2020-2021学年湖北省天门市某校初二（下）期中考试数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省天门市某校初二（下）期中考试数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题)，填空题)，解答题)等内容，欢迎下载使用。

1. 如果(2a−1)2=1−2a，则( )
A.a<12B.a≤12C.a>12D.a≥12

2. 下列式子是最简二次根式的是( )
A.12B.22C.2a2D.8

3. 下列计算正确的是( )
A.2⋅3=6B.2+3=6C.8=32D.4÷2=2

4. 等式x+2x−3=x+2x−3成立的条件是( )
A.x≠3B.x≥−2C.x≥−2且x≠3D.x>3

5. 在直线上依次摆着7个正方形（如图），已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4等于( )

A.5B.6C.4D.8

6. 下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A.AB=CD，AD=BCB.AD // BC，∠A=∠B
C.AD // BC，∠A=∠CD.AD // BC，AB // CD

7. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，使点C能直接到达点A和点B，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点的距离是( )

A.10mB.20mC.35mD.40m

8. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )

A.8米B.10米C.12米D.14米

9. 如图，在正方形ABCD的内部作等边△ADE，则∠AEB度数为( )

A.80∘B.75∘C.70∘D.60∘

10. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AG平分∠BAC交BD于G，DE⊥AG于点H．下列结论：①AD=2AE；②FD=AG；③CF=CD；④四边形FGEA是菱形；⑤OF=12BE中正确的有( )

A.2个B.3个C.4个D.5个
二、填空题)

11. 一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为________.

12. 在实数范围内分解因式x2−5=________．

13. 已知x−1+1−x=y+4，则yx的值为________．

14. 如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=60∘，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为________．


15. 如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕，已知∠1=67.5∘，∠2=75∘， EF=3+1．则BC=________.


16. 如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是________．

三、解答题)

17.
(1)−32+3−π0+|1−2|−327；

(2)312−213+48÷23.

18. 先化简，再求值：(1−1a−1)÷a2−4a+4a−1，其中a=3+2．

19. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．

(1)求证：OE=OF；

(2)若BC=23，求AB的长．

20. 如图所示的一块地，∠ADC=90∘，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．


21. 如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB // DE，AC // DF，BE=CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．


22. 如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点，连接DE和BF，过点A作AG⊥BC交CB的延长线于G．

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)当点B是CG中点时，求证：四边形BEDF是菱形．

23. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90∘，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．

