清单05 函数的概念及其表示（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单05 函数的概念及其表示（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共24页。试卷主要包含了函数的概念，由函数的概念可知,对于函数f，同一函数的判定，分段函数，取整函数，狄里克雷函数，符号函数，给出解析式确定函数的定义域等内容，欢迎下载使用。
清单05 函数的概念及其表示
知识与方法清单
1.函数的概念
设A,B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.
【对点训练1】（多选）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的,后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系,当一经给定其中某一变数的值,其他变数的值可随着确定时,则称最初的变数叫自变量,其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”,则下列对应法则f满足函数定义的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】对于A.令,符合函数定义；对于B,令,设,一个自变量对应两个函数值,不符合函数定义；对于C,设当则x可以取包括等无数多的值,不符合函数定义；对于D.令,符合函数定义．故选AD
2.由函数的概念可知,对于函数f：A→B,满足两个允许、两个不允许：
(1)允许多对一,不允许一对多；(2)允许B中有剩余元素,不允许A中有剩余元素.
【对点训练2】下列所给图象是函数图象的个数为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,一对多,不是函数图象,②中当x＝x0时,y的值有两个,一对多,不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值,是函数图象,故选B.
3.同一函数的判定
函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是,函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同,只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．
【对点训练3】下列各组函数中,表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x－1和 B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2 D．f(x)＝和g(x)＝
【答案】D
【解析】A中两个函数的定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同．故选D.
4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数．
【对点训练4】（2021江西省高三5月联考）已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】易得函数在R上单调递增,则由可得,解得,
故不等式的解集为.故选A．
5.取整函数
定义：
设,用表示不超过的最大整数.则称为高斯函数,也叫取整函数.显然,的定义域是R,值域是Z.任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即,因此,,这里,为的整数部分,而为的小数部分.
性质：
（1）函数是一个分段表达的不减的无界函数,即当时,有；
（2）,其中；
（3）；
（4）若,则其中；
（5）对于一切实数有；
【对点训练5】近代世界三大数学家之一高斯发明了取整函数,设,用表示不超过的最大整数,则称为取整函数,例如：,,已知函数,则的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,．
当,时,；当,时,；
当,时,；当,时,.
函数的值域是.故选．
6.狄里克雷函数
德国数学家狄里克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一,对数论、数学分析和数学物理有突出贡献,我们称函数,为狄里克雷函数．
【对点训练6】（多选）德国数学家狄里克雷（,,）在年时提出：“如果对于的每一个值,总有一个完全确定的值与之对应,那么是的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则,使得取值范围中的每一个,有一个确定的和它对应就行了,不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示,例如狄里克雷函数,即：当自变量取有理数时,函数值为；当自变量取无理数时,函数值为.下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（ ）
A． B．的值域为
C．为奇函数 D．
【答案】ABD
【解析】由题得,则,A正确；由解析式得的值域为,B正确；
因为,所以,为偶函数,C不正确；因为,所以,D正确．故选ABD
7.符号函数：我们把 称为符号函数,.
【对点训练7】设,定义符号函数,则方程的解是（ ）
A．1 B．
C．1或 D．1或或
【答案】C
【解析】当时,方程可化为,化简得,解得；
当时,方程可化为,无解；当时,方程可化为,化简得,解得（舍去）或；
综上,方程的解是1或.故选C.
8.给出解析式确定函数的定义域
给定函数解析式求定义域往往转化为解不等式(组)的问题,在解不等式(组)取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍．注意定义域是一个集合,要用集合或区间表示.常见基本初等函数定义域的基本要求为： (1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；
(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(5)正切函数y＝tan x,x≠kπ＋(k∈Z)；(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求
【对点训练8】（2021江西省临川高三押题预测卷）已知集合,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知条件得,解得,故集合.又,则,故选B.
9．抽象函数的定义域
求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a