清单06 函数的性质（原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单06 函数的性质（原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共11页。试卷主要包含了分段函数的单调性，抽象函数的单调性的判定，由单调性确定参数范围，利用函数单调性比较函数值的大小等内容，欢迎下载使用。
清单06 函数的性质知识与方法清单1.一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y＝f(x)的单调区间．【对点训练1】（2021四川省成都市高三5月高考热身考试）下面四个函数中既为奇函数,又在定义域上单调递减的是（    ）A． B． C． D．2.对∀x1,x2∈D(x1≠x2),⇔f(x)在D上是增函数,⇔f(x)在D是减函数．【对点训练2】（2021河南省焦作市高三四模）已知函数满足,且对任意的,都有,则满足不等式的的取值范围是（    ）A． B． C． D．3．用定义证明函数的单调性用定义证明函数在某个区间上的单调性的步骤是,在给定区间上,任取,通过作差或作商比较的大小,来证明函数的单调性.【对点训练3】证明在上是增函数.4. 单调区间是定义域的子集,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,如有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接.【对点训练4】已知函数f(x)＝,则该函数的单调递增区间为(　　)A．(－∞,1]     B．[3,＋∞)      C．(－∞,－1]    D．[1,＋∞)5．复合函数的单调性若两个简单函数的单调性相同,则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反,则它们的复合函数为减函数． 函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．【对点训练5】的递减区间是________.6.分段函数的单调性分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值．7.抽象函数的单调性的判定.判断抽象函数的单调性,一般根据定义来判断,即在所给区间上,然后利用题中条件确定的大小.【对点训练7】已知函数f(x)对任意的m、n∈R,都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1,并且x>0时,恒有f(x)>1.求证：f(x)在R上是增函数；8.由单调性确定参数范围利用单调性求参数,一般视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；【对点训练8】已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)A．(0,1]   B．[1,2]C．[1,＋∞)   D．[2,＋∞)9.利用函数单调性比较函数值的大小比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决．【对点训练9】（2021天津市北辰区高三下学期模拟）已知是定义在上的偶函数且在区间上单调递增,则（    ）A． B．C． D．10.在求解与函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”,转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；【对点训练10】（2021湖南省长沙市高三下学期热身训练）设函数,则满足的取值范围是（    ）A． B． C． D．11. 一般地,设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M；②存在x0∈I,使得f(x0)＝M,那么,我们称M是函数y＝f(x)的最大值．一般地,设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数m满足：①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M；②存在x0∈I,使得f(x0)＝M；那么我们称m是函数y＝f(x)的最小值．【对点训练11】（2021浙江省绍兴市嵊州市高三下学期5月适应性考试）设表示函数在闭区间上的最大值．若正实数满足,则______,正实数的取值范围是_________．12.求函数最值的一些方法与上一专题所介绍的求函数值域的方法相同,不在一一讲解.下面给出求函数最值的五种常用方法及其思路：(1)单调性法：先确定函数的单调性,再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值．(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值．13.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数；一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.【对点训练13】（2021重庆市巴蜀中学高三适应性月考）函数是偶函数,则实数__________．14.判断一个函数的奇偶性一般有以下4种类型：①是奇函数,不是偶函数；②是偶函数,不是奇函数；③既是奇函数,也是偶函数；④不是奇函数,也不是偶函数.若一个函数的定义域不关于原点对称,则该函数不是奇函数,也不是偶函数.既是奇函数,也是偶函数.【对点训练14】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是（）.A．          B．C．        D．15.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.【对点训练15】的图象关于直线      对称.16.分段函数奇偶性的判断.分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简,判断f(x)与f(－x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判断．【对点训练16】判断函数f(x)＝的奇偶性．17.抽象函数奇偶性的判断.抽象函数奇偶性一般通过赋值进行判断.【对点训练17】已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0},且满足对任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．判断f(x)的奇偶性并证明你的结论.18.若函数在处有意义,则.【对点训练18】已知定义在R上的奇函数,满足当时,,求在R上的解析式.19.若是偶函数,则.巧妙利用这一结论解题可避免因讨论带来的繁琐运算.【对点训练19】已知是偶函数,且在上是减函数,则满足的实数a的取值范围是________．20.若是奇函数,=,则(1)；(2)若有最值,则.【对点训练20】已知的最大值、最小值分别为,则________．21.函数单调性与奇偶性结合问题．注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性．奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．【对点训练21】（2021湖北省黄冈中学高三5月适应性考试）已知函数满足：,,且.