(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；

(2)若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

24. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．

1证明△ABG≅△AFG；

2求BG的长；

3求△FGC的面积．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省天门市某校初二（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
二次根式的性质与化简
【解析】
由已知得1−2a≥0，从而得出a的取值范围即可．
【解答】
解：∵ (2a−1)2=1−2a，
∴ 1−2a≥0，
解得a≤12．
故选B．
2.
【答案】
B
【考点】
最简二次根式
【解析】
根据最简二次根式的条件进行选择即可．
【解答】
解：A，12中含有分母不是最简二次根式，故A错误；
B，22符合最简二次根式的条件，故B正确；
C，2a2中含有开方开得尽的因式，故C错误；
D，8中含有开方开得尽的因数，故D错误.
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
二次根式的性质与化简
二次根式的乘法
二次根式的除法
二次根式的加法
【解析】
A、根据二次根式的乘法法则计算即可判定；
B、根据二次根式的加法法则即可判定；
C、根据二次根式的乘法法则即可判定；
D、根据二次根式的除法法则即可判定．
【解答】
解：A，2⋅3=6，该选项正确；
B，2与3不是同类二次根式，不能合并，故选项错误；
C，8=22，故选项错误；
D，4÷2=2，故选项错误．
故选A．
4.
【答案】
D
【考点】
二次根式有意义的条件
分式有意义、无意义的条件
【解析】
根据二次根式的除法法则得到 x + 2 ≥ 0x − 3> 0，然后解不等式组即可．
【解答】
解：根据题意得，x+2≥0，x−3>0，
解得：x>3．
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
勾股定理的综合与创新
正方形的性质
勾股定理
全等三角形的性质
【解析】
解题关键在于看出第一个正方形与第三个正方形的边的关系，两边的平方和等于第二个正方形的边的平方．先证明△ABC≅△BDE，可得BC=ED，由勾股定理AB2=AC2+BC2可得S1+S2=1，同理S3+S4=3即可求解；
【解答】
解：如图所示，
则AB=BE，∠ACB=∠BDE=90∘，
又∠ABC+∠BAC=90∘，∠ABC+∠EBD=90∘，
∴ ∠BAC=∠EBD，
∴ △ABC≅△BEDAAS，
∴ BC=ED，
∵ AB2=AC2+BC2
∴ AB2=AC2+ED2=S1+S2，
则S1+S2=1，
同理可得，S3+S4=3，
则S1+S2+S3+S4=1+3=4.
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
平行四边形的判定
平行线的性质
【解析】
根据平行四边形的判定即可判断A、D；根据平行线的性质和已知求出∠B＝∠D，根据平行四边形的判定判断C即可．
【解答】
解：A，AB=CD，AD=BC，
即四边形ABCD的两组对边相等，
则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B，∵ AD // BC，
∴ ∠A+∠B=180∘，∠D+∠C=180∘，
∵ ∠A=∠B，
∴ ∠A=∠B=90∘，
∴ 四边形ABCD不一定是平行四边形，故本选项符合题意；
C，∵ AB // CD，
∴ ∠A+∠D=180∘，∠B+∠C=180∘，
∵ ∠A=∠C，
∴ ∠B=∠D，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
D，AD // BC，AB // CD，
即四边形ABCD的两组对边分别平行，
则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意.
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
三角形中位线定理
【解析】
三角形的中位线等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍．
【解答】
解：∵ M，N分别是AC，BC的中点，
∴ MN是△ABC的中位线，
∴ MN=12AB，
∴ AB=2MN=2×20=40(m)．
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
勾股定理
勾股定理的综合与创新
线段的性质：两点之间线段最短
【解析】
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】
解：如图，
