高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.1.2 余弦定理教案及反思

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第八讲  解三角形[玩前必备]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.2．解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．3.余弦定理余弦定理公式表达a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C余弦定理语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍推论cos A＝，cos B＝，cos C＝ 4.三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；[玩转典例]题型一 正弦定理【例1】（1）（2020·陕西高二期中）在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为     。（2）在中，若，，，则______.【答案】（1）5 （2）或【解析】（1）由在△ABC中，B＝135°，C＝15°，则，因为最大，由三角形的性质可得对应的边最大，由正弦定理可得，，故选:A.（2）由题,根据正弦定理得,即,即为或故答案为：或【玩转跟踪】1．（2020·甘肃高二期中）在△中，，，则等于(    )A. B. C. D.9【答案】A【解析】，，，由正弦定理得，则，故选：A.2．在中，若，，，则______.【答案】【解析】因为在中，，，，由正弦定理可得：，所以，又，所以，因此.故答案为：题型二 余弦定理【例2】（1）（2020·上海曹杨二中高三月考）在△的内角、、的对边分别为、、，若，，，则的值为      。（2）（2020·上海市复兴高级中学高一期末）在，若，，，则__________________．【答案】（1）2 （2）【解析】（1）a＝2，c＝2，C，且b＜c，由余弦定理可得，c2＝b2+ a2﹣2bacosC，即有12＝b2+4+4b，解得b＝2或﹣4，由b>0，可得b＝2．故选：B．（2）,又，,又,代入得,所以.故答案为：【玩转跟踪】1．（2020·河南高二月考）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则_______.【答案】3【解析】由余弦定理可得：，解得.故答案为：3。2．在中，，则边长__________.【答案】或【解析】因为，所以，解得：或.在中，因为，所以三角形两解.故答案为：或.3．在中，，，，则______.【答案】3【解析】由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴b2+5b﹣24＝0，b＞0．解得b＝3，故答案为：3．题型三 外接圆的半径【例3】（2020·甘肃高二期中）已知△的两边长分别为2,3，这两边的夹角的余弦值为，则△的外接圆的直径为（    ）A. B. C. D.【答案】B【解析】的两边长分别为2、3，其夹角的余弦为，故其夹角的正弦值为，
由余弦定理可得第三边的长为：，
则利用正弦定理可得：的外接圆的直径为.故选：B.【玩转跟踪】1．（2020·江西高二月考）已知等腰三角形的底边长为，一腰长为，则它的外接圆半径为(　　)A. B. C. D.【答案】C【解析】设等腰三角形的顶角为，其外接圆半径为，由余弦定理得，所以，，由正弦定理得，因此，该三角形外接圆的半径为，故选：C2．（2020·扬州市邗江区蒋王中学高一月考）在中，若，，则的值为_______【答案】2【解析】由正弦定理结合题意有：,结合合分比定理可知：.故答案为：2．题型四 正余弦定理运用--边角互换【例4】(1)（2020·安徽高二月考）设，，分别为内角，，的对边. 已知，则（    ）                                                              B.1 C. D.2(2)．（2020·山东省烟台第一中学高三月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为.已知则A. B. C. D.【答案】(1)D(2)C【解析】因为，由正弦定理，可得，又，所以得所以.故选：D.（2）由已知和正弦定理得，即，即所以，因为，所以，即，所以，即，又，所以，故选:C。【玩转跟踪】1．（2020·河南高二月考）在中，角，，的对边分别为，，，，则（    ）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，则由正弦定理可得，即.则由余弦定理，可得.又，所以.故选：D.2．（2020·黑龙江双鸭山一中高一期末）在中，已知，且满足，则的面积为（   ）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】在中，已知，∴由正弦定理得，即，∴＝＝，即＝.∵ ，∴的面积．故选：D．3．（2020·上海市奉贤中学高三开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若，则______.【答案】【解析】因为由正弦定理可知：，所以，所以，则，所以.故答案为：.题型五 三角面积【例5】（1）（2020·贵州凯里一中高一月考）在中，内角的对边分别为，且，则的面积为(  )A. B. C. D.（2）．（2020·辽宁高考模拟（理））在中，，，，则的面积为（   ）A．1 B．2 C． D．【答案】（1）D（2）C【解析】（1）由得：，即：    本题正确选项：（2）由余弦定理可知 ，因为，所以，因此，故本题选C.【玩转跟踪】1．（2020·全国高三）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若且，则的面积为（    ）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】由，又由，∴．2．（2020·河南高三）在中，，，所对应边分别为，，，已知，且，则的面积为（    ）.A.1 B. C. D.【答案】B【解析】由余弦定理得，所以，由得.故选：B.3．（2020·湖南长郡中学高二期末）在中，，，其面积，则外接圆直径为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角形的面积公式可得，可得，由余弦定理得，则，由正弦定理可知，的外接圆直径为，故选：B.