高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.3 对数函数教案设计

第三讲  对数函数

[玩前必备]

一．对数的概念

(1)对数的定义

①一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．

②底数的对数是1，即logaa＝1,1的对数是0，即loga1＝0.

(2)几种常见对数

4.对数的性质与运算法则

(1)对数的性质

①＝N(a>0且a≠1，N>0)；

②logaaN＝N(a>0且a≠1)．

(2)对数的重要公式

①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)；

②logab＝(a，b均大于零且不等于1)．

(3)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)；

④＝logaM.

二．对数函数的定义

1.形如y＝logax(a>0，a≠1)的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

2．对数函数的图象与性质

3.反函数

指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

[玩转典例]

考向一  对数运算

例1　计算下列各式的值：

(1)lg－lg＋lg；

(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.

(3)3－2＋103lg3＋.

解　(1)原式＝lg－lg 4＋lg 7＝lg＝lg(·)＝lg＝.

(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2

＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.

(3)3－2＋103lg3＋＝3×3－24×2＋(10lg3)3＋(2)－1

＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－.

例2　已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645.

解　方法一　由18b＝5，得log185＝b，又log189＝a，所以

log3645＝＝＝＝.

方法二　设log3645＝x，则36x＝45，即62x＝5×9，

从而有182x＝5×9x＋1，对这个等式的两边都取以18为底的对数，

得2x＝log185＋(x＋1)log189，又18b＝5，所以b＝log185.所以2x＝b＋(x＋1)a，

解得x＝，即log3645＝.

[玩转跟踪]

1.计算下列各式的值：

(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；

(2)

(3)9+5.

解　(1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2)＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2

＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.

(2)原式＝＝＝.

(3)14.

2.(1)(log29)·(log34)等于(　　)

A.   B.

C.2   D.4

(2)log2·log3·log5＝________.

答案　(1)D　(2)－12

解析　(1)(log29)·log34＝(log232)·(log322)＝2log23·(2log32)＝4log23·log32＝4.

(2)原式＝··＝＝－12.

考向二 对数函数的图像

【例3】（2020·哈尔滨市第十二中学校高二期末）函数（且）与函数（且）在同一直角坐标系内的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当时，和均为减函数，

而的图象和的图象关于y轴对称，

结合选项知A、B、C、D均错误；当时，和均为增函数，

而的图象和的图象关于y轴对称，结合选项可得A正确.故选：A

【例4】（2020·云南省玉溪第一中学高一期中）函数的图象必过定点（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵过定点， ∴，

，故图象必过定点．故选：A．

【玩转跟踪】

1．（2020·山东滨州·高二期末）函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】,所以舍B;

当时,单调递增，所以舍去CD，故选：A

2．（2020·全国高一课时练习）函数y＝2log4(1－x)的图象大致是

A．B． C． D．

【答案】C

【解析】函数的定义域为且单调递减，故选C.

2.（2019·重庆高一月考）函数（，且）的图象恒过点（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】真数为1时，对数为0，所以令x=2，则f（x）=1，所以函数的图象过定点.

考向三 对数函数性质

1.单调性（区间）

【例5】（1）（2020·辽宁锦州·高二期末）函数的单调减区间是（    ）

A． B． C． D．

（2）（2019·四川省新津中学高一月考）已知在上是增函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】（1）D（2）C

【解析】由题：，，解得：，

的减区间，即的减区间，对称轴为结合二次函数单调性，

所以的减区间.故选：D

（2）设， 在上是增函数，

，即，解得， 实数的取值范围是 ，故选：C．

【玩转跟踪】

1．（2019·小店·山西大附中高一期中）函数的单调递减区间为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，解得或

令，因为的图像开口向上，对称轴方程为 ，

所以内函数在上单调递增，外函数单调递减，

所以由复合函数单调性的性质可知函数的单调递减区间为故选A.

2．（2020·全国）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由得或所以的定义域为

因为在上单调递增所以在上单调递增

所以故选：D

2.定义域和值域

【例6】（1）（2020·永昌县第四中学高二期末）函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

（2）（2019·新疆兵团第二师华山中学高二月考）函数的值域是（   ）.