若角满足不等式,则的取值范围是（    ）A． B． C． D．22.周期函数对于函数y＝f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x＋T)＝f(x),那么就称函数y＝f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．注意有些周期函数没有,如函数,所以非零有理数都是它的周期,该函数没有最小正周期.【对点训练22】（2021云南师范大学附属中学高三适应性月考）若是上周期为5的奇函数,且满足,,则等于（    ）A．-2 B．2 C．-1 D．123. 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值．【对点训练23】已知定义在上的偶函数,对,有成立,当时,,则（    ）A． B． C． D．24．函数周期性基本结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－,则T＝2a(a>0)．【对点训练24】（2021陕西省高三下学期教学质量检测）已知定义在上的奇函数满足．当时,,则（    ）A．3 B． C． D．525.函数对称性与函数周期性的关系(1)若函数的图象既关于直线对称,又关于直线对称,则是周期函数,且是它的一个周期.(2)若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.(3)若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.【对点训练25】已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)＝f(x－1),则f(2 017)＋f(2 019)的值为(　　)A．－1  B．1  C．0  D．无法计算26.周期性、奇偶性与单调性及图象的结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,将涉及到的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,然后利用奇偶性和单调性求解．【对点训练26】（2021江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳如东中学2高三5月联考）已知函数是定义在R上的周期为2的偶函数,当,则函数的图象与函数的图象交点个数为（    ）A．6 B．7 C．8 D．927.对一个易错问题的分析.【对点训练27】已知是定义在上的奇函数,且,则在上的零点个数至少为______.跟踪检测一、单选题1．（2021四川省天府名校高三5月诊断性考试）已知函数,则（    ）A．是单调递增函数 B．是奇函数C．函数的最大值为 D．2.（2021. 吉林省吉林市高三三模）若是定义在上的奇函数,且,则的值为（    ）A．1 B．2 C．0 D．3.（2021百校联盟高三4月联考）函数是定义在上的偶函数,当时,,若,则（    ）A． B． C． D．4.（2021.重庆市高三模拟调研卷四）已知函数,若,其中为自然对数的底数,则的最小值为（    ）A．6 B．8 C．9 D．125.（2021湖南省岳阳市高三下学期高考适应性考试）设函数在内有定义,下列函数必为奇函数的是（    ）A． B． C． D．6.（2021云南省昆明市高三考前适应性训练）已知点(m,n)在函数的图象上,则下列四点中也在函数f(x)的图象上的是（    ）A．(-m,1+n) B．(-m,1-n) C．(-m,-n) D．(-m,n)7.（2021“超级全能生”高三5月联考）已知函数对任意都有且成立,若,则的值为（    ）A． B． C． D．8.（2021.山西省怀仁市高三上学期期中）已知定义在上的奇函数满足,当时,,则下列结论正确的是（    ）A．是函数的周期B．函数在上的最大值为2C．函数在上单调递减D．方程在上的所有实根之和为9．（2021东北两校（大庆实验中学、吉林一中）高三模拟）已知是定义在上的偶函数,其图象关于点对称．以下关于的结论：①是周期函数；②满足；③在（0,2）上单调递减；④是满足条件的一个函数．其中所有正确的结论是（    ）A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①④10.（2021湖南师范大学附属中学高三下学期三模）已知函数,.若与的图象在区间上的交点分别为,则的值为（    ）A． B． C． D．11.（2021安徽省宿州市高三下学期第三次模拟）已知函数,则（    ）A． B．C． D．12．（2021北京市中国人民大学附属中学高三考前热身练）黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的,在高等数学中有着广泛的应用,在上的定义为：当（,且,为互质的正整数）时,；当或或为内的无理数时,.已知,,,则（    ）注：,为互质的正整数,即为已约分的最简真分数.A．的值域为 B．C． D．以上选项都不对二、多选题13．（2021重庆市高三调研）设表示不超过实数的最大整数,函数,则（    ）A．的最大值为B．是以为周期的周期函数C．在区间上单调递增D．对,14.（2021湖南省岳阳市高三下学期考试）已知函数,设为实数,且．下列结论正确的是（    ）A．函数的图象关于点对称B．不等式的解集为C．若,则D．若,则15．（2021重庆市蜀都中学高三4月月考）已知函数满足,有,且,当时,,则下列说法正确的是（    ）A．B．时,单调递增C．关于点对称D．时,方程的所有根的和为16.（2021湖南省长沙市雅礼中学高三下学期二模）关于函数,下列描述正确的有（    ）A．函数在区间上单调递增B．函数的图象关于直线对称C．若,但,则D．函数有且仅有两个零点17．（2021山东省泰安肥城市高三三模）已知定义在上的函数满足,函数为偶函数,且当时,,则下列结论正确的是（    ）A．函数是周期为4的周期函数 B．C．当时, D．不等式的解集为三、填空题18．（2021北京市高三高考模拟）已知函数,若,使得成立,请写出一个符合条件的函数的表达式__________.19．（2021河北省高三下学期仿真模拟）已知函数是定义在上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为___________.20．（2021山东省潍坊市高三三模）设函数则不等式的解集为________．21．（2021陕西省宝鸡市高三下学期第二次适应性训练）已知函数,则的值域是___________.设函数,若对于任意实数,总存在,使得成立,则实数的取值范围是___________四、解答题22．（2021上海市黄浦区高三三模）已知函数为实常数.（1）讨论函数的奇偶性,并说明理由；（2）当为奇函数时,对任意,不等式恒成立,求实数的最大值.23．（2021江西省南昌市高三三模）已知定义在实数集R上的偶函数的最小值为3,且当时,,其中e是自然对数的底数．（1）求函数的解析式；（2）求最大的整数,使得存在,只要,就有．24．（2021上海市普陀区高三下学期调研）若函数f(x)对任意的x∈R,均有f(x﹣1)+f(x+1)≥2f(x),则称函数f(x)具有性质P.（1）判断下面两个函数是否具有性质P,并说明理由；①y=3x；②y=x3；（2）若函数g(x)=,试判断g(x)是否具有性质P,并说明理由；（3）若函数f(x)具有性质P,且f(0)=f(n)=0(n>2,n∈N*)求证：对任意1≤k≤n﹣1,k∈N*,均有f(k)≤0.