设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴ EB=4m，EC=8m，AE=AB−EB=10−4=6(m)，
在Rt△AEC中，AC=AE2+EC2=10(m)，
故小鸟至少飞行10m．
故选B．
9.
【答案】
B
【考点】
正方形的性质
等边三角形的性质
三角形内角和定理
【解析】
由正方形和等边三角形的性质得出AB=AE，∠EAE=30∘，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BAD=90∘，AB=AD，
∵ △ADE是等边三角形，
∴ ∠DAE=60∘，AE=AD，
∴ AB=AE，∠BAE=90∘−60∘=30∘，
∴ ∠AEB=12180∘−30∘=75∘.
故选B．
10.
【答案】
C
【考点】
菱形的判定与性质
角平分线的性质
正方形的性质
全等三角形的性质与判定
【解析】
①根据正方形的性质和角平分线的定义得：∠BAG＝∠CAG＝22.5∘，由垂直的定义计算∠AED＝90∘−22.5∘＝67.5∘，∠EAD＝∠EAD＝22.5∘，得ED是AG的垂直平分线，则AE＝EG，△BEG是等腰直角三角形，则AD＝AB>2AE，可作判断；
②证明△DAF≅△ABG(ASA)，可作判断；
③分别计算∠CDF＝∠CFD＝67.5∘，可作判断；
④根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形可作判断；
⑤设BG＝x，则AF＝AE＝x，表示OF和BE的长，可作判断．
【解答】
解：①∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BAD=90∘，∠BAC=45∘，
∵ AG平分∠BAC，
∴ ∠BAG=∠CAG=22.5∘，
∵ AG⊥ED，
∴ ∠AHE=∠EHG=90∘，
∴ ∠AED=90∘−22.5∘=67.5∘，
∴ ∠ADE=22.5∘，
∵ ∠ADB=45∘，
∴ ∠EDG=22.5∘=∠ADE，
∵ ∠AHD=∠GHD=90∘，
∴ ∠DAG=∠DGA，
∴ AD=DG，AH=GH，
∴ ED是AG的垂直平分线，
∴ AE=EG，
∴ ∠EAG=∠AGE=22.5∘，
∴ ∠BEG=45∘=∠ABG，
∴ ∠BGE=90∘，
∴ AE=EG∴ AD=AB>2AE，故①不正确；
②∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=AB，∠DAF=∠ABG=45∘，
∵ ∠ADF=∠BAG=22.5∘，
∴ △DAF≅△ABG(ASA)，
∴ DF=AG，故②正确；
③∵ ∠CDF=45∘+22.5∘=67.5∘，
∠CFD=∠AFE=90∘−22.5∘=67.5∘，
∴ ∠CDF=∠CFD，
∴ CF=CD，故③正确；
④∵ ∠EAH=∠FAH，∠AHE=∠AHF，
∴ ∠AEF=∠AFE，
∴ AE=AF，
∴ EH=FH，
∵ AH=GH，AG⊥EF，
∴ 四边形FGEA是菱形，故④正确；
⑤设BG=x，则AF=AE=x，
∴ BE=2x，
∴ AB=AE+BE=x+2x=(2+1)x，
∴ AO=(2+1)x2=(2+2)x2，
∴ OF=AO−AF=(2+2)x2−x=22x，
∴ OFBE=22x2x=12，
∴ OF=12BE，故⑤正确.
综上，正确的有：②③④⑤共4个.
故选C.
二、填空题
11.
【答案】
5或7
【考点】
勾股定理
【解析】
本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析．
【解答】
解：①当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5，
②当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为7.
故答案为：5或7.
12.
【答案】
(x+5)(x−5)
【考点】
实数范围内分解因式
因式分解-运用公式法
【解析】
直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】
解：原式x2−5=x2−(5)2=(x+5)(x−5).
故答案为：(x+5)(x−5).
13.
【答案】
−4
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，继而得到y的值，则易求yx的值．
【解答】
解：依题意得，x=1，
则y+4=0，即y=−4，
则yx=(−4)1=−4．
故答案为：−4．
14.
【答案】
3
【考点】
轴对称——最短路线问题
菱形的性质
【解析】
首先连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF．证明只有点F运动到点M时，EF+BF取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．
【解答】
解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC，BD互相垂直平分，