A．R B． C． D．

【答案】（1）C（2）B

【解析】（1）要使得函数有意义，只需：且，解得.故函数定义域为.

故选：.

（2）恒成立，函数的定义域为

设

由复合函数的单调性可知函数在定义域上先增后减，函数取到最大值即： 函数的值域为故选

【一隅三反】

1．（2020·沭阳县修远中学高二期末）函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数的定义域满足：，解得.故选：A.

2．（2020·湖南高新技术产业园区·衡阳市一中高三月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域是________.

【答案】

【解析】由题意，函数的定义域是，即，

则函数有意义，则满足 ，解得，

解得，即函数的定义域是.故答案为：.

3．（2019·北）若函数 则函数的值域是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.

3.比较大小

【例7】（2020·全国高一课时练习）比较下列各组数中两个值的大小．

（1）log23.4，log28.5；

（2）log0.31.8，log0.32.7；

（3）loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．

【答案】（1）；（2）；

（3）当时，；当时，.

【解析】（1）根据对数函数在为单调递增函数，

因为，所以.

（2）根据对数函数在为单调递减函数，

因为，所以.

（3）根据对数函数的性质，可得：

当时，函数在为单调递减函数，

因为，所以；

当时，函数在为单调递增函数，

因为，所以.

【玩转跟踪】

1．（2020·辽源市田家炳高级中学校高二期末）已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】,,,,故选：A

2．（2020·哈尔滨市第十二中学校高二期末）已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】，，，所以，故选：A.

3．（2020·贵州铜仁伟才学校高二期末）若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，故.

故选：A.

4. 解不等式

【例8】（2020·内蒙古集宁一中高二期末）不等式的解集是________.

【答案】

【解析】由在单调递减，因为，

所以 ，解得，，即解集为.故答案为:

【玩转跟踪】

1．（2020·安徽马鞍山）已知函数是定义域为的偶函数，在上单调递减，则不等式的解集是（    ）

A． B．（1，3） C． D．

【答案】C

【解析】因为的图象是由的图象向左平移2个单位，

而的图象关于轴对称，故的图象关于直线对称.

由在上单调递减可得在上单调递增，

故即为，

也就是，所以或，

解得或，故选：C．

2．（2020·湖北）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若实数满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当时，，，

因为是定义在上的奇函数，所以，

即.因此，

作出的图象如下：

在上单调递增，又，

由得：，解得：.故选：A.

考向四 对数函数综合应用

例8　（2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中）已知函数，a常数.

（1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间；

（2）若对于，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）证明见解析，单调增区间为；（2）.

【解析】（1）证明：当时，.

的定义域为.当时,

.

，∴在区间上是奇函数，

的单调增区间为，.

（2）由，得.

令，若使题中不等式恒成立，只需要.

由（1）知在上是增函数，所以.

所以m的取值范围是.

[玩转跟踪]

1.已知函数的图象过点．

（1）求的值并求函数的值域；

（2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围；

（3）若为偶函数，求实数的值．

【答案】（1）（2）（3）

【解析】（1）因为函数图象过点，所以，解得.

则，因为，所以，

所以函数的值域为.

（2）方程有实根，即，有实根，

构造函数，

则，

因为函数在R上单调递减，而在（0，）上单调递增，

所以复合函数是R上单调递减函数。

所以在上，最小值为，最大值为，即，

所以当时，方程有实根。

（3），是R上的偶函数，

则满足，

即恒成立，

则恒成立，

则恒成立，

即恒成立，

故，则恒成立，

所以.

[玩转练习]

1．若，则a、b、c的大小关系是         。

【答案】

【解析】因为，所以．

2．已知，，，则     。

【答案】

【解析】，，，

∵．∴．

3.若函数定义域为 ，则的取值范围是     。

【答案】且

【解析】由题意可得：要使f（x）的定义域为R，则对任意的实数x都有x2﹣ax+1＞0恒成立，故有解得0＜a＜1，或1＜a＜2，即a的范围为（0，1）∪（1，2）．

4．函数的值域为________.

