2022年河南省豫中名校中考数学诊断试卷（word版含答案）

这是一份2022年河南省豫中名校中考数学诊断试卷（word版含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年河南省豫中名校中考数学诊断试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）实数2022是12022的（　　）
A．绝对值 B．相反数
C．倒数 D．以上都不正确
2．（3分）国家发改委消息：2022年我国安排中央预算内投资21亿元，支持建设体育公园等全民健身设施补短板工程项目185个．数据“21亿“用科学记数法表示为（　　）
A．2.1×108 B．2.1×109 C．0.21×109 D．0.21×1010
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a2＝a5 B．a3÷a2＝a
C．3a3•2a2＝6a6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4
4．（3分）如图，该几何体的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
5．（3分）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　）

A．45° B．65° C．75° D．85°
6．（3分）经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（　　）
A．29 B．13 C．49 D．59
7．（3分）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
9．（3分）如图，已知矩形AOBC的三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（4，0），按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OC，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，则点G的坐标为（　　）

A．（4，43） B．（43，4） C．（53，4） D．（4，53）
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD→DC→CB运动，当点N运动到点B时，点M，N同时停止运动．设△AMN的面积为y，运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个大于2且小于11的整数 　 　．
12．（3分）不等式组x−1≥02x−5＜1的解集是　 　．
13．（3分）甲乙两班举行一分钟跳绳比赛，参赛学生每分钟跳绳次数的统计结果如表：
班级
参加人数
中位数
方差
平均数
甲
45
109
181
110
乙
45
111
108
110
某同学分析如表后得到如下结论：①甲，乙两班学生平均成绩相同；②乙班优秀人数多于甲班优秀人数（每分钟跳绳≥110次为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大，则正确结论的序号是 　 　．
14．（3分）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad．已知α＝1rad，β＝60°，则α与β的大小关系是α　 　β．

15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝2cm，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线AD交于点E，且DE＝3cm，则矩形ABCD的面积为 　 　cm2．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）化简：a−1a÷a2−2a+1a2；
（2）把（1）中化简的结果记作A，将A中的分子与分母同时加上1后得到B，问：当a＞1时，B的值与A的值相比变大了还是变小了？试说明理由．
17．（9分）某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2021年初的视力数据，并调取该批学生2020年初的视力数据，制成如图统计图（不完整）：

青少年视力健康标准
类别
视力
健康状况
A
视力≥5.0
视力正常
B
4.9
轻度视力不良
C
4.6≤视力≤4.8
中度视力不良
D
视力≤4.5
重度视力不良
根据以上信息，请解答：
（1）分别求出被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良（类别B）的扇形圆心角度数和2020年初视力正常（类别A）的人数．
（2）若2021年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2021年初视力正常的人数比2020年初增加了多少人？
（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在69%以内．请估计该市八年级学生2021年初视力不良率是否符合要求？并说明理由．
18．（9分）如图，矩形ABCD的两边AB，BC的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是AD的中点，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点E，与BC交于点F，且CF﹣BE＝1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得S△CEP=23S矩形ABCD，求此时点P的坐标．

19．（9分）2022年3月5日14时01分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将银河航天02批卫星（6颗）及其搭载的1颗商业遥感卫星发射升空．当长征二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，求
长征二号从A处到B处的平均速度（结果精确到1m/s，取3=1.732，2=1.414）
20．（9分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
21．（9分）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如表：
产品
展板
宣传册
横幅
制作一件产品所需时间（小时）
1
15
12
制作一件产品所获利润（元）
20
3
10
（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；
（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最小值．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+5（a＜0）与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB＝OC．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求出顶点坐标和直线AC的解析式；
（3）若点P（x1，b）与Q（x2，b）在（1）中的抛物线上，且x1＜x2，将抛物线在PQ上方的部分沿PQ翻折180°，抛物线的其他部分保持不变，得到一个新图象，当这个新图象与过（0，﹣3）且平行于x轴的直线恰好只有两个公共点时，请直接写出b的取值范围．
23．（10分）已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP．

（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP=3，求BC的长．
（2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP．
（3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

