2020-2021学年16.1 二次根式习题

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专题01 基础巩固 + 技能提升
【基础巩固】
1. （2021·荆州市月考）下列说法错误的是（ ）
A．与相等 B．与互为相反数
C．与互为相反数 D．与互为相反数
【答案】D.
【解析】解：A、=，故A正确；
B、，则与互为相反数，故B正确；
C、与互为相反数，故C正确；
D、，故D错误；
故答案为：D.
2．（2021·山东淄博月考）如图，某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．
①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；②：将荧幕显示的数变成它的倒数；
③：将荧幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．

若一开始输入的数据为10，那么第2018步之后，显示的结果是（　　）

A． B．100 C．0.01 D．0.1
【答案】C.
【解析】解：根据题意得各步显示的数如下：
第一步：102＝100，第二步：＝0.01，第三步：＝0.1；
第四步：0.12＝0.01，第五步：＝100，第六步：＝10；
第七步：102＝100，第八步：＝0.01，第九步：＝0.1；
…
所以显示的数是六步一个循环
∵2018÷6=336…… 2
∴按了第2018下后荧幕显示的数与第二步相同，所以显示的数是0.01．
故答案为：C．
3．（2021·四川达州期末）若为实数，且满足，则的值是________．
【答案】-1.
【解析】解：由题意得：，
解得：，
∴=-1；
故答案为：-1．
4．（2021·北京月考）已知，则的值为______．
【答案】1.
【解析】解：由题意得：16-n2≥0，16-n2≤0，
故n2=16，即n=±4，又n≠-4，
∴n=4，m=-3
∴原式=（4-3）2019=1
故答案为：1．
5．（2021·安徽宿州市期末）最简二次根式与是同类最简二次根式，则________．
【答案】2.
【解析】解：根据题意得：a-1=2，b+2=5-2b，
∴a=3，b=1
∴a-b=2
故答案为：2．
6．（2021·克东县期中）当x=2+时，式子x2﹣4x+2017=________．
【答案】2016.
【解析】解：x2﹣4x+2017
=（x﹣2）2+2013
=（）2+2013
=2016．
故答案为：2016．
7．（2021·江苏扬州市期末）已知，当分别取1、2、3、…、2021时，所对应值的总和是_____．
【答案】2033.
【解析】解：当x＜4时，y=-2x+9，
即当x=1时，y=9-2=7；
当x=2时，y=9-4=5；
当x=3时，y=9-6=3；
当x≥4时，y=1，
即当x分别取4，5，…，2021时，y的值均为1，
综上所述，当x分别取1，2，3，…，2021时，
所对应的y值的总和是7+5+3+2018×1=2033，
故答案为：2033．
8．（2021·浙江杭州市期中）已知的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是_______．
【答案】12-4k.
【解析】解：由题意可知：2＜k＜4，
∴1＜9-2k＜5，1＜2k-3＜5，
∴原式=
=9-2k-2k+3
=12-4k，
故答案为：12-4k．
9．（2021·北京顺义区期末）为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.

【答案】；a+3.
【解析】解：根据题意可知图中的甲代表a，图2所示题目（字母代表正数）翻译为.
∵a＞0，
∴=a+3
故答案为：；a+3.
10．（2021·山东菏泽市期末）如果的整数部分是a，小数部分是b，求的值．
【答案】.
【解析】解：∵，，
∴，
∴a=2，，
即.
11．（2021·广东茂名市期末）计算：
【答案】.
【解析】解：原式

.
12．（2021·云南曲靖市期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，.
【解析】解：


，
当时，原式．
13．（2021·浙江杭州期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】解：（1）
=
=
=；
（2）
=
=
14．（2021·浙江绍兴市期末）定义：若一个三角形两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点称为勾股顶点．
（1） 如图①，已知△ABC 为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，AD是BC边上的高．若BD＝1，CD＝2，求高AD的长；
（2） 如图②，△ABC 中，AB＝AC＝3，BC＝，求证：△ABC 是勾股高三角形．

