高中3.1 函数课后复习题

课时跟踪检测(十七)　简单的分段函数

[A级　基础巩固]

1．设f(x)＝则f(1)＝(　　)

A．3　　　　　　　　　 B．4

C．5  D．6

解析：选D　由题意知，f(1)＝f(f(2))＋1＝f(2×2－1)＋1＝f(3)＋1＝(2×3－1)＋1＝6.

2．函数f(x)＝x＋的图象是(　　)

解析：选C　依题意，知f(x)＝x＋＝所以函数f(x)的图象为选项C中的图象．故选C.

3．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为(　　)

A．－  B．

C．－  D．

解析：选A　∵a≠0，f(1－a)＝f(1＋a)．

当a>0时，1－a<1<1＋a，则f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.

∴2－a＝－1－3a，即a＝－(舍)．

当a<0时，1＋a<1<1－a，则f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，

∴－1－a＝2＋3a，即a＝－.

综上可得a＝－.故选A.

4．著名的Dirichlet函数D(x)＝则D[D(x)]＝(　　)

A．0  B．1

C.  D．

解析：选B　∵D(x)∈{0，1}，∴D(x)为有理数，

∴D[D(x)]＝1.

5．(多选)已知f(x)＝若f(x)＝1，则x的值是(　　)

A．－1  B．

C．－  D．1

解析：选AD　根据题意，f(x)＝

若f(x)＝1，则分3种情况讨论：

①当x≤－1时，f(x)＝x＋2＝1，可得x＝－1；

②当－1<x<2时，f(x)＝x2＝1，可得x＝±1，又由－1<x<2，则x＝1；

③当x≥2时，f(x)＝2x＝1，可得x＝(舍去)．

综上可得x＝1或－1.

6．已知f(x)＝则f＋f＝________．

解析：∵f(x)＝

∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝，

∴f＋f＝＋＝4.

答案：4

7．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集是________．

解析：画出函数f(x)的图象如图所示，令f(x)＝f(1)，得x＝－3，1，3，所以当f(x)＞f(1)时，必有x∈(－3，1)∪(3，＋∞)．

答案：(－3，1)∪(3，＋∞)

8．设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________．

解析：当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；

当0≤x＜1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；

当x＜0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.

故y＝

根据函数解析式作出函数图象，如图所示．

由图象可以看出，函数的值域为(－∞，2]．

答案：(－∞，2]

9．已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，x∈R，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．

(1)分别用图象法和解析法表示函数φ(x)；

(2)求函数φ(x)的定义域、值域．

解：(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.

由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.

令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.

结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝

(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，∴φ(x)的值域为(－∞，1]．

10．小王家在县城A地，现在主城B地上学，周六小王的父母早上8时从家出发，驾车3 h到达主城B地，由于交通等原因，小王父母的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系为s(t)＝－5t(t－13)，到达主城B地后，小王父母把车停在B地，在学校陪小王玩到16时，然后开车从B地以60 km/h的速度沿原路返回．

(1)求这天小王父母的车所走路程y(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式；

(2)在距离小王家60 km处有一加油站，求这天小王父母的车途经加油站的时间．

解：(1)依题意得当0≤t≤3时，s(t)＝－5t(t－13)．

∴s(3)＝－5×3×(3－13)＝150.即小王家距B地150 km.

小王父母的车在B地逗留时间为16－8－3＝5(h)，

∴当3<t≤8时，y＝150.

小王父母从B地回家所花时间为＝2.5(h)，

∴当8<t≤10.5时，y＝150＋60(t－8)＝60t－330.

故y＝

(2)当0≤t≤3时，令－5t(t－13)＝60，得t2－13t＋12＝0，解得t＝1或t＝12(舍去)，当t＝1时，小王父母的车经过加油站的时间为9时；

当8<t≤10.5时，令60t－330＝150×2－60，解得t＝9.5，当t＝9.5时，小王父母的车经过加油站的时间为17时30分．

∴这天小王父母的车途经加油站的时间为9时和17时30分．

[B级　综合运用]

11．定义运算x⊗y＝若|m－1|⊗m＝|m－1|，则m的取值范围是(　　)

A.　　　　 B．[1，＋∞)

C.  D．(0，＋∞)

解析：选A　由|m－1|⊗m＝|m－1|，

可得：|m－1|≤m，所以m≥0，

两边平方得：m2－2m＋1≤m2，即m≥.

12．(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　)

A．f(x)的定义域为R

B．f(x)的值域为(－∞，4)

C．若f(x)＝3，则x的值是

D．f(x)<1的解集为(－1，1)

解析：选BC　由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0，4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；当x≤－1时，x＋2＝3，解得x＝1(舍去)．当－1<x<2时，x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)，故C正确；当x≤－1时，x＋2<1，解得x<－1，当－1<x<2时，x2<1，解得－1<x<1，因此f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D错误．故选B、C.

13．已知函数f(x)＝若f(f(x))＝2，则x的取值范围是________．

解析：设f(x)＝t，∴f(t)＝2，当t∈[－1，1]时，满足f(t)＝2，此时－1≤f(x)≤1，无解；当t＝2时，满足f(t)＝2，此时f(x)＝2，即－1≤x≤1或x＝2.

答案：{2}∪[－1，1]

14．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税(简称个税).2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为

个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．①

应纳税所得额的计算公式为

应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除．②

其中，“基本减除费用”(免征额)为每年60 000元．税率与速算扣除数见下表

(1)设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求y＝f(t)，并画出图象；

(2)小王全年综合所得收入额为189 600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52 800元，依法确定其他扣除是4 560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？

解：(1)根据表格，可得函数y＝f(t)的解析式为

y＝(*)

函数图象如图所示．

(2)根据②，小王全年应纳税所得额为

t＝189 600－60 000－189 600×(8%＋2%＋1%＋9%)－52 800－4 560＝0.8×189 600－117 360＝34 320.

将t的值代入(*)，得y＝0.03×34 320＝1 029.6.

所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为1 029.6元．

[C级　拓展探究]

15．已知函数f(x)＝|x－2|(x＋1)．

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)判断直线y＝a与y＝|x－2|(x＋1)的交点的个数．

解：(1)函数f(x)＝|x－2|(x＋1)，

去绝对值符号得f(x)＝

可得f(x)的图象如图所示．

(2)直线y＝a与y＝|x－2|(x＋1)的图象的交点的个数．作出图象如图，

由图象可知：当a<0时，有一个交点；当a＝0时，有两个交点；

当0<a<时，有三个交点；

当a＝时，有两个交点；当a>时，有一个交点．

综上，当a<0或a>时，有一个交点；

当a＝0或a＝时，有两个交点；

当0<a<时，有三个交点．