2022年河南省豫中名校中考数学诊断试卷
答案与解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）实数2022是12022的（　　）
A．绝对值 B．相反数
C．倒数 D．以上都不正确
【分析】根据绝对值，相反数，倒数的定义判断即可．
【解答】解：实数2022是12022的倒数．
故选：C．
2．（3分）国家发改委消息：2022年我国安排中央预算内投资21亿元，支持建设体育公园等全民健身设施补短板工程项目185个．数据“21亿“用科学记数法表示为（　　）
A．2.1×108 B．2.1×109 C．0.21×109 D．0.21×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：21亿＝2100000000＝2.1×109．
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a2＝a5 B．a3÷a2＝a
C．3a3•2a2＝6a6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4
【分析】根据同底数幂的除法运算法则，单项式乘单项式运算法则以及完全平方公式的展开即可正确求解．
【解答】解：a3、a2不是同类项，因此不能用加法进行合并，故A项不符合题意，
根据同底数幂的除法运算法则a3÷a2＝a，故B项符合题意，
根据单项式乘单项式的运算法则可得3a3•2a2＝6a5，故C项不符合题意，
根据完全平方公式展开（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故D项不符合题意．
故选：B．
4．（3分）如图，该几何体的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从正面看该几何体，可得：

故选：B．
5．（3分）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　）

A．45° B．65° C．75° D．85°
【分析】由平角等于180°结合三角板各角的度数，可求出∠2的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠1的度数．
【解答】解：∵∠2+60°+45°＝180°，
∴∠2＝75°．
∵直尺的上下两边平行，
∴∠1＝∠2＝75°．
故选：C．

6．（3分）经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（　　）
A．29 B．13 C．49 D．59
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果数，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果数为2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果数为2种，
∴恰好有一车直行，另一车左拐的概率=29，
故选：A．
7．（3分）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，
解得m＜4．
故选：D．
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，根据菱形性质可得菱形面积公式，然后根据三角形中位线定理得EF与BD关系，最后根据三角形面积公式代入计算可得答案．
【解答】解：连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，菱形ABCD的面积为：12AC⋅BD，
∵点E、F分别是边BC、CD的中点，
∴EF∥BD，EF=12BD，
∴AC⊥EF，AG＝3CG，
设AC＝a，BD＝b，
∴12ab=8，即ab＝16，
S△AEF=12EF⋅AG=12×12b×34a=316ab＝3．
故选：B．
9．（3分）如图，已知矩形AOBC的三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（4，0），按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OC，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，则点G的坐标为（　　）

A．（4，43） B．（43，4） C．（53，4） D．（4，53）
【分析】首作GH⊥OC于H．先证明GB＝GH，利用面积法求出GB即可解决问题．
【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，A（0，3），B（4，0），
∴OB＝4，OA＝BC＝3，∠OBC＝90°，
∴OC=32+42=5，
作GH⊥OC于H．

由作图可知：OG平分∠BOC，
∵GB⊥OB，GH⊥OC，
∴GB＝GH，时GB＝GH＝x，
∵S△OBC=12×3×4=12×5×x+12×4×x，
∴x=43，
∴G（4，43）．
故选：A．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD→DC→CB运动，当点N运动到点B时，点M，N同时停止运动．设△AMN的面积为y，运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据点N的运动情况，分点N在AD，DC，CB上三种情况讨论，分别写出每种情况y和x之间的函数关系式，即可确定图象．
【解答】解：当点N在AD上时，即0＜x＜2