【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】解：（1）解：∵AD是BC边上的高，BD＝1，CD＝2，
∴AB2＝AD2＋1，AC2＝AD2＋4，
∵△ABC为勾股高三角形，A为勾股顶点，
∴ AC2－AB2＝AD2，
即（AD2＋4）－（AD2＋1）＝AD2，
∴ AD＝
（2）∵AB＝AC＝3 ，
∴点A不可能为勾股顶点
过B作BH垂直AC于D点H ，

设HC＝x，由题意，得BC2－CH2＝BH2＝AB2－AH2，
∴，
x＝，
∴BH2＝BC2－CH2＝
∵AB2－BC2＝
∴BH2＝AB2－BC2
∴△ABC是勾股高三角形．
15．（2021·河南省孟津县月考）根据下图，化简．

【答案】﹣b．
【解析】解：由数轴可以看出：a＞0，b＜0，c＜0，a＜﹣c，
∴，
=|b|-|b+c|+|a-c|+|a+c|，
＝﹣b﹣[﹣（b+c）]+（a﹣b）+[﹣（a+c）]，
＝﹣b+（b+c）+a﹣b﹣a﹣c，
＝﹣b．
16．（2019·南阳市月考）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬个单位到达点，再直爬向点停止，已知点表示，点表示，设点所表示的数为．

（1）求的值
（2）求的值
（3）直接写出蚂蚁从点到点所经过的整数中，非负整数有 个
【答案】（1）；（2）；（3）3.
【解析】解：（1）由题意可得：m-2=，
∴m=；
（2）把m=代入得


；
（3）从点A到点C所经过的整数有-1，0，1，2，其中非负整数有0，1，2，
所以蚂蚁从点A到点C所经过的整数中，非负整数有3个．
17．（2021·成都市温江区月考）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：，，，…
（1）填空：＝　 　；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．并证明你的结论．
（3）利用上面的结论，求下列式子的值：．
【答案】（1）；（2）（n为正整数），证明见解析；（3）2007.
【解析】解：（1）原式＝=；
故答案为：；
（2）规律为（n为正整数）．
证明如下：=＝=（n为正整数）；
（3）原式＝()
＝（﹣1）（+1）
＝2008﹣1
＝2007.
18．阅读下列材料，并解答其后的问题：
我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝．
（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为　 　；
（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（2+4）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝4m，∠A＝60°，求该块草地的面积．

【答案】（1）（2）（12+24+5）m2
【解析】解：（1）△ABC的面积为
S＝
＝ ＝4
故答案为：4；
（2）解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD，

在Rt△ADE中，
∵∠A＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝2
∴BE＝AB﹣AE＝2+4﹣2＝4
DE＝
∴BD＝
∴S△BCD＝
∵S△ABD＝
∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABD＝
19．（2021·江苏南通市期末）（1）判断下列各式是否成立？并选择其中一个说明理由；
；；．
（2）用字母表示（1）中式子的规律，并给出证明．
【答案】（1）成立，理由见解析；（2）（n＞1），理由见解析.
【解析】解：（1）成立，
；
（2）∵，，，，，
规律：，
证明：．
20．（2019·兰州市期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b）
例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即，
∴=
（1）填空：＝　 　，＝　 　；
（2）化简：．
【答案】（1） ， ；（2）.
【解析】解：（1）在中，m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3
即，
∴=；
=，m＝9，n＝20，由于4+5＝9，4×5＝20
即，
∴=
（2）=，
这里m＝19，n＝60，由于15+4＝19，15×4＝60
即，
∴=
21．（2021·洛阳市期中）像（＋2）（﹣2）＝1、•＝a（a≥0）、（＋1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，＋1与﹣1，2＋3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）化简：；
（2）计算： ；
（3）比较﹣与﹣的大小，并说明理由．
【答案】（1）（2）2＋2＋；（3）﹣＜﹣.
【解析】解：（1）＝；
（2）＝＋＝2＋＋＋＝2＋2＋；
（3）∵﹣＝，﹣＝，
又∵＋＞＋，
∴＜，
即：﹣＜﹣．
22．（2021·江苏盐城市期中）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
（1）根据上面三个等式，请猜想的结果(直接写出结果)
（2）根据上述规律，解答问题：
设，求不超过的最大整数是多少？
【答案】（1）1；（2）不超过m的最大整数是2019．
【解析】解：（1）观察可得，＝1；
（2）m＝++…+
＝1+1+1+…+
＝1×2019+（+++…+）
＝2019+（1﹣+﹣+﹣+…+）
＝2019+（1﹣）
=，
∴不超过m的最大整数是2019．

