2021-2022学年广东省梅州市高二上学期期末数学试题含解析

这是一份2021-2022学年广东省梅州市高二上学期期末数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省梅州市高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由直线方程得斜率，再得倾斜角．【详解】由题意直线斜率为1，而倾斜角大于或等于且不大于，所以倾斜角为．故选：A．2．已知空间向量，，若，则实数的值是（       ）．A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根据空间向量垂直的性质进行求解即可.【详解】因为，所以，因此有.故选：C3．设函数在R上可导，则（     ）A． B． C． D．以上都不对【答案】B【分析】根据极限的定义计算．【详解】由题意．故选：B．4．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（　　）A． B．C． D．【答案】C【分析】先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项.【详解】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．故选C．【点睛】本题考查函数的表示方法，关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征，属于基础题.5．等差数列的前项和，若，则A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【解析】【详解】试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.【解析】等差数列的性质.6．直线与圆的位置关系是（     ）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定【答案】B【分析】直线恒过定点，而此点在圆的内部，故可得直线与圆的位置关系.【详解】直线恒过定点，而，故点在圆的内部，故直线与圆的位置关系为相交，故选：B.7．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（       ） A． B．C． D．【答案】B【分析】利用空间向量运算求得正确答案.【详解】.故选：B8．设函数，，，则（     ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据导数得出在的单调性，进而由单调性得出大小关系.【详解】因为，所以在上单调递增.因为，所以，而，所以.因为，且，所以.即.故选：A二、多选题9．若，方程表示的曲线可以是（     ）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【答案】ACD【分析】对分类讨论，分别求出所对应的曲线方程，即可判断；【详解】解：当，即时，，得表示垂直轴的直线，故A正确；当时，，方程表示椭圆，故C正确；当时，，方程表示双曲线，故D正确；故选：ACD.10．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（     ）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】ABD【分析】逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项.【详解】对于A，因为，故，，共面；对于B，因为，故，，共面；对于D，因为，故，，共面；对于C，若，，共面，则存在实数，使得：，，故共面，这与构成空间的一个基底矛盾，故选：ABD11．已知函数，下列说法正确的有（     ）A． B．只有一个零点C．有两个零点 D．有一个极大值点【答案】BD【分析】根据解析式得出；由判断BC；由导数判断D.【详解】，故A错误；，即函数只有一个零点，故B正确，C错误；，，，即函数在上单调递增，在上单调递减，即有一个极大值点，故D正确；故选：BD12．正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．则(       )A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等【答案】BC【分析】对于A，利用线线平行，将与的位置关系转换为判断与的位置关系；对于B，作出辅助线：取的中点，连接、，然后利用面面平行判断；对于C，把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积判断；对于D，利用反证法判断．【详解】对于A，因为，若，则，从图中可以看出，与相交，但不垂直，所以A错误；对于B，如图所示，取的中点，连接、，则有，，∵，，∴平面∥平面．又∵平面，∴∥平面，故选项B正确；对于C，如图所示，连接，，延长，交于点，∵，分别为，的中点，∴，∴、、、四点共面，∴截面即为梯形．∵，∴，即，∴又，∴即，，∴等腰△的高，梯形的高为，∴梯形的面积为，故选项C正确；对于D，假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故D错．故选：BC﹒三、填空题13．双曲线 的离心率为__________．【答案】【详解】∵双曲线的方程为∴，∴∴故答案为14．