数学1 全等三角形学案设计

第十章  三角形的有关证明

10.1  全等三角形

知 识 梳 理

知识点1  有关全等三角形的基本事实

1.内容:

（1）____________________________________的两个三角形全等.（SAS）

（2）____________________________________的两个三角形全等.（ASA）

（3）____________________________________的两个三角形全等.（SSS）

（4）全等三角形的__________________相等，__________________相等。

2.符号语言如下:

（1）∵AB＝A'B'，____________，AC＝A'C'，∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）

（2）∵∠B＝∠B'，____________，∠C＝∠C'，∴△ABC≌△A'B'C'（ASA）

（3）∵___________________________________，∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）

（4）∵△ABC≌△A'B'C'，∴_____________________________________________________________。

知识点2  全等三角形的判定定理

________________的两个三角形全等。（AAS）

推论的符号语言:

∵∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，______________，∴△ABC≌△A'B'C'。

注意（1）两个三角形全等，所需要的三个条件中至少有一条边对应相等。（2）有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，即不存在SSA判定。

知识点3  常用结论

1.全等三角形对应边上的高________________。

2.全等三角形对应边上的中线__________________。

3.全等三角形对应角的角平分线____________________。

4.全等三角形的周长_________________。

5.全等三角形的面积_________________。

知识点4  重要思路

要证明两条线段（或两个角）相等，可以通过证明其所在的两个三角形全等来得到。

考 点 突 破

考点1:  三角形全等的判定

典例1如图所示，点B，F，C，E在直线上（F，C之间不能直接测量），点A，D在异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC。

（1）求证:△ABC≌△DEF；

（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由。

思路导析:（1）由BF＝EC，可得到BC＝EF，又已知AB＝DE，AC＝DF，根据“SSS可证得△ABC≌△DEF；（2）由△ABC≌△DEF可得到∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，根据“两直线平行内错角相等”可证得AB∥DE，AC∥DF。

解:（1）证明:∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF，

又∵AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF

（2）AB∥DE，AC∥DF

理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，

∴AB∥DE，AC∥DF。

友情提示  公共边、公共角往往隐藏于图形之中，在分析图形时，要注意挖掘这些条件，然后根据题目中的已有条件和隐含的条件，结合全等三角形的判定方法证明全等。

变式1  如图所示，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（    ）

A.∠A＝∠D     B.BC＝EF       C.∠ACB＝∠F      D.AC＝DF

变式2  如图所示，AE和BD相交于点C，∠A＝∠E，AC＝EC.求证:△ABC≌△EDC。

考点2:  利用三角形全等证线段相等

典例2  已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C，AB∥CD。求证:AD＝BC。

思路导析:要证明AD＝BC，可设法使它们分别在两个全等三角形中.因此，只要连接BD即可。

证明:如图所示，连接BD。∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB。

在△ABD和△CDB中，

∵∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，

∴△ABD≌△CDB（AAS），∴AD＝BC。

友情提示  （1）要证明两条线段相等，或证明两个角相等，可以将两条线段或两个角归结到两个全等三角形中。（2）作辅助线是几何证明题中常用的一种方法，要注意添加辅助线的合理性。

变式3  如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：

①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC，其中正确结论的序号是_______________。

变式4  如图所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证:BC＝BD。

巩 固 提 高

1.下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（    ）

A.甲和乙          B.乙和丙       C.甲和丙       D.只有丙

2.如图所示，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于（    ）

A.60°        B.50°          C.45°          D.30°

3.如图所示，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是

∠PRQ的平分线，此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是（    ）

A.SAS             B. ASA             C.AAS            D.SSS

4.如图所示，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（   ）

A.∠A＝∠D      B.∠ACB＝∠DBC       C.AC＝DB      D.AB＝DC

5.如图所示，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E，AD＝3，BE＝1.则DE的长是（     ）

A.            B.2             C.2               D.

6.如图所示，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A＝36º，∠C＝24°，则∠B＝__________。

7在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件__________，使△BED与△FED全等。

8.四边形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠BCD＝90°连接AC若AC＝6，则四边形ABCD的面积为___________。

9.如图所示，点E，F在BC上，BE＝CF、AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证:GE＝GF。

10.如图所示，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝ CF，AB＝DE，BC＝EF。

（1）求证:△ABC≌△DEF；

（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数。

11.如图所示，AB∥CD，E，F分别为AB，CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC，BF相交于点G，H。若AB＝CD，求证:AG＝DH。

真 题 训 练

1.（2018·安顺）如图所示，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（    ）

A.∠B＝∠C     B.AD＝AE     C.BD＝CE     D. BE＝CD

2.（2018·怀化节选）已知:如图所示，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB＝CD，∠B＝∠D。求证:△ABE≌△CDF。

参考答案及解析

知识梳理

知识点1：1.（1）有两条边及其夹角对应相等     （2）有两个角及其夹边对应相等

（3）有三条边对应相等      （4）对应边对应角

2.（1）∠A＝∠A'    （2）BC＝B'C'    （3）AB＝A'B'， BC＝B'C' ，AC＝A'C'

（4）AB＝A'B'，BC＝B'C'，AC＝A'C'，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'

知识点2:  两角分别相等且其中一组等角的对边相等    BC＝B'C'或AC＝A'C'

知识点3:  1.相等    2.相等    3.相等     4.相等     5.相等

考点突破

1.D

2.证明:∵∠ACB与∠ECD是对顶角，∴∠ACB＝∠ECD。

在△ABC和△EDC中，，△ABC≌△EDC（ASA）。

3.①②③

4.证明:∵∠3＋∠ABC＝180°，∠4＋∠ABD＝180°，∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD。

又∵AB＝AB，∠1＝∠2，∴△ABC≌△ABD。∴BC＝BD。

巩固提高

1.B    2.A    3.D    4.C    5.B     6.120°

7.答案不唯一，如:BD＝EF（或BD＝CD或DF∥AB或DE∥AC或∠BED＝∠EDF等）

8.  18

9.证明:∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE。

在△ABF和△DCE中，，△ABF≌△DCE（SAS）。

∴∠DEC＝∠AFB，∴GE＝GF。

10.解:（1）证明:AD＝CF，∴AD＋DC＝DC＋CF，即AC＝DF。

在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）。

（2）∵∠A＝55º，∠B＝88°，

∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－55º－88°＝37°。

∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB＝37°。

11.证明:AB∥CD，∴∠A＝∠D。又∵CE∥BF，∴∠AHB＝∠DGC。

在△ABH和△DCG中，，∴△ABH≌△DCG（AAS）。

∴AH＝DG。又∵AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH，∴AG＝DH。

真题训练

1. D
2. 解：证明：∵AB∥DC，∴∠A＝∠C。

在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）。