数学鲁教版 (五四制)5 角平分线学案

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第十章    三角形的有关证明10.5    角平分线知 识 梳 理知识点1  角平分线的性质建理角平分线上的点到_______________________________。符号语言：如图所示，∵点P在∠AOB的平分线OC上，_____________________。    ∴PD = PE。知识点2  角平分线性质定理的逆定理逆定理：在一个角的内部，并目_____________________，在这个角的平分线上。符号语言，如上图所示，    ∵PD＝PE，    ∴点P在∠AOB的平分线OC上。注意  （1）角平分线性质定理中的距离是指点到角的两边垂线段的长（2）定理中的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么过南的顶点和该点的射线必平分这个角。知识点3  三角形三内角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到_____________________________。注意  三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心，无论是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形，其内心一定在其内部。考 点 突 破考点1:  角平分线的性质典例1  如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DF⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝CF。求证:BD＝DF。 思路导析:  要证BD＝DF，可考虑证明△BDE≌△FDC。由已知BE＝CF，∠BED＝∠C＝90º，若能证明DE＝CD或证明另一锐角对应相等即可。由AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，易证得DE＝CD，故可从证DE＝CD入手。证明:∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD。在△BDE和△FDC中，∵DE＝CD，∠BED＝∠C＝90°，BE＝FC，∴△BDE≌△FDC。∴BD＝DF。友情提示  角平分线的性质定理和其他知识联系比较紧密，如果图中不满足角平分线的基本图形，应考虑添加辅助线。变式1  如图所示，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D。若PD＝2，则点P到边OA的距离是（     ）A.1      B.2       C.      D.4    变式2  如图所示，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝36 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，则DE＝_________ cm。考点2:  角平分线的性质定理的逆定理典例2  如图所示，BM，CN是△ABC的两条角平分线，相交于点P。求证:点P在∠BAC的平分线上。   思路导析:  要证点P在∠BAC的平分线上，即证点P到AB，AC的距离相等，从已知可知点P在BM上，所以点P到AB，BC两边的距离相等，点P又在CN上，所以点P到AC，BC两边的距离相等，从而由等量代换可得证。证明:过点P分别作PD，PE，PF垂直于AB，BC，CA，垂足分别为点D，E，F。∵点P在∠ABC的平分线BM上，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD＝PE。同理可证PE＝PF∴PD＝PF。又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴点P在∠BAC的平分线上。友情提示  证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等常用的方法有:利用全等三角形、角平分线的性质和利用l面吹相等，但要特别注意的是点到角两边的距离。变式3  如图所示，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。求证:DE＝DF。   考点3:尺规作图典例3  如图所示，求作点P，使PA＝PB，并使点P到∠MON的两边距离相等。   思路导析:  由于PA＝PB，故点P必在AB的垂直平分线上；又点P到∠MON的两边距离相等，故点P应在∠MON的平分线上，所以点P应是线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线的交点。解:如图所示:   变式4  如图所示是一块三角形草坪，现在要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ）A.△ABC的三条中线的交点          B.△ABC三边的中垂线的交点C.△ABC三条角平分线的交点        D.△ABC三条高所在直线的交点巩 固 提 高1.如图所示，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（     ）A.PC＝PD      B.∠CPO＝∠DOP     C.∠CPO＝∠DPO      D.OC＝OD2.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F。下列给出四个结论:①DA平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B，C两点距离相等；④到AE，AF距离相等的点，到DE，DF的距离也相等。其中正确的结论有（    ）A.1个      B.2个       C.3个       D.4个   3.如图所示，在△ABC中，∠A＝40°，D点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠BDC的度数是（    ）A.80°      B.140°      C.110°      D.120°4.如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为（     ）A.6       B.7      C.8      D.9    5.如图所示，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB的度数是（    ）A.30°      B.35°      C.45°      D.60°6.如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上。若AB＝3，BC＝4，则BD＝__________。    7.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，垂足是点E，若AB＝7，则△DEB的周长是___________。8.如图所示，∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA于点D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE＝________度。    9.如图所示，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E，F分别为AC，CD的中点，∠D＝a，则∠BEF的度数为_________________。（用含a的式子表示）10.有公路l2同侧2异侧的两个城镇A，B，如图所示电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置（保留作图痕迹，不要求写出画法）。     11.如图所示，点P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF。求证:（1）PE＝PF；（2）点P在∠BAC的平分线上。    真 题 训 练1（2018·宜昌）尺规作图经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（   ）   2、（2018·州）如图所示，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP中截取OM＝6，则M点到OB的距离为（     ）A.6      B.2      C.3       D.3   3.（2018·常德）如图所示，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为（     ）A.6      B.5       C.4      D.34.（2018·东营）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D。若BD＝3，AC＝10，则△ACD的面积是________________。     参考答案及解析知识梳理知识点1:  这个角的两边的距离相等     PD⊥OA，PE⊥OB知识点2:  到角的两边距离相等的点     PD⊥OA，PE⊥OB知识点3:  三条边的距离相等考点突破1.B     2.3.提示:连接AD，证明△AED≌△AFD4.C巩固提高1.B     2.D     3.C     4.D     5.B      6.     7. 7       8.  1309.270°－3a10.解:根据题意知，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点。（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；（2）作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置。 11.证明:（1）如图所示，连接AP。   ∵∠AEP＝∠AFP＝90°，AE＝AF， AP＝AP，∴Rt△AEP≌Rt△AFP.∴PE＝PF。（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，∴∠EAP＝∠FAP。∴AP是∠BAC的平分线。故点P在∠BAC的平分线上。真题训练1.B    2.C     3.D     4. 15