鲁教版 (五四制)七年级下册3 直角三角形导学案及答案

第十章    三角形的有关证明

10.3    直角三角形

知 识 梳 理

知识点1  勾股定理

直角三角形______________等于____________。

符号语言:如图所示，

在Rt△ABC中，

∵∠C＝90°，∴_________________。

知识点2  勾股定理的逆定理

定理:如果三角形两边的___________等于____________，那么这个三角形是直角三角形。

符号语言:如上图所示，在△ABC中，

∴________________，

∴△ABC是直角三角形。

注意  在运用勾股定理的逆定理时，当证明了最长边的平方等于另两边的平方和之后，应得到此三角形为直角三角形这一结论，然后结合式子，分析得知谁是直角边谁是斜边。

知识点3  互逆命题与互逆定理

互逆命题:在两个命题中，如果一个命题的_____________分别是另一个命题的___________，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

例如，原命题:两直线平行，同位角相等；逆命题:同位角相等，两直线平行。

互逆定理:如果一个定理的____________经过证明是_____________，那么它也是一个定理，这两个定理叫做________________，其中一个叫做另一个的逆定理。

注意  （1）任何一个命题均有逆命题。（2）原命题是真命题时，逆命题不一定是真命题。（3）不是所有的定理都有逆定理。

知识点4  “HL”定理

定理:____________和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

符号语言:在Rt△ABC和Rt△DEF中，

∴，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。

考 点 突 破

考点1:  勾股定理

典例1  如图所示，已知某校A与直线公路相距3000 m，又与该公路上某车站D相距5000 m，现要在公路边建一个小商店C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么，该店与车站D的距离是多少米？

思路导析: 设CD＝x m，在Rt△ABC中，可利用勾股定理建立等量关系列方程，并解方程求得。

解: 设小店C与车站D相距x m，则BC＝BD－x，在Rt△ABD中，

BD＝＝＝4000（m），所以BC＝4000－x。

在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，则x2＝30002＋（4000－x）2，解得x＝3125。

答:小店与车站相距3125m

友情提示  在直角三角形中遇到已知两边求第三边的题目，勾股定理是常用的定理。

变式1  如图所示，有两棵树，一棵树高8m，另一棵树高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了_________ m。

变式2  一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为（    ）

A.5     B.      C.      D.5或

考点2:  勾股定理的逆定理

典例2  △ABC的各边长分别为a＝m2－n2，b＝ 2mn，，c＝m2 ＋n2。

求证:△ABC是直角三角形。

思路导析:  只需证明最长边的平方等于另两边的平方和即可。

证明:∵（m2＋n2）2＝m4＋2m2n2＋n4，

（m2－n2）2＋（2mn）2＝m4＋n4－2m2n2＋4m2n2＝m4＋2m2n2＋n4，

∴（m2－n2）2＋（2mn）2＝（m2＋n2）2，即a2＋b2＝c2。

∴△ABC为直角三角形。

友情提示  在运用勾股定理逆定理判断三角形形状时，可以根据条件找出最长边。

变式3  下列结论错误的是（    ）

A.三个角度之比为1:2:3的三角形是直角三角形   

B.三条边长之比为3:4:5的三角形是直角三角形

C.三个角度之比为1:1:2的三角形是直角三角形  

D.三条边长之比为8:16:17的三角形是直角三角形

变式4  如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，AD＝13，CD＝12.

求证:∠ACD＝90°。

考点3:  互逆命题

典例3  说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假。

（1）全等三角形的对应边相等；

（2）对顶角相等。

思路导析:  要写出一个命题的逆命题，首先要弄清原命题的题设和结论，然后把结论与题设对调，同时注意语句要通顺。

解:（1）逆命题:如果两个三角形的对应边相等，那么它们是全等三角形这是一个真命题。

（2）逆命题:如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，这是一个假命题。

变式5  给出下列四个结论:①任意命题均有逆命题；②当逆命题为真命题时，统称它为逆定理；③任何定理均有逆定理；④定理总是正确的。其中正确的为（    ）

A.①②     B.②③     C.③④      D.①④

变式6  写出下列命题的逆命题，并判断真假。

（1）全等三角形的面积相等；

（2）四条边相等的四边形是正方形。

考点4:  用“HL”定理证明三角形全等

典例4  如图所示，AD为△ABC的高，点E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD。求证:BE⊥AC。

