3 - x和y＝＋1的交点是____________。

7.已知一次函数y＝3x＋7的图象与y轴的交点在二元一次方程-2x＋by＝18的图象上，则b＝_______。

8.如图所示，已知一次函数y＝kx＋3和y＝-x＋b的图象交于点P（2，4）.则关于x的方程

kx＋3＝ - x＋b的解是_________________。

9.已知关于x，y的二元一次方程3ax＋2by＝0和5ax-3by＝19化成的两个一次函数的图象的交点坐标为（1，-1），则a＝_________，b＝___________。

10.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图所示，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系.请根据图象解答下列问题:

（1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？

（2）求线段CD对应的函数解析式。

真 题 训 练

1.（2018·呼和浩特）若以二元一次方程x＋2y - b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y＝-x＋b-1上，则常数b＝（     ）

A.    B.2    C.-1    D.1

2.（2018·济南）A，B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速行驶甲出发1小时后乙再出发.乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达。甲、乙两人离开A地的距离y（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发______小时后和乙相遇。

3.（2018·临沂）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行甲的速度大于乙的速度，甲到达B地后，乙继续前行.设出发x h后，两人相距y km，图中折线表示从两人出发至乙到达A地的过程中y与x之间的函数关系.根据图中信息，求：

（1）点Q的坐标，并说明它的实际意义；

（2）甲、乙人的速度。

参考答案及解析

知识梳理

知识点1:一次函数  无数  重合  解

知识点2:交点的横、纵

知识点3:1.一次函数  2.图象  3.交点

知识点4: 2.y＝kx＋b   3.k，b

考点突破

1.无数  y＝4-2x

2.    3.

4.（一4，1）

5.解:（1）10÷0.5＝20（km/h）

所以小红从甲地到乙地骑车的速度为20 km/h。

（2）20X×（2.5－1.5）＝20，20＋10＝30，∴点C的坐标为（2.5，30）

当1.5≤x≤2.5时，设路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式为y＝kx＋b。

把点B（1.5，10），点C（2.5，30）代入y＝kx＋b，得  解得

∴当1.5≤x≤2.5时，路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式为y＝20x-20，乙地离小红家30千米。

巩固提高

1.B  2.D  3.C  4.A  5.B

6.     7.   8. x=2     9. 2    3

10.解:（1）根据图象信息:货车的速度v货== 60（千米/时）

因为轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，

所以轿车到达乙地时，货车行驶的路程为:4.5×60＝270（千米），

此时，货车距乙地的路程为:300-270＝30（千米）

答:轿车到达乙地后，货车距乙地30千米；

（2）设CD段函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）（2.5x≤x≤4.5）。

因为C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上

所以   解得   所以CD段函数解析式为y＝110x-195（2.5≤x≤4.5）

真题训练

1.B     2.

3.解:（1）设直线PQ的解析式为y＝kx＋b，代入点（0，10）和的坐标，得

解得   故直线PQ的解析式为y＝-10x＋10。

当y＝0时，x＝1，故点Q的坐标为（1，0），该点表示甲乙两人经过1小时相遇。

（2）由点M的坐标可知甲经过h达到B地，故甲的速度为:10km÷ h＝6 km/h；

设乙的速度为x km/h，由两人经过1小时相遇，得:1·（x＋6）＝10，解得:x＝4，故乙的速度为4 km/h。