∴ 点B关于AC的对称点为D，
∴ FD=FB，
∴ FE+FB=FE+FD≥DE．
只有当点F运动到点M时，等号成立，
在△ABD中，AD=AB，∠DAB=60∘，
∴ △ABD是等边三角形．
∵ E为AB的中点，
∴ DE⊥AB，
∴ AE=12AD=1，
则DE=AD2−AE2=22−12=3，
∴ EF+BF的最小值为3．
故答案为：3.
15.
【答案】
3+2+3
【考点】
翻折变换（折叠问题）
勾股定理
含30度角的直角三角形
【解析】
过点K作KP⊥EF于P，利用折叠性质求出∠PEK=45∘，∠PFK=30∘，设PE=PK=x，则PK=2x，PF=EF−PE=3+1−x，FK=2PK=2x，在Rt△FPK中，由勾股定理，求出x值，即可求出BC值.
【解答】
解：如图，过点K作KP⊥EF于P，
由题意得，∠1=∠KEG=67.5∘，∠2=∠HFK=75∘，
EK=BE，CF=FK，
∴∠BEK=2∠1=135∘，∠CFK=2∠2=150∘，
∴∠PEK=45∘，∠PFK=30∘，
∵KP⊥EF，
∴∠PKE=∠PEK=45∘，
∴PE=PK，
设PE=PK=x，则FK=2PK=2x，
则PF=3x，
又EF=3+1，EF=EP+PF=x+3x，
∴ x=1，
∴BE=EK=2x=2，CF=FK=2x=2，
∴BC=BE+EF+CF=2+3+1+2=3+2+3.
故答案为：3+2+3.
16.
【答案】
322
【考点】
三角形的高
三角形的面积
勾股定理
【解析】
求出三角形ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得BC边上的高．注意勾股定理的运用．
【解答】
解：由题意知，小四边形分别为小正方形，
如图所示：
所以B、C为EF、FD的中点，
S△ABC=S正方形AEFD−S△AEB−S△BFC−S△CDA
=2×2−12×1×2−12×1×1−12×1×2
=32．
BC=12+12=2．
∴ △ABC中BC边上的高是32×2÷2=322．
故答案为：322．
三、解答题
17.
【答案】
解：(1)−32+3−π0+1−2−327
=9+1+2−1−3
=3+1+2−1−3
=2.
(2)312−213+48÷23
=(63−233+43)÷23
=2833÷23
=143.
【考点】
零指数幂、负整数指数幂
立方根的性质
绝对值
二次根式的混合运算
【解析】
（1）根据零整数幂，绝对值的性质，立方根的性质，二次根式的混合运算法则求解.
根据二次根式的乘法和除法的运算法则进行计算求解.
【解答】
解：(1)−32+3−π0+1−2−327
=9+1+2−1−3
=3+1+2−1−3
=2.
(2)312−213+48÷23
=(63−233+43)÷23
=2833÷23
=143.
18.
【答案】
解：(1−1a−1)÷a2−4a+4a−1
=a−1−1a−1÷(a−2)2a−1
=a−2a−1×a−1(a−2)2=1a−2，
把a=3+2代入得：
原式=13+2−2=13=33．
【考点】
分式的化简求值
【解析】
先把括号里面的进行通分，然后把分子因式分解，再把除法转化成乘法，进行约分，最后把a的值代入计算即可．
【解答】
解：(1−1a−1)÷a2−4a+4a−1
=a−1−1a−1÷(a−2)2a−1
=a−2a−1×a−1(a−2)2=1a−2，
把a=3+2代入得：
原式=13+2−2=13=33．
19.
【答案】
(1)证明：在矩形ABCD中，AB // CD，
∴ ∠BAC=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠BAC=∠FCO∠AOE=∠COFAE=CF，
∴ △AOE≅△COF(AAS)，
∴ OE=OF；
(2)解：如图，连接OB，
∵ BE=BF，OE=OF，
∴ BO⊥EF，
∴ 在Rt△BEO中，
∠BEF+∠ABO=90∘，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：
OA=OB=OC，
∴ ∠BAC=∠ABO，
又∵ ∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90∘，
解得∠BAC=30∘，∠BCA=60∘，
∵ BC=23，
∴ AC=2OC=2BC=43，
∴ AB=AC2−BC2=(43)2−(23)2=6．
【考点】
矩形的性质
直角三角形斜边上的中线
勾股定理
全等三角形的判定
全等三角形的性质
【解析】
（1）根据矩形的对边平行可得AB // CD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角形的即可得证；
（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30∘，即∠BAC=30∘，根据直角三角形30∘角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．
【解答】
(1)证明：在矩形ABCD中，AB // CD，
