高中湘教版（2019）1.1 集合第一课时达标测试

课时跟踪检测(一)　集合与元素

[A级　基础巩固]

1．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．N＋中最小的数是1

B．若－a∉N＋，则a∈N＋

C．若a∈N＋，b∈N＋，则a＋b最小值是2

D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素

解析：选AC　N＋是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a＝0时，－a∉N＋，且a∉N＋，故B错误；若a∈N＋，则a的最小值是1，又b∈N＋，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的．故选A、C.

2．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为(　　)

A．2　　　 B．2或4　　

C．4　　　 D．6

解析：选B　若a＝2∈A，则6－a＝4∈A，若a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.故选B.

3．由实数－a，a，|a|， 所组成的集合最多含有的元素个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选B　当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中最多含有两个元素，故选B.

4．若集合A中有三个元素1，a＋b，a，集合B中有三个元素0，，b.若集合A与集合B相等，则b－a＝(　　)

A．1  B．－1

C．2  D．－2

解析：选C　由题意可知a＋b＝0且a≠0，∴a＝－b，

∴＝－1，b＝1.∴a＝－1，故b－a＝2.

5．集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(　　)

A．2∈A，且2∈B  B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B

C．2∈A，且(3，10)∈B  D．(3，10)∈A，且2∈B

解析：选C　集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B，故选C.

6．集合A中的元素y满足y∈N，且y＝－x2＋1.若t∈A，则t的值为________．

解析：因为y＝－x2＋1≤1，且y∈N，所以y的值为0，1，即集合A中的元素为0，1.又t∈A，所以t＝0或1.

答案：0或1

7．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的根为元素的集合中共有________个元素．

解析：方程x2－5x＋6＝0的根是2，3，方程x2－x－2＝0的根是－1，2.根据集合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中共有3个元素．

答案：3

8．不等式x－a≥0的解集为A，若3∉A，则实数a的取值范围是________．

解析：因为3∉A，所以3是不等式x－a<0的解，所以3－a<0，解得a>3.

答案：a>3

9．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.

(1)求实数x应满足的条件；

(2)若－2∈A，求实数x.

解：(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3.

解之得x≠－1且x≠0，且x≠3.

(2)因为－2∈A，所以x＝－2或x2－2x＝－2.

由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x＝－2.

10．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．求证：

(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；

(2)集合A不可能是单元素集．

证明：(1)若a∈A，则∈A.

∵2∈A，∴＝－1∈A.

∵－1∈A，∴＝∈A.

∵∈A，∴＝2∈A.

∴A中必还有另外两个元素，且为－1，.

(2)若A为单元素集，则a＝，

即a2－a＋1＝0，方程无解．

∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．

[B级　综合运用]

11．若集合A具有以下性质：

(1)0∈A，1∈A；

(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.

则称集合A是“好集”．下列结论正确的个数是(　　)

①由－1，0，1组成的集合B是“好集”；

②有理数集Q是“好集”；

③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选C　①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，－1－1＝－2∉B，这与－2∈B矛盾．②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.

12．已知a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，则：

(1)若A中只有1个元素，则a＝________；

(2)若A有且只有2个元素，则集合A的个数是________．

解析：因为a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，

若a＝0，则4－a＝4，此时A满足要求；

若a＝1，则4－a＝3，此时A满足要求；

若a＝2，则4－a＝2，此时A含1个元素．

答案：(1)2　(2)2