2021-2022学年四川省遂宁市高二上学期期末数学（理）试题含解析

这是一份2021-2022学年四川省遂宁市高二上学期期末数学（理）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省遂宁市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知三维数组，，且，则实数k的值为（       ）A．-2 B．2 C． D．-9【答案】B【分析】根据两个向量垂直可得其数量积为，然后解方程即可【详解】根据，可得：则有：解得：故选：2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（       ）A．至少有一个黑球与都是红球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个红球与至少有1个黑球D．恰有1个红球与恰有2个红球【答案】D【分析】A. 至少有一个黑球与都是红球,是对立关系，因此能判断A不符合要求；B. 至少有一个红球包括两球都是红球，二者不互斥，不符合要求；C. 至少有一个红球与至少有1个黑球，含有同时发生的情况，不符合要求；D. 恰有1个红球与恰有2个红球，二者符合题目要求.【详解】A. 至少有一个黑球与都是红球,二者不会同时发生，是互斥关系，任取2个球时，这两个事件又一定会有一个发生，因此二者又是对立事件，不符合题目要求；B. 至少有一个红球包括两球都是红球，因此二者会同时发生，不是互斥关系，不符合要求；C. 至少有一个红球与至少有1个黑球，二者都含有恰有一个红球和一个黑球的情况，会有同时发生的可能，不是互斥关系，不符合要求；D. 恰有1个红球与恰有2个红球，二者不会同时发生，是互斥事件，但二者有可能都不会发生，比如取到的两球都是黑球，故二者不是对立事件，符合题目要求.故选：D3．已知直线和直线互相平行，则等于（       ）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】由两直线的一般方程平行得，在进行检验,即可得到答案.【详解】直线和直线互相平行，，经检验两种情况都满足条件.故选：A.4．设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，且，，下列命题正确的是（       ）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】C【分析】根据已知条件判断线线、线面以及面面位置关系，可判断ABD选项的正误，利用面面垂直的判定定理可判断C选项的正误.【详解】对于A选项，因为，，，则、平行或相交，A错；对于B选项，因为，，，则、平行或异面，B错；对于C选项，因为，，，由面面垂直的判定定理可知，C对；对于D选项，因为，，，则或或与相交，D错.故选：C.5．过点可以向圆引两条切线，则的范围是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】过点可以向圆引两条切线，即点在圆外，即到圆心的距离大于圆的半径，则把圆的方程化为标准方程后，找出圆的圆心和半径，利用两点间的距离公式求出点到圆心的距离，由且，即可求解.【详解】把圆的方程化为标准方程得，即圆心坐标为，半径为，点到圆心的距离为，∵在圆外时，过点可以向圆引两条切线，∴，即,且，解得，故选：.6．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学．“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的，分别为91，39，则输出的（       ）A．3 B．7 C．13 D．21【答案】C【分析】由题中程序框图可知，该程序功能是利用循环结构计算并输出值，模拟程序的运行过程，分析循环过程中各个变量值的变化情况，即可得到答案.【详解】由程序框图可知当，时，满足，则，当，时，满足，则，当，时，满足，则，当，时，满足，则，当，时，满足，则，故选：.7．在直三棱柱中，已知，AB= BC=2， ，则异面直线所成的角为（     ）A．30° B．60° C．75° D．90°【答案】B【分析】作出异面直线所成的角，结合三角形的知识求得角的大小.【详解】画出图象如下图所示，由于，所以是异面直线所成的角，，，所以三角形是直角三角形，，，在直角三角形中.故选：B8．甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（       ）A．从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定B．从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力C．从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好D．从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好【答案】D【分析】由图找出甲乙打靶的成绩，分别计算出甲乙的平均数、方差、中位数，结合折线图逐项分析可得答案.