人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形学案

这是一份人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形学案，共11页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
矩形
【学习目标】
1. 理解矩形的概念.
2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.
3.运用矩形性质定理与判定定理计算或证明有关的角和线段.
【要点梳理】
要点一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
【典型例题】
类型一、矩形的性质
1、如图，在矩形中，，于点F.
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数.
举一反三：
【变式】如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求证：OE=OF；
（2）求∠ACB的度数．
类型二、矩形的判定
2、如图，在矩形ABCD中，BM⊥AC，DN⊥AC，M、N是垂足．
（1）求证：AN＝CM；
（2）如果AN＝MN＝2，求矩形ABCD的面积．
举一反三：
【变式】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD．
类型三、直角三角形斜边上的中线的性质
3如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝45°，E、F分别是AC、BD的中点，若AC＝2．
（1）求证：EF⊥BD
（2）求EF的长．
【变式】如图，四边形ABCD中，，，E，F分别是BD、AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系．
类型四、坐标系中的矩形
4．如图，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠得到△ACD’，AD’与与BC交于点E，若AD=4，DC=3
（1）求证
（2）求BE的长
【变式】如图，在长方形纸片ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，BC＝4，CD＝3，将此长方形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处．DE与BC相交于点F．
（1）判断△BDF的形状，并说明理由；
（2）求DF的长．
类型五、坐标系中的矩形
5.已知矩形0ABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点0为坐标原点，点A的坐标为(10，0)，点B的坐标为(10，8)，点Q为线段AC上-点，其坐标为(5，n).
(1)求直线AC的表达式
(2)如图，若点P为坐标轴上-动点，动点P沿折线AO→0C的路径以每秒1个单位长度的速度运动，到达C处停止求Δ0PQ的面积S与点P的运动时间t(秒)的函数关系式.
(3)若点P为坐标平面内任意-.点，是否存在这样的点P，使以0，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
矩形
一、单选题
1．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等B．两条对角线互相平分
C．两条对角线互相垂直D．两条对角线相等
2．如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，四边形的对角线互相平分，若，则四边形为（ ）
A．菱形B．矩形C．菱形或矩形D．无法判断
4．已知线段，利用直尺和圆规作矩形．以下是甲乙两位同学的作法：
对于两人的作法，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对B．两人都不对
C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
5．如图，证明矩形的对角线相等，已知：四边形是矩形．求证：．以下是排乱了的证明过程：①∴、．②∵③∵四边形是矩形④∴⑤∴．证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③①②⑤④B．②①③⑤④C．③⑤②①④D．②⑤①③④
6．已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则它斜边上的中线长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，垂足为点，，且，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，，则=（ ）
A．18°B．36°C．27°D．54°
9．如图，在矩形中，与交点于是的中点，已知，则的长为（ ）
A．10B．11C．12D．13
10．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在处，折痕为EF，若，，则的周长为（ ）
A．8B．6C．4D．3
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC (不与A，C重合)上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB=6，BC=8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是( )
A．1.5B．2C．4.8D．2.4
13．如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上点F处．若，，则EC的长为（ ）
A．2B．C．3D．
14．如图，已知长方形中，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，的长是（ ）
A．3B．2.5C．D．2
二、填空题
15．如图，四边形中，，取中点，连接，，，则为______三角形．
16．如图，在中，，点D为AB中点，若，则_________．
17．如图，矩形ABCD中，点A坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是____；
18．如图，在中，是斜边上的中线，若，则________．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB中点，若∠B＝30°，AC＝2，则CD＝_____．
20．如图，长方形ABCD中，，，点P是AB上一点，，点E是BC上一动点，连接PE，将沿PE折叠，使点B落在，连接，则的最小值是________．
21．如图，在矩形中，，若点P在边上，连结，是以为腰的等腰三角形，则的长为__________．
22．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6，则矩形ABCD的周长为 ______．

23．如图，长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，若，，则△BED的周长为_____．
24．如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为，折痕为DE．若将∠B沿向内翻折，点B恰好落在DE上，记为，则AB＝_______．

25．如图，矩形全等于矩形，点C在上，连接，点H为的中点，若，，则的长为__________．
三、解答题
26．如图，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠得到△ACD’，AD’与与BC交于点E，若AD=4，DC=3
（1）求证
（2）求BE的长
如图，已知是矩形的一条对角线，点在的延长线上，且．连接，与相交于点，与相交于点．
（1）依题意补全图形；
（2）若，解答下列问题：
①判断与的位置关系，并说明理由；
②连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
28．如图，在直角中，，点D是上一点，连接，把绕点A逆时针旋转90°，得到，连接交于点M．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若，点N为上一点，，求证：；
（3）如图3，若，点D为直线上一动点，直线与直线交于点M，
当为等腰三角形时，请直接写出此时的度数．
甲：1．以点为圆心，长为半径画弧；
2．以点为圆心，长为半径画弧
3．两弧在上方交于点，连接，则四边形即为所求（如图）．
乙：1．连接，作线段的垂直平分线，交于点；
2．连接并延长，在延长线上取一点，使，连接，则四边形即为所求（如图）．