鲁教版 (五四制)七年级下册6 一元一次不等式组第2课时学案设计

第十一章    一元一次不等式与一元一次不等式组

11.6    一元一次不等式组

第2课时

知 识 梳 理

知识点  用一元一次不等式组解决实际问题的一般步骤

1.审题，找出不等关系。                   2.设未知数。

3.列出一元一次不等式组。                 4.解一元一次不等式组。

5.从不等式的解集中求出符合题意的答案。   6.答:确定解。

注意  审题时，需抓住表示不等关系的关键词——“大于”“小于”“少”“不少于”“超过”“不超过”“最多”“最大”等等，努力寻找能体现全题的不等关系。

考 点 突 破

考点1:  一元一次不等式组的简单应用

典例1  某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒。

（1）设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含x的代数式表示）

（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？

思路导析:  （1）敬老院有x名老人，由题意得这批牛奶共有（5x＋38）盒。（2）列不等式组，求出整数解，分别找出最小值和最大值。

解:（1）牛奶盒数:（5x＋38）盒.

（2）根据题意，得，不等式组的解集为39＜x≤43。

∵x为整数，∴x＝40，41，42，43。

答:该敬老院至少有40名老人，最多有43名老人。

变式1  某公司计划生产甲、乙两种产品共20件，其总产值w（万元）满足:1150＜w＜1200，相关数据如下表，为此，公司应怎样设计这两种产品的生产方案？

变式2  某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位。

（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；

（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元。根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）。请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金。

考点2:  利用一元一次不等式组设计方案

典例2  为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和排球.已知篮球和排球的单价比为3:2，单价和为80元。

（1）篮球和排球的单价分别是多少元？

（2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量多于25个，有哪几种购买方案？思路导析: （1）通过列方程求出篮球和排球的单价；（2）通过列不等式组求出整数解，即可列出购买方案。

解:（1）设篮球的单价为x元，则排球的单价为x元。

依题意，得x＋x＝80，解得x＝48。∴x＝32。

即篮球和排球的单价分别是48元、32元。

（2）设购买的篮球数量为n个，则购买的排球数量为（36－n）个。

∴，解得25＜n≤28。

而n为整数，所以其取值为26，27，28，对应的36－n的值为10，9，8，所以共有三种购买方案。方案一:购买篮球26个，排球10个；方案二:购买篮球27个，排球9个；方案三:购买篮球28个排球8个。

友情提示  利用不等式（组）解决方案设计问题时，可转化为求不等式（组）整数解的问题。

变式3  某工厂生产A，B两种产品共50件，其生产成本与利润如下表所示:

若该工厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利润最大？最大利润是多少？

变式4  某仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，计划用A，B两种共50辆货车运往外地。已知一辆A种货车的运费需0.5万元，一辆B种货车的运费需0.8万元。

（1）设A种货车为x辆，运输这批货物的总运费为y万元，试写出y与x的关系表达式；

（2）若一辆A种货车能装载甲种货物9吨和乙种货物3吨；一辆B种货车能装载甲种货物6吨和乙种货物8吨。按此要求安排A，B两种货车运送这批货物，有哪几种运输方案？请设计出来。

（3）试说明哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？

巩 固 提 高

1.若三角形三边分别是3，（1－2a），8，则a的取值范围是（    ）

A.－5＜a＜－2     B.a＞－5     C.－5≤a≤－2     D.a＞－2或a＜－5

2.现用甲、乙两种运输车将46 t抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5 t，乙种运输车载重4 t，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（    ）

A.4辆       B.5辆        C.6辆        D.7辆

3.关于x的不等式组，的所有整数解之和为________________。

4.已知关于x的不等式组，只有四个整数解，则实数a的取值范围是_______________。

5.某服装店欲购甲、乙两种新款运动服，甲款每套进价350元，乙款每套进价200元，该店计划用不低于7600元且不高于8000元的资金订购30套甲、乙两款运动服。若设该店订购甲款运动服x套，则订购乙款运动服30－x套，由题意列不等式组为______________________。

6.学校现有若干个房间分配给九年级（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人，若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满），那么该班的男生人数是________________人。

7.解不等式组:，并把解集在数轴上表示出来。

8.湘潭继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍。

（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各多少元？

（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？

9.用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板，现准备购买A，B型钢板共100块，并全部加工成C，D型钢板。要求C型钢板不少于120块，D型钢板不少于250块，设购买A型钢板x块（x为整数）。

（1）求A，B型钢板的购买方案共有多少种？

（2）出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元.若将C，D型钢板全部出售，请你设计获利最大的购买方案。

真 题 训 练

1.（2018·东营）在平面直角坐标系中，若点P（m－2，m＋1）在第二象限，则m的取值范围是

（     ）

A.m＜－1       B.m＞2       C.－1＜m＜2       D.m＞－1

2.（2017·重庆B改编）若a使关于x的不等式组，有且仅有四个整数解，则所有满足条件的整数a是__________________。

3.（中山中考）某夏令营的活动时间为15天，营员的宿舍安装了空调，如果某间宿舍每天比原计划多开2个小时的空调，那么开空调的总时间超过150小时；如果每天比原计划少开2个小时的空调，那么开空调的总时间不足120小时。若设原计划每天开空调的时间为x小时，则根据题意可列不等式组为____________________________。