【详解】由图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，甲的平均数为，甲的方差为乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙的平均数为，乙的方差为，所以，从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定，故A正确；从两人射击命中环数折线统计图走势看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，甲更有潜力，故B正确；甲打靶的成绩为2，4，6， 7，7，8，8，9，9，10，中位数为7.5，乙打靶的成绩为5，6，6，7， 7，7，7，8，8， 9，中位数为7，甲9环及9环以上的次数3次，甲9环及9环以上的次数1次，甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，故从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好，故C正确；甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，甲的中位数7.5大于乙的中位数7，从平均数和中位数相结合看，甲成绩较好，故D错误.故选：D.9．若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的值分别为（       ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】由题意分析得知直线经过圆心求出b；由直线与直线垂直求出k即可.【详解】因为直线与圆的两个交点关于直线对称，所以直线经过圆心，且直线与直线垂直，所以解得：，故选：A.10．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，若两船有一艘在停泊位时，另一艘船就必须等待，则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先确定这是几何概型问题，可设甲乙分别先到的时间，建立他们之间不需要等待的关系式，作出符合条件的可行域，并求其面积，根据几何概型的概率公式计算可得答案.【详解】设甲、乙到达停泊点的时间分别是x、y点，则甲先到乙不需要等待须满足 ，乙先到甲不需要等待须满足，作出不等式组 表示的可行域如图（阴影部分）：正方形的面积为 ，阴影部分面积为 ，故这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率 ，故选：B11．已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，且平面，若，则球的表面积为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设为的外接圆的圆心，取的中点，求得的外接圆的半径，且，得到三棱锥外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，设为的外接圆的圆心，取的中点，分别连接和，则平面，，因为平面，若，可得的外接圆的半径，且，在直角中，可得，即三棱锥外接球的半径为，所以球的表面积为.故选：D.12．已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若不等式的解集为区间，且，则（       ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根据条件可得函数是定义在上的奇函数且在上的增函数，进而可得，再利用数形结合即得.【详解】∵函数的图象关于点对称，∴函数的图象关于点对称，又是定义在上的增函数，∴函数是定义在上的奇函数且在上的增函数，由，可得，∴的解集为区间，且，作出函数与的图象，函数表示圆心在原点，半径为4的圆的上半部分，表示过定点的直线，由图象结合条件可知，又，∴，即直线与半圆的交点的横坐标为2，故，∴.故选：B.【点睛】数形结合是研究不等式解的有效方法，数形结合使用的前提是掌握形与数的对应关系，基本思路为：①构造函数（或与），②作出（或与）的图象，③找出满足题意的曲线（部分），曲线上点的横坐标为题目的解，并研究解的特性来确定解题的切入点.二、填空题13．某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为01，02，…，80的80个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为03，13，…则样本中的最后一个个体编号是_______.【答案】73【分析】以系统抽样抽取样本规则解之即可.【详解】由抽取样本中的个体编号依次为03，13，…，可知抽取的两个相邻号码之差为10.说明样本以10个为一组，被分成了8组.抽出的编号依次为：3，13，23，33，43，53，63，73.则样本中的最后一个个体编号是73.故答案为：7314．若实数x、y满足约束条件 ，则的最小值是______．【答案】４【分析】按照简单的线性规划步骤逐步进行即可.对于可行域为封闭三角形，目标函数为截距型时，可用交点代入法求解.【详解】作出可行域，令Z=0，作直线l0：，易知，将直线l0平移过点A时Z取得最小值，将A点坐标代入目标函数得.故答案为：415．已知直线：，点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为______.【答案】【分析】问题转化为求直线与以为直径的圆有公共点时求的取值范围即可.【详解】问题转化为求直线与以为直径的圆有公共点时，求的取值范围，所以圆心到直线的距离为，解得.故答案为：.16．已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中正确的序号为______.①若为的外心，则；②若为等边三角形，则；③当时，与平面所成角的范围为；④当时，为平面内动点，若平面，则在内的轨迹长度为2.【答案】①③④【分析】对于①，利用外心的性质即可判断；对于②，利用反证法可判断；对于③，过作，连接，易知为与平面所成角，即可判断；对于④，利用面面平行可得轨迹长度.【详解】如图①，若为的外心，连接，则，又平面，故，故①正确；假设，则再根据，得平面，则，与为等边三角形矛盾，故②错误；当时，，，过作，连接，如图①，易知为与平面所成角，，故的范围为，故③正确；如图②，取，分别为，的中点，则平面平面，则线段为在内的轨迹，其长度为2，故①③④正确.