∵AM＝x，AN＝2x，
∴y=12x⋅2x=x2，
此时二次项系数大于0，
∴该部分函数图象开口向上，
当点N在DC上时，即2≤x＜4，

此时底边AM＝x，高AD＝4，
∴y=12×4x=2x，
∴该部分图象为直线段，
当点N在CB上时，即4≤x＜6时，

此时底边AM＝x，高BN＝12﹣2x，
∴y=12x(12−2x)=−x2+6x，
∵﹣1＜0，
∴该部分函数图象开口向下，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个大于2且小于11的整数 　3　．
【分析】估算无理数11大小即可．
【解答】解：∵9＜11＜16，
∴3＜11＜4，
∴大于2且小于11的整数有3，
故答案为：3．
12．（3分）不等式组x−1≥02x−5＜1的解集是　1≤x＜3　．
【分析】分别求出每个不等式的解集，再求出公共部分即可．
【解答】解：解不等式x﹣1≥0得：x≥1，
解不等式2x﹣5＜1，得：x＜3，
则不等式组的解集为1≤x＜3，
故答案为：1≤x＜3．
13．（3分）甲乙两班举行一分钟跳绳比赛，参赛学生每分钟跳绳次数的统计结果如表：
班级
参加人数
中位数
方差
平均数
甲
45
109
181
110
乙
45
111
108
110
某同学分析如表后得到如下结论：①甲，乙两班学生平均成绩相同；②乙班优秀人数多于甲班优秀人数（每分钟跳绳≥110次为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大，则正确结论的序号是 　①②③　．
【分析】根据平均数、中位数和方差的意义分别进行分析，即可得出答案．
【解答】解：从表中可知，平均数都是110，①正确；
甲班的中位数是109，乙班的中位数是111，比甲的多，而平均数都要为110，说明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数，②正确；
甲班的方差大于乙班的，又说明甲班的波动情况大，所以③也正确．
故答案为：①②③．
14．（3分）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad．已知α＝1rad，β＝60°，则α与β的大小关系是α　＜　β．

【分析】判断出α≈57.3°，可得结论．
【解答】解：由题意，α＝1弧度为（180π）°≈57.3°，β＝60°，
∴α＜β，
故答案为：＜．
15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝2cm，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线AD交于点E，且DE＝3cm，则矩形ABCD的面积为 　（25+6）或（6﹣25）　cm2．
【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理可以求点AE，然后根据矩形的面积即可求得．
【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE＝ED＝3cm．
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2．
∴22+AE2＝32，
解得AE=5cm．
∴AD＝AE+ED＝（5+3）cm或AD＝ED﹣AE＝（3−5）cm
∴矩形ABCD的面积为为AD•AB＝（25+6）cm2或（6﹣25）cm2．
故答案为（25+6）或（6﹣25）．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）化简：a−1a÷a2−2a+1a2；
（2）把（1）中化简的结果记作A，将A中的分子与分母同时加上1后得到B，问：当a＞1时，B的值与A的值相比变大了还是变小了？试说明理由．
【分析】（1）根据分式的除法法则计算；
（2）根据分式的减法法则求出B﹣A，得到答案．
【解答】解：（1）a−1a÷a2−2a+1a2
=a−1a•a2(a−1)2
=aa−1；
（2）B的值比A的值相比变小了．
理由如下：B﹣A=a+1a−aa−1=a2−1−a2a(a−1)=−1a(a−1)，
当a＞1时，a（a﹣1）＞0，
∴−1a(a−1)＜0，
∴B＜A，
∴B的值比A的值相比变小了．
17．（9分）某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2021年初的视力数据，并调取该批学生2020年初的视力数据，制成如图统计图（不完整）：

青少年视力健康标准
类别
视力
健康状况
A
视力≥5.0
视力正常
B
4.9
轻度视力不良
C
4.6≤视力≤4.8
中度视力不良
D
视力≤4.5
重度视力不良
根据以上信息，请解答：
（1）分别求出被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良（类别B）的扇形圆心角度数和2020年初视力正常（类别A）的人数．
（2）若2021年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2021年初视力正常的人数比2020年初增加了多少人？
（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在69%以内．请估计该市八年级学生2021年初视力不良率是否符合要求？并说明理由．
【分析】（1）利用2021年初视力不良的百分比乘360°即可求解．
（2）分别求出2021、2020年初视力正常的人数即可求解．
（3）用1﹣31.25%即可得该市八年级学生2021年视力不良率，即可判断．
【解答】解：（1）被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良的扇形圆心角度数＝360°×（1﹣31.25%﹣24.5%﹣32%）＝44.1°．
该批400名学生2020年初视力正常人数＝400﹣48﹣91﹣148＝113（人）．
（2）该市八年级学生2021年初视力正常人数＝20000×31.25%＝6250（人）．
这些学生2020年初视力正常的人数=20000×113400=5650（人）．
∴估计增加的人数＝6250﹣5650＝600（人）．
∴该市八年级学生2021年初视力正常的人数比2020年初增加了600人．
（3）该市八年级学生2021年视力不良率＝1﹣31.25%＝68.75%．
∵68.75%＜69%．
∴该市八年级学生2021年初视力不良率符合要求．
18．（9分）如图，矩形ABCD的两边AB，BC的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是AD的中点，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点E，与BC交于点F，且CF﹣BE＝1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得S△CEP=23S矩形ABCD，求此时点P的坐标．