思路导析:  要证BE⊥AC，可证∠C＋∠1＝90°，而∠1＋∠2＝90°，只需证∠2＝∠C，从而转证它们所在△BDF与△ADC全等，而由条件可知，在Rt△BDF与Rt△ADC中，有BF＝AC，DF＝DC，故这两个三角形全等。

证明:∵AD⊥BC（已知），∴∠BDA＝∠ADC＝90°

在Rt△BDF和Rt△ADC中，，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）

∴∠2＝∠C，∵∠1＋∠2＝90°，∴∠1＋∠C＝90°，

∵∠1＋∠C＋∠BEC＝180°（三角形内角和定理），∴∠BEC＝90°，即BE⊥AC。

友情提示  证明两条线段相等，先考虑两个三角形全等，而两个三角形是直角三角形时，“HL”是非常简捷的方法。

变式7  如图所示，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，一条线段PQ＝AB，点P，Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，当AP＝__________时，才能使△ABC≌△QPA。

变式8  如图所示，∠ACB＝∠ADB＝90°，AC＝AD，点E是AB上一点。求证:CE＝DE。

巩 固 提 高

1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（     ）

A.5       B.6      C.7      D.8

2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（     ）

A.      B.       C.     D.

3.如图所示，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米。如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（     ）

A.0.7米     B.1.5米      C.2.2米      D.2.4米

4.一个直角三角形的斜边比一条直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为（     ）

A.4      B.8      C.10      D.12

5.如图所示，三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AB中点沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕EF交BC于点F，已知EF＝，则BC的长是（     ）

A.      B.        C.3       D.3

6.已知下列命题:

①若＞1，则a＞b；  ②若a＋b＝0，则；  ③等边三角形的三个内角都相等；

④底角相等的两个等腰三角形全等。  其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（     ）

A.1个      B.2个       C.3个      D.4个

7.如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（      ）

A.3      B.3       C.      D.3

8.如图所示，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为（     ）

A.3      B.2      C.3      D.6

9.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是:如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长。如果设AC＝x，则可列方程为_________________。

10.写出命题“如果a＝b，那么3a＝3b”的逆命题：___________________________________________。

11、如图所示，一张三角形纸片ABC，∠C＝90º，AC＝8 cm，BC＝6 cm，现将纸片折叠:使点A与点B重合，那么折痕长等于___________ cm。

12、如图所示，水池中离岸边D点1.5 m的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5 m，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好会在D处，求水深AC。

13.在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积。

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程。

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真 题 训 练

1.（2018·南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ）

A.3，4，5      B.2，3，4      C.4，6，7      D.5，11，12

2.（襄阳中考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（    ）

A.3      B.4      C.5       D.6

3.（2018·长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是:有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为（     ）

A.7.5平方千米     B.15平方千米      C.75平方千米      D.750平方千米

4.（2017·常德）命题:“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为:_____________________。

5.（2018·黄冈）如图所示，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为________________ cm（杯壁厚度不计）。

参考答案及解析

知识梳理

知识点1:  两条直角边的平方和     斜边的平方     a2+b2＝c2

知识点2:  平方和    第三边的平方     a2+b2＝c2

知识点3:  条件和结论     结论和条件     逆命题    真命题     互逆定理

知识点4:  斜边

考点突破

1. 10     2.D       3.D

4.证明:在Rt△ABC中，∵AB2+BC2＝AC2，∴32+42＝AC2，∴AC＝5.

在△ACD中，∵AC2+CD2＝52+122＝169，AD2＝132＝169，∴AC2+CD2＝AD2。

∴△ACD是直角正角形，且∠ACD是直角。∴∠ACD＝90º.

5. D

6.（1）面积相等的三角形全等。  假命题。

（2）正方形的四条边相等。     真命题。

7. CB

8，提示:先证△ABC≌△ABD，再证△ECF≌△EDB。

巩固提高

1.A    2.A    3.C    4.C     5.B   6.A     7.C    8.B    9. x2+9＝（10－x）2

10.如果3a＝3b，那么a＝b      11.

12.解:设AC＝x，则AD＝AB＝ェ＋0.5，

由勾股定理得x2＋1.52＝（x＋0.5）2，可得x＝2。

即水深AC为2 m。

13.解:作AD⊥BC于D.设BD＝x，则CD＝14－x，如图所示：

在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，

在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2＝AC2－ CD2＝132－（14－x）2，解得x＝9。

∴AD＝12，∴S△ABC＝BC・AD＝×14×12＝84。

真题训练

1.A    2.C     3.A

4.如果m是有理数，则它是整数

5.20