【答案】

【解析】

且    值域为：

本题正确结果：

5．函数的最小值是___．

【答案】1

【解析】令，，则 ，所以，即所求最小值为1.故答案为：1.

6．,的最大值为___________

【答案】

【解析】=

=，令，则函数可化为 ，，

当时， 。

7.已知函数f(x)＝若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是____________．

【答案】　(1,2]

【解析】当x≥1时，f(x)＝1＋log2x≥1，当x<1时，f(x)＝(a－1)x＋4－2a，要满足f(x)的值域为R，需解得a∈(1,2]．

8．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．

【答案】　

【解析】　当0<a<1时，函数f(x)在区间上是减函数，所以loga>0，即0<－a<1，解得<a<，故<a<1；当a>1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是.

9．计算：（1）__________．

（2）求值：_______________

（3）______

（4）=_____________.

（5）

（6）

（7）；

（8）

【答案】（1）6   （2）  （3）5（4）12（5）0.09；（6）3.（7）； （8）

【解析】（1）原式．

（2） ．

（3）根据指数和对数的运算公式得到：原式=.故答案为：5.

（4）由题意，根据指数幂与对数的运算性质，可得

.

（5）原式；

（6）原式

．

（7）；

（9）

10．已知函数f(x)＝lg.

(1)计算：f(2 020)＋f(－2 020)；

(2)对于x∈[2,6]，f(x)<lg 恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）0  （2）(9，＋∞)．

【解析】　(1)由>0，得x>1或x<－1.

∴函数的定义域为{x|x>1或x<－1}．

又f(x)＋f(－x)＝lg＝0，∴f(x)为奇函数．故f(2 020)＋f(－2 020)＝0.

(2)当x∈[2,6]时，f(x)<lg恒成立可化为<恒成立．

即m>(x－1)(7－x)在[2,6]上恒成立．

又当x∈[2,6]时，(x－1)(7－x)＝－x2＋8x－7＝－(x－4)2＋9.

∴当x＝4时，[(x－1)(7－x)]max＝9，∴m>9.即实数m的取值范围是(9，＋∞)．

11. 已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.

(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；

(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】（1）[0,2]  （2）(－∞，－3)．

【解析】　(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，

因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]．故函数h(x)的值域为[0,2]．

(2)由f(x2)·f()>k·g(x)得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x.

令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t∈[0,2]，所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立．

①当t＝0时，k∈R；

②当t∈(0,2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15恒成立，

因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，所以4t＋－15的最小值为－3，即k∈(－∞，－3)．

12．已知函数，且．

求函数的定义域；

求满足的实数x的取值范围．

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】（1）由题意可得，，解可得，，函数的定义域为，

由，可得，

时，，解可得，，

时，，解可得，．

13．已知函数，，

（I）若函数，求函数的定义域；

（II）求不等式的解集.

【答案】（I）（II）见解析

【解析】（I）由得 或，由得，取交集得到，

所以函数的定义域为

（II）由 得，

当时，有  得，得

由（I）知，所以，

当时，有得  得

由（I）知，所以，

综上，解集为（2，3）.

14．已知函数，．

若，求a的值；

在的条件下，关于x的方程有实数根，求实数t的取值范围．

【答案】（1）2；（2）

【解析】函数，若，则，，解得；

由知，，定义域为；又关于x的方程有实数根，

等价于，使成立；即，使成立；

设，；则，；

设，则，函数在时单调递增，

，从而可得，即实数t的取值范围是．

15．已知函数是对数函数．

（1）若函数，讨论函数的单调性；

（2）在（1）的条件下，若，不等式的解集非空，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）由题意可知，解得（负值舍去），所以．

因为，所以，即，即，

故的定义域为．

由于，

令，

则由对称轴可知，在上单调递增，在上单调递减；

因为在上单调递增，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）因为不等式的解集非空，所以，

由（1）知，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

因为，所以，

所以，即，故实数的取值范围为．