4.（2018·恩施）某学校为改善办学条件，计划采购A，B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元。

（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；

（2）若学校计划采购A，B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？

（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？

5.（2018·莱芜）快递公司为提高快递分拣速度，决定购买机器人来代替人工分拣。已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元。（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；

（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？

参考答案及解析

考点突破

1.解:设计划生产甲产品x件，则生产乙产品（20－x）件。

根据题意，得  解得10＜x＜。

∵x为整数，∴x＝11，此时，20－x＝9（件）。

答:公司应安排生产甲产品11件，乙产品9件。

2.解:（1）设单独租用35座客车需x辆.由题意，得35x＝55（x－1）－45.

解得x＝5。∴35x＝35×5＝175（人）

答:该校八年级参加社会实践活动的人数为175人.

（2）设租35座客车y辆，则租55座客车（4－y）辆，

由题意，得，解这个不等式组，得1≤y≤2。

∵y取正整数，∴y＝2。∴4－y＝4－2＝2。∴320×2＋400×2＝1440（元）。

答:本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元。

3.解:设生产A种产品x件，则B种产品为（50－x）件.

根据题意得不等式组的解集为≤x＜20。

∵x为整数，∴x＝17或18或19。

生产方案如下：①甲17件，乙33件；②甲18件，乙32件；③甲19件，乙31件。

设利润为w，则根据题意可得：w＝0.2x＋0.4（50－x）＝－0.2x＋20，∵－0.2＜0，

∴w随x的增大而减小。∴当x＝17时，w最大＝－0.2×17＋20＝16.6（万元）。

4.解:（1）设A种货车为x辆，则B种货车为（50－x）辆。

根据题意，得y＝0.5x＋0.8（50－x），即y＝－0.3x＋40。

（2）根据题意，得，解这个不等式组，得20≤x≤22。

∵x是整数，∴x可取20，21，22。

即共有三种方案:

（3）由（1）可知，总运费y＝－0.3x＋40，∵k＝－0.3＜0，

∴一次函数y＝－0.3x＋40的函数值随x的增大而减小。

所以x＝22时，y有最小值，即y＝－0.3×22＋40＝33.4（万元）。

选择方案三:A种货车为22辆，B种货车为28辆，总运费最少是33.4万元。

巩固提高

1.A    2.C    3.3    4.－3＜a≤－2

5.      6.47

7.解:解不等式①，得x＞－1；解不等式②，得x≤3。

原不等式组的解集为－1＜x≤3。

在数轴上表示如下：

8.解:（1）设温馨提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，根据题意得

2x＋3×3x＝550，∴x＝50。经检验，符合题意，∴3x＝3×50＝150。

答:温馨提示牌单价为50元，垃圾箱的单价为150元。

（2）设购买垃圾箱m个，则温馨提示牌为（100－m）个，由题意得

解得:48≤m≤50。又m为整数，∴m＝48，49，50。

∴方案一所需资金最少，为9800元。

9.解:（1）设A型钢板x块，则B型钢板有（100－x）块，

根据题意，得，解得20≤x≤25。

又因为x为整数，所以x＝20，21，22，23，24，25，购买方案共有6种。

（2）设全部出售后共获利y元，则

y＝100（2x＋100－x）＋120[x＋3（100－x）］＝－140x＋46000，

因为k＝－140＜0，所以y随着x的增大而减小，

当x＝20时，y＝－140×20＋46000＝43200（元）。

即获利最大的方案为购买A型钢板20块，B型钢板80块。

真题训练

1.C     2.－3，－2，－1，0，1，2，3      3.

4.解:（1）设A型空调每台x元，B型空调每台y元，

由题意得，解得，

A型空调每台9000元，B型空调每台6000元。

（2）设A型空调购买x台，则B型空调购买（30－x）台.

由题意得，解得10≤x≤。

∵x只能取整数，∴x可取10，11，12。

因此，共有3种采购方案:

方案一:购买10台A型空调，20台B型空调。

方案二:购买11台A型空调，19台B型空调。

方案三:购买12台A型空调，18台B型空调。

（3）要使费用最低，应尽可能少地购买A型空调，尽可能多地购买B型空调，因此方案一的费用最低。

5.解:（1）设甲型机器人每台价格是x万元，乙型机器人每台价格是y万元，

根据题意得，解得。

答:甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元；

（2）设该公司购买甲型机器人为a台，乙型机器人（8－a）台，

根据题意得，解这个不等式组得≤a≤。

∵a为正整数，∴a的取值为2，3，4。

∴该公司有3种购买方案，分别是:

方案一:购买甲型机器人2台，乙型机器人6台；

方案二:购买甲型机器人3台，乙型机器人5台；

方案三:购买甲型机器人4台，乙型机器人4台；

设该公司的购买费用为w万元，则w＝6a＋4（8－a）＝2a＋32。

∵w随a的增大而增大，∴当a＝2时，w最小，W最小＝2×2＋32＝36（万元）。

∴该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元。