题型六 三角形的个数【例6】（1）根据下面的条件解，则解唯一的是（    ）A.，， B.，，C.，， D.，，（2）（2020·陕西高二期末）已知在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是(　　)A. B. C. D.【答案】（1）D（2）D【解析】对于A选项，由可得或，因此，三角形有两解；对于B选项，三角形中，大边对大角，由得，又为钝角，所以也为钝角，显然不成立，故三角形解的个数为个；对于C选项，由不成立，所以三角形解的个数为个；对于D选项，由，所以，因此三角形个数只有一个.故选：D（2）因为在中，，，，若三角形有两解，则有，即，即，所以.故选D【玩转跟踪】1．在中，如果，，，则此三角形解的情况是（    ）A.1解 B.两解 C.无解 D.不确定【答案】B【解析】由题意得：，，如图此三角形解的情况有两种。 故选：2．（2020·河北高一期末）在中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（    ）A.，，   B.，，C.，，  D.，，【答案】D【解析】对于A选项，，，此时，无解；对于B选项，，，此时，有两解；对于C选项，，则为最大角，由于，此时，无解；对于D选项，，且，此时，有且只有一解.故选：D.题型七 判断三角形的形状【例7】（2020·甘肃高二期中（理））在中，角，，的对边分别为，，，其面积为，若，则一定是（    ）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】因为，所以，而，故.又，所以，所以即，故或.若，则，故，故为直角三角形；若，则，故，故为直角三角形；综上，故选B.【玩转跟踪】1．（2020·上海市北虹高级中学高一期中）在中，若，则是（   ）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形【答案】C【解析】因为，由正弦定理可得 ，由余弦定理可得，，即，即 ，即是等腰三角形，故选：C.2．在中，若等式成立，则的形状是（    ）．A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】A【解析】由正弦定理得，即，故三角形为等边三角形.3．（2019·安徽高二开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角【答案】B【解析】的内角A，B，C ，故答案选B【玩转练习】1．（2020·甘肃高二期中）已知分别是的三个内角所对的边，若，，，则等于（     ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由正弦定理可得即，故.故选A.2．（2020·甘肃高二期中）在△中，分别为角的对边，已知，，面积，则等于(    )A. B. C. D.【答案】A【解析】由正弦定理，（为三角形外接圆的半径），所以.因为，所以，根据余弦定理，，解得，所以.故选：A.3．（2020·江苏海安高级中学高二月考）在中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）A. B.C. D.【答案】D【解析】对A选项，由得，又故三角一边均确定，故三角形只有一解。B选项，由正弦定理得，所以，又所以，有唯一解。C选项，故，又,无解。D选项，由得，又，故有两种情况，故选D。4.（2019·安徽高一期末）在中，角的对边分别为，若，则（    ）A．无解 B．有一解C．有两解 D．解的个数无法确定【答案】C【解析】由题意，因为，又由，且，所以有两解.5．（2020·河北高一期末）在中，，，为的外接圆的圆心，则（    ）A. B.C. D.【答案】A【解析】由正弦定理可得，因此，，故选：A.6．（2020·安徽高三月考（理））已知在中，角，，的对边分别为，，，，，的面积等于，则外接圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，，，，，解得，.设外接圆的半径为，则，，外接圆的面积为.故选D.7．（2019·重庆一中高三月考）设的内角所对边分别为，已知，的面积为，，则的外接圆面积为（    ）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，由正弦定理可得：即由于在中，，由诱导公式可得，所以等价于，由于在中，，则，所以，因为在中，，故由于的面积为，，所以由三角形面积公式以及余弦定理可得： 解得： 所以由正弦定理可得，解得：，则的外接圆的半径为2，其面积为故答案选A8．（2020·上海交大附中高二月考）已知两内角、的对边边长分别为，，则“”是“”（    ）．A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】，则或，故“”是“”充分非必要条件.故选：A.9．在中，如果，那么必是（）．A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形【答案】C【解析】因为且，所以，则，所以是钝角，所以必是钝角三角形，故选：C.10．在中，、、是三角形的三条边，且方程有实数根，则该三角形是（    ）A.钝角三角形 B.直角或钝角三角形 C.锐角三角形 D.直角或锐角三角形【答案】B【解析】∵方程有实数根，∴ 由正弦定理可得： ，∴ 即为直角或钝角，∴该三角形是直角或钝角三角形，故选：B11．（2019·云南高三月考（理））在中，内角所对的边分别为若，则最短边的边长是__________________________．【答案】【解析】由，可得，∵角最小，∴最短边是，由正弦定理，可得．12．（2020·上海市第二中学高一期中）在中，，则角的大小为________.【答案】【解析】∵，∴∴，又角为三角形的内角，∴13．在中，若，且最大边长为14，则的面积是______.【答案】【解析】∵sinA：sinB：sinC＝3：5：7，由正弦定理可得：a：b：c＝3：5：7，且最大边长为14，∴a＝6，b＝10，c＝14，∴cosC，∵C∈（0，π），∴C．∴S△ABC ．故答案为：15．【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（2020·上海高三）在△中，角、、的对边分别为、、，其面积，则________【答案】【解析】由三角形面积公式可得,由余弦定理可得，,又,,,,即 故答案为：15．（2020·湖北高三月考（理））在中，角，，所对的边分别是，，且满足，，则___________．【答案】-3【解析】因为，则，则，  又因为，则，则，将，代入得，,即，故答案为-3.