∴ ∠BAC=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠BAC=∠FCO∠AOE=∠COFAE=CF，
∴ △AOE≅△COF(AAS)，
∴ OE=OF；
(2)解：如图，连接OB，
∵ BE=BF，OE=OF，
∴ BO⊥EF，
∴ 在Rt△BEO中，
∠BEF+∠ABO=90∘，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：
OA=OB=OC，
∴ ∠BAC=∠ABO，
又∵ ∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90∘，
解得∠BAC=30∘，∠BCA=60∘，
∵ BC=23，
∴ AC=2OC=2BC=43，
∴ AB=AC2−BC2=(43)2−(23)2=6．
20.
【答案】
解：连接AC，
∵ ∠ADC=90∘，AD=4，CD=3，
∴ AC2=AD2+CD2=42+32=25，
又∵ AC>0，
∴ AC=5，
又∵ BC=12，AB=13，
∴ AC2+BC2=52+122=169=AB2，
∴ ∠ACB=90∘，
∴ S四边形ABCD=S△ABC−S△ADC=30−6=24(m2)．
【考点】
勾股定理
勾股定理的逆定理
三角形的面积
【解析】
连接AC，利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
【解答】
解：连接AC，
∵ ∠ADC=90∘，AD=4，CD=3，
∴ AC2=AD2+CD2=42+32=25，
又∵ AC>0，
∴ AC=5，
又∵ BC=12，AB=13，
∴ AC2+BC2=52+122=169=AB2，
∴ ∠ACB=90∘，
∴ S四边形ABCD=S△ABC−S△ADC=30−6=24(m2)．
21.
【答案】
证明：∵ AB // DE，AC // DF，
∴ ∠B=∠DEF，∠ACB=∠F．
∵ BE=CF，
∴ BE+CE=CF+CE，
∴ BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
∵ ∠B=∠DEF，BC=EF，∠ACB=∠F，
∴ △ABC≅△DEF(ASA)，
∴ AB=DE．
又∵ AB // DE，
∴ 四边形ABED是平行四边形．
【考点】
平行四边形的判定
全等三角形的判定
全等三角形的性质
平行线的性质
【解析】
由AB // DE、AC // DF利用平行线的性质可得出∠B=∠DEF、∠ACB=∠F，由BE=CF可得出BC=EF，进而可证出△ABC≅△DEF(ASA)，根据全等三角形的性质可得出AB=DE，再结合AB // DE，即可证出四边形ABED是平行四边形．
【解答】
证明：∵ AB // DE，AC // DF，
∴ ∠B=∠DEF，∠ACB=∠F．
∵ BE=CF，
∴ BE+CE=CF+CE，
∴ BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
∵ ∠B=∠DEF，BC=EF，∠ACB=∠F，
∴ △ABC≅△DEF(ASA)，
∴ AB=DE．
又∵ AB // DE，
∴ 四边形ABED是平行四边形．
22.
【答案】
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD且AB=CD，
∵E，F分别是AB和CD的中点，
∴BE=12AB，DF=12CD，
∴BE=DF，
又∵AB//CD，
∴四边形BEDF是平行四边形.
(2)连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC且AD=BC，
∴BG=BC，
∴AD=BG，
又∵AD//BC，
∴四边形ADBG是平行四边形，
∵AG⊥BC，
∴∠G=90∘，
∴∠ADB=∠G=90∘，
又∵E是AB中点，
∴DE=BE=12AB，
由(1)得，四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．
【考点】
平行四边形的性质与判定
菱形的判定
【解析】
（1）由已知条件易证BE＝DF，进而可证明四边形BEDF是平行四边形；
（2）连接BD，可证四边形ADBG是平行四边形，可得DE＝BE=12AB，由（1）得：四边形BEDF是平行四边形，由此可证四边形BEDF是菱形．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
【解答】
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD且AB=CD，
∵E，F分别是AB和CD的中点，
∴BE=12AB，DF=12CD，
∴BE=DF，
又∵AB//CD，
∴四边形BEDF是平行四边形.
(2)连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC且AD=BC，
∴BG=BC，
∴AD=BG，
又∵AD//BC，
∴四边形ADBG是平行四边形，
∵AG⊥BC，