【分析】（1）根据勾股定理求出BE＝5，由CF﹣BE＝1得CF＝6，设F（﹣6，m），则E（﹣4，m+3），因为E，F都在反比例函数图象上，得出方程﹣6m＝﹣4（m+3），解方程即可；
（2）由S△CEP=23S矩形ABCD，可得CP的长，从而得出P坐标．
【解答】解：（1）∵E是AD的中点，
∴AE=12AD=4，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=32+42=5，
∵CF﹣BE＝1，
∴CF＝6，
∴F的横坐标为﹣6，
设F（﹣6，m），则E（﹣4，m+3），
∵E，F都在反比例函数图象上，
∴﹣6m＝﹣4（m+3），
解得m＝6，
∴F（﹣6，6），
∴k＝﹣36，
∴反比例函数y=−36x．
（2）∵S△CEP=23S矩形ABCD，
∴12×CP×4=23×8×3，
∴CP＝8，
∴P（0，14）或（0，﹣2）．
19．（9分）2022年3月5日14时01分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将银河航天02批卫星（6颗）及其搭载的1颗商业遥感卫星发射升空．当长征二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，求
长征二号从A处到B处的平均速度（结果精确到1m/s，取3=1.732，2=1.414）
【分析】在Rt△APD中，根据三角函数的定义求出AD和PD，在Rt△BPD中，根据三角函数的定义求出BD，进而求出AB，根据速度公式即可求出天舟二号从A处到B处的平均速度．
【解答】解：由题意可得：∠APD＝30°，∠BPD＝45°，AP＝6千米，∠BDP＝90°，
在Rt△APD中，∵∠APD＝30°，AP＝6千米，∠ADP＝90°，cos∠APD＝cos30°=PDPA，
∴AD=12AP＝3千米，PD＝PA•cos30°＝6×32=33（千米），
在Rt△BPD中，
∵∠BPD＝45°，PD＝33千米，∠BDP＝90°，tan∠BPD＝tan45°=BDPD，
∴BD＝PDtan45°＝33（千米），
故AB＝BD﹣AD＝33−3≈5.196﹣3＝2.196（千米）＝2196米，
则天舟二号从A处到B处的平均速度约为：2196÷7.5≈293（米/秒），
答：天舟二号从A处到B处的平均速度约为293米/秒．
20．（9分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
【分析】（1）根据遥望角的定义得到∠EBC=12∠ABC，∠ECD=12∠ACD，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）延长BC到点T，根据圆内接四边形的性质得到∠FDC+∠FBC＝180°，得到∠ABF＝∠FBC，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BFD，进而得到∠ACD＝∠DCT，根据遥望角的定义证明结论．
【解答】解：（1）∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，
∴∠EBC=12∠ABC，∠ECD=12∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD=12（∠ACD﹣∠ABC）=12∠A，
∵∠A＝α，
∴∠E=12α；
（2）如图2，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵AD=BD，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．

