人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念导学案及答案

第五讲  平面向量的概念和线性运算

[玩前必备]

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

3.向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.

4．向量的夹角

已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．

5．平面向量的数量积

6.向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

7．向量数量积的性质

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量．

(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇒a·b＝0且a·b＝0⇒a⊥b；

(3)a·a＝|a|2或|a|＝；(4)cos〈a，b〉＝；(5)|a·b|≤|a||b|.

[玩转典例]

题型一  向量概念的理解

例1　判断下列命题是否正确，并说明理由．

①若a≠b，则a一定不与b共线；

②若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；

③在平行四边形ABCD中，一定有＝；

④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；

⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；

⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.

例2　如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．

(1)写出与共线的向量；

(2)写出与的模大小相等的向量；

(3)写出与相等的向量．

[题型练透]

1.判断下列命题是否正确，并说明理由．

①若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

②若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；

④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．

2.下列说法正确的是(　　)

A．向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上

B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反

C．向量与向量是两平行向量

D．单位向量都相等

3.给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中，正确的命题有(　　)

A．0个　　　　　　　　　　 B．1个

C．2个   D．3个

4.如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则

(1)与向量相等的向量有________；

(2)与向量共线，且模相等的向量有________；

(3)与向量共线，且模相等的向量有________．

题型二  向量的加减法运算

例3  如图，在△ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、

AC、AB的中点，化简下列三式：

(1)＋＋；

(2)＋＋；

(3)＋＋.

例4 化简：(1)(－)－(－)；

(2)(＋＋)－(－－)．

[题型练透]

1.如图，在平行四边形ABCD中，

(1)＋＝________；

(2)＋＋＝________；

(3)＋＋＝________；

(4)＋＋＝________.

2．化简以下各式：

(1)＋＋；

(2)－＋－；

(3)－＋；

(4) ＋＋－.

结果为零向量的式子个数是(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　 D．4

题型三  向量加减法的几何意义

例5　设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)

A．8　　　　　　　　　　 B．4

C．2   D．1

[题型练透]

1. (2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)

A．a⊥b   B．|a|＝|b|

C．a∥b   D．|a|>|b|

题型四  向量的数乘及线性运算

例6  (1)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝a，＝b，则向量等于(　　)

A.a＋b   B．－a－b

C．－a＋b   D.a－b

(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)

A.－   B.－

C.＋   D.＋

[题型练透]

1.在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则等于(　　)

A.a＋b   B.a－b

C．－a－b   D．－a＋b

2.(2020·威海模拟)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y＝________.

题型五  共线向量定理的应用

例7  (1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．

(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x ＋y ，求x＋y的值．

[题型练透]

1.如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．

2.已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．

3.（2019·湖南高三期末（理））如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为__________．

题型六  向量数量积的应用

例8  （2019·湖南高二期末）已知是单位向量，且满足，则与的夹角为（ ）

A. B. C. D.

例9  （2019·江西高一期末）已知，，且，则在方向上的投影为(     )

A. B. C. D.

（2）（2019·山西省静乐县第一中学）在中,则在方向上的投影为（    ）．

A．4 B．3 C．-4 D．5

[题型练透]

1.已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　　)

A.  B．2  C．4  D．12

2.向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝(　　)

A.  B. C.  D.

3.已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.

①求|b|；

②当a·b＝时，求向量a与b的夹角θ的值．

4.（2019·江西）已知向量，满足且，则向量在向量方向的投影为（   ）

A. B. C. D.

[玩转练习]

1．给出下列三个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若|a|＝|b|，则a＝b；

③若＝，则四边形ABCD是正方形．

其中不正确的命题的个数为(　　)

A．2个  B．3个  C．0个  D．1个

2.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则(　　)

A.＝  B.＝

C.＝  D.＝

3.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝(　　)

A．    B．

C．    D．

4．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　)

①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；

②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；

③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；

④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b.

A．①②   B．①③

C．②   D．③④

5.如图，向量，，的终点在同一直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是(　　)

A．r＝－p＋q   B．r＝－p＋2q

C．r＝p－q   D．r＝－q＋2p

6．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为(　　)

A.           B.            C.                 D.

7．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　)

A．2   B．3

C．4   D．5

8.（2019·湖南高一期末）已知的模为．且在方向上的投影为，则与的夹角为（　）

A． B． C． D．

9.（2019·石嘴山市第三中学高考模拟（文））已知中，，，为边上的中点，则 (   )

A.0 B.25 C.50 D.100

10.（2018·广西高一期末）已知为两个不共线向量，，，.

（1）若，求实数；

（2）若，且，求.

11.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________(用a，b)表示．

12．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于________．

13．已知两个不共线向量e1，e2，且＝e1＋λe2，＝3e1＋4e2，＝2e1－7e2，若A，B，D三点共线，则λ的值为________．

14．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．

(1)求证：A，B，M三点共线；

(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．