2021-2022学年河北省鸡泽县第一中学高二上学期第三次月考数学试题含答案

鸡泽县第一中学2021-2022学年高二上学期第三次月考

数学试题

一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.)

1.若直线l的倾斜角等于135°，则直线l的一个方向向量是(   )

A.      B.      C.      D.

2.已知平面α和平面β的法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.α⊥β     B.α∥β     C.α与β相交但不垂直     D.以上都不对

3．若直线与直线垂直，则（   ）

A. -2 B.  C.  D. 2

4．已知数列为等差数列，其前n项和为，，则(   )

A.110 B.55 C.50 D.45

5．已知双曲线E的渐近线为，则其离心率为（）

A.      B.      C.      D.

6．已知过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，为其右焦点，若，则椭圆的离心率为(   )

A. B. C. D.

7．动圆P过定点，且与已知圆相切，则动圆圆心P的轨迹方程是(   )

A. B.    C. D.

8．已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)，设直线l：x＋2y－8＝0与两坐标轴的交点分别为A，B，若圆O上存在点P满足|AP|＝|BP|，则r的最小值为

A.        B.        C.2        D.3

二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分；选漏得2分，选错得0分)

9．已知直线l经过点(1，2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程可能为(　　)

A．2x-y＝0    B．x+y－3＝0   C．x－y＋1＝0     D．3x＋y－5＝0

10.已知等差数列的前项和为，若，则下列判断正确的有（）

A.      B.      C.      D.

11．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在E上，若△F1PF2是直角三角形，则△F1PF2的面积可能为

A.5     B.4     C.     D.

12．已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在上的射影,且|AF|=3|BF|,M为AB中点,则下列结论正确的是(　　)

A.∠CFD=90°                  B.△CMD为等腰直角三角形

C.直线AB的斜率为         D.△AOB的面积为4

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)

13．焦点坐标为的抛物线的标椎方程是________．

14.双曲线的焦点到渐近线的距离是_________.

15．圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆的方程是_____．

16.已知两个等差数列和的前n项和分别为，，且，则_________.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(本小题满分10分)已知直线l经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于两点.

(1)若直线l的倾斜角为,求的值;

(2)若,求线段的中点M到准线的距离.

18．(本小题满分12分)已知点，和直线.

（1）若是直线上一个动点，求的最小值；

（2）若椭圆以为焦点且与直线有公共点，求椭圆的离心率的最大值.

19．(本小题满分12分)已知数列满足，，.
（1）设，证明数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式.

20.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率,是椭圆上两点, 是线段的中点.

（1）求直线的方程;

（2）若以为直径的圆与直线相切,求出该椭圆方程.

21．(本小题满分12分)

如图，在四棱锥中，侧面⊥底面，侧面是等边三角形，底面是菱形，且，.

(1)   求与平面所成的角；

(2)   求平面与平面的夹角的余弦值.

22.(本小题满分12分)已知双曲线E：(a>0，b>0)的离心率为2，点P(2，3)在E上。

(1)求E的方程；

(2)过点Q(0，1)的直线交E于不同的两点A，B(均异于点P)，求直线PA，PB的斜率之和.

高二数学试题答案

1--8  ABDBD  DCA

9.AB   10.ABD  11.BC   12.AC 

13.      14.1    15.     16.    

17.（10分）【解析】(1)因为直线l的倾斜角为,所以其斜率,又,所以直线l的方程为.

联立,消去y,得.

设,则.

而,

∴.

(2)设到准线的距离分别为，由梯形中位线性质可知，又由抛物线的定义可知,

∴点M到准线的距离为.

18.（12分）解析:（1）设点关于直线的对称点为，易知，

由“对称性和两点之间线段最短”，可知.

（2）设M是椭圆E 与直线的一个公共点，则.

由（1）可知

所以椭圆E离心率，即椭圆E离心率的最大值为.

19.(12分)解析（1）由，得，即.

又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）知，
即.
于是当时，

，

当时，显然也适合上式.

综上，数列的通项公式为.

20.（12分）【解析】（1）离心率,

设椭圆

设由题意,

设直线的方程为,代入,

整理得,.①,②且,由是线段的中点,得.解得,

代入②得,

∴直线的方程为,即

（2）圆心到直线的距离,

.

当时方程①即,

解得.

椭圆方程为.

21.（12分）【解析】　（1）过P作PO⊥AD于O，易知O为AD的中点．

∵侧面PAD⊥底面ABCD，且交线为AD，

∴PO⊥平面ABCD，连接OB，

∴∠PBO即为PB与面ABCD所成的角，

又∵底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60，∴OB⊥AD且OB=OP,

又易知PO⊥OB

所以∠PBO＝45，…4分

（2）以O为坐标原点，，，分

 别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间

直角坐标系O-xyz，则A(1，0，0)，P(0，0，)，

B(0，，0)，D(－1，0，0)．

＝(－1，0，)，＝(0，，－)，
＝＝(2，0，0)    …6分

设平面APB的法向量m＝(x1，y1，z1)，

由得取m＝(，1，1)．…8分

设平面PBC的法向量n＝(x2，y2，z2)，

由得取n＝(0，1，1)．    …10分
∴cosm，n＝＝＝，        …11分

∴平面APB与平面CPB的夹角的余弦值为．        …12分

22.（12分）【解析】（1）由已知可得e＝＝2，

∴e2＝＝1＋＝4，解得b2＝3a2  ①

又∵点P(2，3)在E上，∴－＝1  ②

由①②可得a2＝1，b2＝3．

∴双曲线E的方程为x2－＝1．         …5分

（2）过点Q(0，1)的直线l斜率显然存在，

设l的方程为：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将l的方程代入双曲线E的方程并整理得(3－k2)x2－2kx－4＝0，
依题意3－k2≠0，且＞0，所以k2＜4且k2≠3，

因此，可得x1＋x2＝，x1x2＝．        …7分

∴kPA＋kPB＝＋＝＋＝2k＋(2k－2) (＋)

＝2k＋＝2k＋

＝3．             …12分

注：不考虑判别式的不扣分．