某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为，则当s时，弹簧振子的瞬时速度为_________ mm/s.【答案】0【分析】根据题意得，进而根据导数几何意义求解时的导函数值即可得答案.【详解】解：因为，所以求导得，所以根据导数的几何意义得该振子在时的瞬时速度为,故答案为：.15．已知点F是抛物线的焦点，点，点P为抛物线上的任意一点，则的最小值为_________.【答案】3【分析】根据抛物线的定义可求最小值.【详解】如图，过作抛物线准线的垂线，垂足为，连接，则，当且仅当共线时等号成立，故的最小值为3，故答案为：3.四、双空题16．平面内n条直线两两相交，且任意三条直线不过同一点，将其交点个数记为，若规定，则，，_________，_________，（用含n的式子表示）【答案】     6；     .【分析】利用第条直线与前条直线相交有个交点得出与的关系后可得结论．【详解】第4条直线与前三条直线有3个交点，因此，同理，由此得到第条直线与前条直线相交有个交点，所以，即所以．故答案为：6；．五、解答题17．（1）求函数的单调区间.（2）用向量方法证明：已知直线l，a和平面，，，，求证：.【答案】（1）的单调减区间为和，单调增区间为；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；（2）说明直线方向向量与平行的法向量垂直后可得．【详解】（1）解：的定义域为R，，，解得，.当或时，，当时，.所以的单调减区间为和，单调增区间为.（2）证明：在直线a上取非零向量，因为，所以是直线l的方向向量，设是平面的一个法向量，因为，所以.又，所以.18．已知圆M经过原点和点，且它的圆心M在直线上.(1)求圆M的方程；(2)若点D为圆M上的动点，定点，求线段CD的中点P的轨迹方程.【答案】(1).(2).【分析】（1）设圆M的方程为，由已知条件建立方程组，求解即可；（2）设，，依题意得.代入圆M的方程可得点P的轨迹方程.(1)解：设圆M的方程为，则圆心依题意得，解得.所以圆M的方程为.(2)解：设，，依题意得，得.点为圆M上的动点，得，化简得P的轨迹方程为.19．某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，….（参考数据：，，.）(1)写出一个递推公式，表示与之间的关系；(2)将（1）中的递推关系表示成的形式，其中k，r为常数；(3)求的值（精确到1）.【答案】(1)(2)(3)10626【分析】（1）根据题意，建立递推关系即可；（2）利用待定系数法求解得.（3）利用等比数列求和公式，结合已知数据求解即可.(1)解：因为某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且每年年底卖出100头牛，所以，且.(2)解：将化成，因为所以比较的系数，可得，解得.所以（1）中的递推公式可以化为.(3)解：由（2）可知，数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，则.所以.20．如图，在正方体中，E，F，G，H，K，L分别是AB，，，，，DA各棱的中点.(1)求证：E，F，G，H，K，L共面：(2)求证：平面EFGHKL；(3)求与平面EFGHKL所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】建立空间直角坐标系，求出各点的坐标；（1）用向量的坐标运算证明向量共面，进而证明点共面；（2）利用向量的数量积的坐标运算证明，即可；（3）确定平面EFGHKL的一个法向量，利用空间角度的向量计算公式求得答案.(1)证明：以D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2.则，，，，，，，.可得，，，，，.可得，，，，，所以，，，，共面，又它们过同一点E,所以E，F，G，H，K，L共面.(2)证明：由（1）得，，又故，，又，所以平面LEF，即平面EFGHKL.(3)由（2）知，是平面EFGHKL的一个法向量，设与平面EFGHKL所成角为，，,.所以,所以与平面EFGHKL所成角的余弦值为.21．如图，分别是椭圆C：的左，右焦点，点P在椭圆C上，轴，点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，.(1)求椭圆C的方程；(2)已知M，N是椭圆C上的两点，若点，，试探究点M，，N是否一定共线？说明理由.【答案】(1)(2)不一定共线，理由见解析【分析】（1）由椭圆定义可得a，利用∽△BOA可解；（2）考察轴时的情况，分析可知M，，N不一定共线.(1)由题意得，，设，，代入椭圆C的方程得，，可得.可得.由，，所以∽△BOA，所以，即，可得.又，，得.所以椭圆C的方程为.(2)当轴时，，设，，则由已知条件和方程，可得，整理得，，解得或.由于，所以当时，点M，，N共线；所以当时，点M，，N不共线.所以点M，，N不一定共线.22．已知函数， .（1）若函数与在x=1处的切线平行，求函数在处的切线方程；（2）当时， 若恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出函数的导数，利用切线平行求出a，即可求出切线方程；（2）先把已知条件转化为，令,，利用导数求出的最小值，即可求出实数a的取值范围.【详解】（1）,故,而,故，故,解得:，故,故的切线方程是:，即；（2）当时，恒成立,等价于,令,.则，令，解得：；令，解得：；所以在上单减，在上单增，所以,所以.即实数a的取值范围为.