鲁教版 (五四制)七年级下册4 线段的垂直平分线导学案

第十章    三角形的有关证明

10.4    线段的垂直平分线

知 识 梳 理

知识点1  线段的垂直平分线

____________________________________的直线，叫做线段的_________________，也叫中垂线。

知识点2  线段垂直平分线的性质定理

线段垂直平分线上的点到_____________________________________。

符号语言:如图所示，

∵点P在线段AB的垂直平分线上，

    ∴______________。

知识点3  线段垂直平分线的逆定理

__________________________________，在这条线段的垂直平分线上。

符号语言:如图所示，

∵MA＝MB，

∴点M在线段AB的垂直平分线上。

注意  此定理只能说明点M在线段AB的垂直平分线上，并不能说明过点M的直线就是中垂线。

知识点4  三角形三边垂直平分线的性质

三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到___________________________________。

注意  锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形的内部，直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上，钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形的外部。

知识点5  用直尺和圆规作图

1.作线段的垂直平分线

2.过一点作已知直线的垂线

3.作满足条件的等腰三角形

考 点 突 破

考点1:  线段的垂直平分线

典例1  如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为线段AB的垂直平分线，DE⊥AC交CA的延长线于点E。

求证:DE＝EA＋BC.

思路导析:  由线段垂直平分线的性质定理易证AC＝BC，可联想把BC转化到线段EC上，从而有EC＝EA＋BC，再证明DE＝EC即可。

证明:∵CD垂直平分AB，∴AC＝BC。∴CO平分∠ACB。

∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠ACB＝45°，

在Rt△ECD中，

∵∠EDC＝90°－∠ACD＝90°－45°＝45°，∴∠ECD＝∠EDC。

∴∴DE＝EC＝EA＋AC＝EA＋BC

友情提示  与线段垂直平分线性质定理密切相关的知识有①等腰三角形；②直角三角形；③外角等基本知识。

变式1  如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC＝____________。

典例2  如图所示，在三角形中，AB＝AC，D是直线AE上的一点，且∠DBC＝∠DCB。试探究直线AD和线段BC的关系，并证明。

思路导析:  由AB＝AC，可得点A在线段BC的垂直平分线上.要注意的是，这一步仅仅是得到一个点A在垂直平分线上，还不能说AD是BC的垂直平分线.又由∠DBC＝∠DCB得DB＝DC，进而得点D在线段BC的垂直平分线上，由两点确定一条直线得AD是线段BC的垂直平分线。

解:AD是线段BC的垂直平分线，理由如下:

∵AB＝AC，∴A在线段BC的垂直平分线上。

∵∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC。∴点D在线段BC的垂直平分线上。

∴AD是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）。

友情提示  由“两点确定一条直线”知，要说明AE是线段BC的垂直平分线，必须要证明点A，点D这两个点都在线段BC的垂直平分线上。

变式2  如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上的一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F。求证:点E在AF的垂直平分线上。

考点2:  尺规作图

典例3  如图所示，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，有关部门计划建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，学校的位置应设在何处？请说明理由。

思路导析:  把A，B，C三个村庄作为三角形的三个顶点，问题变为作三角形三边的垂直平分线的问题。

解:连接AC，AB，BC.作AC，AB的垂直平分线交于点P，所以学校的位置应设在P点.

理由:连接AP，BP，CP。∵PE是AB的垂直平分线，∴PA＝PB。

∵PF是AC的垂直平分线，∴PA＝PC。∴ PA＝PB＝PC。

友情提示  （1）作图要做到:留痕迹，写作法，下结论（2）具体确定学校的位置还要结合地理位置来考虑，但总的原则是不变的，运用数学的方法来解决实际问题是我们学习数学的最终目的。

变式3  为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A，B，C不在同一直线上，地理位置如图所示），请你用尺规作图的方法确定点P的位置。

要求:写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹。

巩 固 提 高

1.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（    ）

A.30°      B.45°      C.50°     D.75°

2.如图所示，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD＝（     ）

A.3      B.4       C.4.8       D.5

3.如图所示，等腰△ABC的周长为21，底边BC = 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（    ）

A.13     B.14      C.15     D.16

4.如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（    ）

A.50°      B.100°      C.120°      D.130°

5.如图所示，在△ABC中，∠ABC＝120°，若DE，FG分别垂直平分AB，BC，那么∠EBF为（    ）A.45°     B.30°     C.60°     D.40°

6.在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E.已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为（    ）

A.30°      B.40°      C.50°     D.60°

7.如图所示，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q。若BF＝2，则PE的长为（     ）

A.2      B.2       C.       D.3

8.如图所示，在△AEF中，尺规作图如下:分别以点E，点F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（     ）

A.AO平分∠EAF    B.AO垂直平分EF      C.GH垂直平分EF       D.GH平分AF

9.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°DE垂直平分AB交CA的延长线于点D，则

∠DBC的度数为______________。

10.如图所示，在△ABC中，按以下步骤作图:①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD.若AB＝BD，AB＝6，∠C＝30°，则△ACD的面积为___________。

11.如图所示，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是___________。

12.如图所示，要在小河河岸修一供水站，供水到张庄、李庄，要求供水站到张庄、李庄的距离相等，请你设计一个方案，确定供水站在河岸的位置。

13.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连接EC。

（1）求∠ECD的度数；

（2）若CE＝5，求BC长。

真 题 训 练

1.（2018·黄冈）如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（     ）

A.50°      B.70°      C.75°      D.80°

2.（2018·安顺）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是（     ）

3.（2018·淮安）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，点Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是____________。

参考答案及解析

知识梳理

知识点1:  垂直于一条线段且平分这条线段     垂直平分线

知识点2:  这条线段两个端点的距离相等    PA＝PB

知识点3:  到线段两个端点距离相等的点

知识点4:  三个顶点的距离相等

考点突破

1.15°

2.证明:・E是BD的垂直平分线上的一点，∴EB＝ED。

∴∠B＝∠D，又∵∠ACB＝90º，∴∠A＝90°－∠B，∠2＝90°－∠D。

∴∠2＝∠A。又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A。∴EF = EA。

∴点E在AF的垂直平分线上。

3.已知:A，B，C三点不在同一直线上。

求作:一点P，使PA＝PB＝PC。

现固提高

1.B    2.D    3.A    4.B     5.C     6.B     7.C     8.C

9. 90°    10. 9      11. 15

12.提示:连接张庄、李庄两点，作中垂线。

13.（1）∠ECD＝36º，     （2）BC＝5。

真题训练

1. B    2. D     3.