人教版八年级下册第十九章一次函数【知识梳理素材】

 第十九章 一次函数【知识梳理】 第19章    一次函数19.1 函数常量与变量（1）变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．（2）方法：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 函数的概念函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y=x+9时表示y是x的函数，若写成x=-y+9就表示x是y的函数． 函数自变量的取值范围自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x-1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 函数值函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 函数的图象函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 动点问题的函数图象函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 函数的表示方法函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 19.2 一次函数一次函数的定义（1）一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．（2）注意：①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．④若k=0，则y=b（b为常数），此时它不是一次函数． 正比例函数的定义（1）正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．（2）正比例函数图象的性质正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx．当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y=kx（k是常数，k≠0）的图象． 一次函数图象上点的坐标特征一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b． 一次函数的图象注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 一次函数图象与系数的关系由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限． 一次函数图象与几何变换直线y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）①关于x轴对称，就是x不变，y变成-y：-y=kx+b，即y=-kx-b；（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）②关于y轴对称，就是y不变，x变成-x：y=k（-x）+b，即y=-kx+b；（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：-y=k（-x）+b，即y=kx-b．（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 待定系数法求一次函数解析式待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值． 一次函数与一元一次不等式（1）一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 19.3 课题学习 选择方案根据实际问题列一次函数关系式根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 一次函数综合题（1）一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（2）一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（3）用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．