21．（9分）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如表：
产品
展板
宣传册
横幅
制作一件产品所需时间（小时）
1
15
12
制作一件产品所获利润（元）
20
3
10
（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；
（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最小值．
【分析】（1）设制作展板数量为x件，横幅数量为y件，则宣传册数量为5x件，根据题意列出二元一次方程组即可；
（2）根据三种产品的利润之和等于700列出函数关系式，然后根据一次函数的性质求出最小值．
【解答】解：（1）设制作展板数量为x件，横幅数量为y件，则宣传册数量为5x件，
由题意得：x+15×5x+12y=2520x+3×5x+10y=450，
解得：x=10y=10，
答：制作展板数量10件，宣传册数量50件，横幅数量10件；
（2）设制作三种产品总量为w件，展板数量m件，则宣传册数量5m件，横幅数量（w﹣6m）件，
由题意得：20m+3×5m+10（w﹣6m）＝700，
解得：w=52m+70，
∴w是m的一次函数，
∵k=52，
∴w随m的增加而增加，
∵三种产品均有制作，且w，m均为正整数，
∴当m＝2时，w有最小值，则wmin＝75，
答：制作三种产品总量的最小值为75件．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+5（a＜0）与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB＝OC．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求出顶点坐标和直线AC的解析式；
（3）若点P（x1，b）与Q（x2，b）在（1）中的抛物线上，且x1＜x2，将抛物线在PQ上方的部分沿PQ翻折180°，抛物线的其他部分保持不变，得到一个新图象，当这个新图象与过（0，﹣3）且平行于x轴的直线恰好只有两个公共点时，请直接写出b的取值范围．
【分析】（1）先确定点C的坐标，根据OB＝OC，A在点B的左侧，可得出点B的坐标，将点B坐标代入可得出抛物线解析式；
（2）求出A点坐标，由待定系数法可求出答案；
（3）画出图形，结合图形可直接得出b的范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+5（a＜0）与y轴交于点C，
∴C（0，5），
∵抛物线与x轴交于A、B两点，OB＝OC，
∴B（5，0）或B（﹣5，0），
∵点A在点B的左侧，a＜0，
∴抛物线经过点B（5，0），
∴0＝25a﹣20a+5，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5．
（2）∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线的项点坐标为（2，9）．
令y＝0，则x＝5或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵C（0，5），
∴−k+b=0b=5，
∴k=5b=5，
∴直线AC的解析式为y＝5x+5；
（3）结合图形可得当这个新图象与过（0，﹣3）且平行于x轴的直线恰好只有两个公共点时，b的取值范围是：3＜b＜9或b＝﹣3．

23．（10分）已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP．

（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP=3，求BC的长．
（2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP．
（3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）证△ADC是等边三角形，P为CD中点，通过等边三角形三线合一，得到AP⊥CD，解三角形即可；
（2）借助中点和平行，可证得△CPA≌△DPE，得出AP＝EP=12AE，DE＝AC，再证明△CAB≌△EBA，即可得出结论；
（3）由（2）总结的解题方法延伸到图3中，类比解决问题．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，
∴AB=ACcos60°=2AC，
∵BD＝AC，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵P是CD的中点，
∴AP⊥CD，
在Rt△APC中，AP=3，
∴AC=APsin60°=2，
∴BC=AC×tan60°=23，
（2）证明：连接BE，

∵DE∥AC，
∴∠CAP＝∠DEP，
在△CPA和△DPE中
∠CAP=∠DEP∠CPA=∠EPDCP=DP，
∴△CPA≌△DPE（AAS），
∴AP＝EP=12AE，DE＝AC，
∵BD＝AC，
∴BD＝DE，
又∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠CAD＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BD＝BE，∠EBD＝60°，
∵BD＝AC，
∴AC＝BE，
在△CAB和△EBA中
AC=BE∠CAB=∠EBAAB=BA，
∴△CAB≌△EBA（SAS），
∴AE＝BC，
∴BC＝2AP，
（3）存在这样的m，m=2．
理由如下：作DE∥AC交AP延长线于E，连接BE，
由（2）同理可得DE＝AC，∠EDB＝∠CAD＝45°，AE＝2AP，
当BD=2AC时，
∴BD=2DE，
作BF⊥DE于F，
∵∠EDB＝45°，
∴BD=2DF，
∴DE＝DF，
∴点E，F重合，
∴∠BED＝90°，
∴∠EBD＝∠EDB＝45°，
∴BE＝DE＝AC，
同（2）可证：△CAB≌△EBA（SAS），
∴BC＝AE＝2AP，
∴存在m=2，使得BC＝2AP，