故答案为：①③④三、解答题17．已知ABC的顶点．(1)求高所在直线的方程；(2)求△ABC的面积．【答案】(1)(2)5【分析】（1）先求出直线的斜率，再根据垂直关系求出高所在直线的斜率，利用点斜式求出直线方程；（2）先用两点间距离公式求出的长，再利用点到直线距离公式求出高的长度，进而求出面积.(1)依题意可得直线的斜率由得：，，故直线的方程为：，即：．(2)依题意直线的方程为，，点到直线的距离所以18．某小型企业甲产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.x（万元）357911y（万元）810131722 （1）求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率）？相关公式：，.【答案】（1）；（2）12万元的毛利率更大【分析】（1）根据题意代入数值分别算出与即可得解；（2）分别把与代入线性回归方程算出再算出毛利率即可得解.【详解】（1）由题意，. ，，，故y关于x的线性回归方程为.（2）当时，，对应的毛利率为，当时，，对应的毛利率为，故投入成本12万元的毛利率更大.【点睛】本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于基础题.19．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，点在线段上且. (1)证明直线平面;(2)证明直线平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）作辅助线，即连接交于点，连接,利用△∽△及，证明，利用线面平行的判定定理证明即可；（2）通过计算证明，由平面得到，利用线面垂直的判定定理证明即可.(1)证明：连接交于点，连接,∵，,∴△∽△ ,即， 又∵，∴ ∴又∵、∴   (2)∵平面，平面，∴，又∵，且是直角梯形，∴，即，∴，又∵，且平面，∴平面.20．某中学举行了一次诗词竞赛.组委会在竞赛后，从中抽取了部分选手的成绩（百分制）作为样本进行统计，作出了茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：(1)求样本容量n、抽取样本成绩的中位数及分数在内的人数；(2)若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话，求至少有一人分数在内的概率．【答案】(1)，中位数为73，4人(2)【分析】（1）根据频率分布直方图可知组的频率等于该组的频数除以总的样本量，各个组的频率之和为，根据茎叶图的特点直接可获得中位数所在位置；（2）总的事件总数是从分数在和内的学生中任选两人，待求的是至少有一人分数在内，则分别计算出总的基本事件个数和至少有一人分数在内的基本事件个数即可，然后根据概率的定义求出即可.(1)分数在内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在内同样有2人.由解得：根据茎叶图可知：抽测成绩的中位数为分数在之间的人数为：综上可得：样本容量，中位数为73，分数在内的人数为人(2)设“若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话，至少有一人分数在内”为事件.将内的人编号为；内的2人编号为则在和内的任取两人的基本事件为：，共15个其中，至少有一人分数在内的基本事件：，共9个.故所求的概率得：21．如图，直三棱柱中，，，，点P在线段上．(1)若P为的中点．证明：平面；(2)是否存在点P，使得平面与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，然后表示出相关点的坐标，再写出相关向量，通过两个非零向量的数量积为0得到两个向量垂直，再转化为线线垂直，最后通过线面垂直的判定定理证明即可；（2）通过用空间向量表示出平面与平面ABC所成的二面角为，其中需要先求出两个平面的法向量，最后解得方程可知，不存在点P(1)以点为坐标原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 如下图所示则可得：则有： 可得：即有： 且 故平面；(2)由（1）所建坐标系，不妨设，其中，，则故，设平面的法向量为，                                                       则有，即，令，则，，故，平面的一个法向量为，因为平面与平面所成的二面角为，所以，解得故在线段上不存在点，使得平面与平面所成的二面角为22．①圆心C在直线上，圆C过点B (1，5)；②圆C过直线和圆的交点；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．已知圆C经过点A(6，0)，且    .(1)求圆C的标准方程；(2)过点P (0，1)的直线与圆C交于M，N两点①求弦M N中点Q的轨迹方程；②求证为定值.注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)①；②证明见解析【分析】（1）选①，待定系数法可解；选②，利用过直线和圆交点的直线系方程可得；（2）①利用，数量积为0直接求轨迹方程；②利用韦达定理代换后化简可证，注意讨论斜率不存在的情况.(1)选①条件：设所求圆的方程为，由题意得解得，，，所以所求圆的方程是选②条件：因为圆C过直线和圆的交点，所以设圆C的方程为，因为圆C过点A（6，0），将点A的坐标代入方程，解得，所以圆C的方程是，即(2)①设，圆心C（3，2）       由题意可知：得②当直线的斜率不存在时，直线：交圆C得， 当直线的斜率存在时，设直线：，设则消元得，其中则，，，综上所述：＝－3∴为定值.