【拓展提升】
1.（2021·广东深圳市月考）下列说法：①带根号的数是无理数；②与是互为相反数；③实数与数轴上的点是一一对应的关系；④两个无理数的和一定是无理数；⑤已知a＝2＋，b＝2－，则a、b是互为倒数．其中错误的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B.
【解析】解：①带根号的数是无理数，错误；②与是互为相反数，正确；
③实数与数轴上的点是一一对应的关系，正确；
④两个无理数的和一定是无理数，错误；
⑤已知a＝2＋，b＝2－，则a、b是互为倒数，正确．
故答案为：B.
2．（2021·偃师市月考）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】解：



∴a的小数部分为，




∴b的小数部分为，
∴，
故答案为：B．
3．（2021·湖南邵阳市期末）若表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】解：∵由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a−b＜0，a＋b＜0，
∴＝|a−b|＋|a＋b|
＝b- a −（a＋b）
＝b- a –a-b
=−2a．
故答案为：C．
4.（2021·四川期末）化简x，正确的是（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】C.
【解析】解：﹣＞0，得x＜0，
x =﹣•=﹣.
故答案为：C．
5．（2021·浙江杭州市）化简二次根式 的结果是（ ）
A． B．－ C． D．－
【答案】B.
【解析】解：由题意知：a+2≤0，即a≤-2，
原式=
故答案为：B.
6．（2019·孟津县月考）把根号外的因式移入根号内，得________
【答案】.
【解析】解：∵，
∴a＜0，
∴．
故答案为：．
7．将化简的结果是___________________.
【答案】．
【解析】解：∵a＜0
∴a－3＜0，
∴==．
故答案为：．
8．（2021·北京期中）我们学完二次根式后，爱思考的小鲍和小黄提出了一个问题：我们可以算，的值，我们可以算，的值吗？金老师说：也是可以的，你们可以查阅资料来进行学习.他们查阅资料后，发现了这样的结论：，例如：，，那请你根据以上材料，写出____________，___________.
【答案】；4.
【解析】，
故答案为：，4．
9．（2021·龙口市期中）已知实数a满足|2014-a|+=a，那么a-20142+1的值是______ ．
【答案】2016.
【解析】解：∵a-2015≥0，
∴a≥2015，
∴原式可变形为：a-2014+a，
∴a-2015=20142，
∴a=20142+2015，
∴a-20142+1=20142+2015-20142+1=2016.
故答案为：2016.
10．（2021·灌南县月考）已知满足．
（1）有意义，的取值范围是 ；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得
（2）根据（1）的分析，求的值．
【答案】（1）a≥2021；a-2019；（2）2021.
【解析】解：（2）由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
11．先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
【答案】（1），；（2）；（3）.
【解析】解：（1）；
；
（2）；
（3）==．
12．（2021·广东茂名市月考）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”:
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：

分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：

因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而
当时，分母有最小值2，所以最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）y的最大值为2，最小值为．
【解析】解：（1），
，
而，，
，
；
（2）由，，得，
，
∴当x=0时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以y的最大值为2；
当x=1时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以y的最小值为．
13．仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为，，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，，用、代替，得，，即（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求代数式的最小值．我们以“已知x取实数，求的最小值”为例给同学们介绍．

解：由题知：，
∵，，
∴，当且仅当时取等号，即当时，最小值为．
总结：利用基本不等式求最值，若为定值，则有最小值．
请同学们根据以上所学的知识求下列代数式的最值，并求出取得最值时相应的取值．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求的最小值．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题知，
∴，当且仅当时取等号，
即当x=1时，最小值为4；
（2）由题知，
∴，当且仅当时取等号，
即当x=3时，最小值为4；
（3）由题知，
∴，当且仅当时取等号，
即当x=1时，最小值为6.