∴∠G=90∘，
∴∠ADB=∠G=90∘，
又∵E是AB中点，
∴DE=BE=12AB，
由(1)得，四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．
23.
【答案】
(1)证明：∵ ∠A=∠ABC=90∘，
∴ BC // AD，
∴ ∠CBE=∠DFE.
在△BEC与△FED中，
∠CBE=∠DFE,∠BEC=∠FED,CE=DE,
∴ △BEC≅△FED，
∴ BE=FE，
∴ 四边形BDFC是平行四边形.
(2)解：①BC=BD=3时，由勾股定理得，
AB=BD2 − AD2=32 − 12=22，
∴ 四边形BDFC的面积=3×22=62；
②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，
∴ AG=BC=3，
∴ DG=AG−AD=3−1=2，
由勾股定理得，CG=CD2−DG2=32 − 22=5，
∴ 四边形BDFC的面积=3×5=35；
③BD=CD时，点D在BC的垂直平分线上，即点D为AG的中点，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是62或35．
【考点】
平行线的判定与性质
全等三角形的性质与判定
平行四边形的判定
等腰三角形的性质
平行四边形的面积
勾股定理
【解析】
(1)根据同旁内角互补两直线平行求出BC // AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可.
(2)分①BC=BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；②BC=CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾．
【解答】
(1)证明：∵ ∠A=∠ABC=90∘，
∴ BC // AD，
∴ ∠CBE=∠DFE.
在△BEC与△FED中，
∠CBE=∠DFE,∠BEC=∠FED,CE=DE,
∴ △BEC≅△FED，
∴ BE=FE，
∴ 四边形BDFC是平行四边形.
(2)解：①BC=BD=3时，由勾股定理得，
AB=BD2 − AD2=32 − 12=22，
∴ 四边形BDFC的面积=3×22=62；
②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，
∴ AG=BC=3，
∴ DG=AG−AD=3−1=2，
由勾股定理得，CG=CD2−DG2=32 − 22=5，
∴ 四边形BDFC的面积=3×5=35；
③BD=CD时，点D在BC的垂直平分线上，即点D为AG的中点，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是62或35．
24.
【答案】
解：1在正方形ABCD中，
AD=AB=BC=CD，∠D=∠B= 90∘，
∵ 将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴ AD=AF，∠D=∠AFE=90∘，
∴ AB=AF，∠B=∠AFG=90∘，
又∵ AG=AG，
∴ △ABG≅△AFG(HL).
2∵ CD=3DE
∴ DE=2，CE=4，
设BG=x，则CG=6−x，GE=x+2
∵ GE2=CG2+CE2
∴ (x+2)2=(6−x)2+42，
解得，x=3，
∴ BG=3.
3过C作CM⊥GF于M，
∵ BG=GF=3，
∴ CG=3，EC=6−2=4，
∴ GE=3​2+42=5，
∵ CM⋅GE=GC⋅EC，
∴ CM×5=3×4，
∴ CM=2.4，
∴ S△FGC=12GF×CM=3.6．
【考点】
翻折变换（折叠问题）
正方形的性质
全等三角形的判定
勾股定理
三角形的面积
【解析】
1利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90∘，利用HL定理得出△ABG≅△AFG即可；
2利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可；
3首先过C作CM⊥GF于M，由勾股定理以及由面积法得，CM=2.4，进而得出答案．
【解答】
解：1在正方形ABCD中，
AD=AB=BC=CD，∠D=∠B= 90∘，
∵ 将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴ AD=AF，∠D=∠AFE=90∘，
∴ AB=AF，∠B=∠AFG=90∘，
又∵ AG=AG，
∴ △ABG≅△AFG(HL).
2∵ CD=3DE
∴ DE=2，CE=4，
设BG=x，则CG=6−x，GE=x+2
∵ GE2=CG2+CE2
∴ (x+2)2=(6−x)2+42，
解得，x=3，
∴ BG=3.
3过C作CM⊥GF于M，
∵ BG=GF=3，
∴ CG=3，EC=6−2=4，
∴ GE=3​2+42=5，
∵ CM⋅GE=GC⋅EC，
∴ CM×5=3×4，
∴ CM=2.4，
∴ S△FGC=12GF×CM=3.6．