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2021学年第六章 圆周运动综合与测试教学ppt课件
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这是一份2021学年第六章 圆周运动综合与测试教学ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了学习目标，重点探究，1最低点，2最高点，3临界状态，答案2ms，答案15N，易错提醒，随堂演练，图10等内容，欢迎下载使用。
1.会分析竖直面内的圆周运动，掌握轻绳、轻杆作用下圆周运动 的分析方法.2.进一步掌握圆锥摆模型.3.掌握圆周运动临界问题的分析方法.
一、竖直面内的圆周运动1.竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型如图1所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动.小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心，我们称这类运动为轻绳模型.
F为绳的拉力(或轨道的支持力)
例1 如图2所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求：(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；
解析 小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向心力，
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小；
解析 小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球运动过程中速度的最大值.
解析 分析可知小球通过最低点时绳张力最大，
2.竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型如图3所示，细杆上固定的小球和光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下既不能做近心运动，又不能做离心运动，这类运动称为轻杆模型.
(1)最低点(与轻绳模型、凹形桥最低点动力学方程相同)
例2 长L＝0.5 m、质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个小球A.A的质量为m＝2 kg.当A通过最高点时，如图4所示，求在下列两种情况下小球对杆的作用力：(1)A在最高点的速度为1 m/s；
答案 16 N，方向向下
解析 设小球A在最高点的速度为v0时，与杆之间恰好没有相互作用力，此时向心力完全由小球的重力提供，
当A在最高点的速度为v1＝1 m/s时，因v1
(2)A在最高点的速度为4 m/s.
答案 44 N，方向向上
解析 当A在最高点的速度为v2＝4 m/s时，因v2>v0，此时小球A受到杆向下的拉力作用，
代入数据解得F2＝44 N，根据牛顿第三定律得，小球对杆的作用力大小为44 N，方向向上.
求物体对轨道(杆)的压力，或对绳(杆)的拉力时，先根据牛顿第二定律求出轨道(杆)对物体的支持力或绳(杆)对物体的拉力，再根据牛顿第三定律，求出物体对轨道(杆)的压力或对绳(杆)的拉力.
二、水平面内的圆周运动——圆锥摆模型物体受重力、斜向上的拉力(或其他力)在水平面内做匀速圆周运动.例如圆锥摆、圆锥筒内的小球、汽车(火车)在外高内低的弯道上无侧向摩擦力(弹力)转弯等，重力和斜向上的拉力(弹力)的合力提供向心力.(如图5)
例3 有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆形表演台的侧壁做匀速圆周运动.图6中的圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h.下列说法正确的是A.h越高，摩托车对侧壁的压力将越大B.h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大C.h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小D.h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
解析 摩托车沿圆形表演台的侧壁做匀速圆周运动时，所需向心力由摩托车的重力和侧壁的支持力的合力提供，
所以FN和Fn与高度h无关，即h变化时，FN和Fn不变，由牛顿第三定律知，选项A、B错误；
当h越高时，运动半径r越大，线速度v越大，选项D正确；
当h越高时，运动半径r越大，周期T越大，选项C错误.
三、圆周运动的临界问题物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态.圆周运动常见的临界问题：
(3)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值.(4)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0.(5)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值.
例4 (2019·双峰一中高一下学期期末)如图7所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是A.A的向心加速度最大B.B和C所受摩擦力大小相等C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
解析 A、B、C三物体角速度相同，an＝ω2r，则物体C的向心加速度最大，选项A错误；摩擦力提供向心力，FfB＝mω2R，FfC＝mω2·(2R)，物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，选项B错误；
例5 如图8所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r.一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方 r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g.(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值；
解析 当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，
(2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值.
解析 物块恰好离开转盘，则FN＝0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示，mgtan θ＝mω22r
1.(轻绳模型)(多选)如图9所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动.圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是(重力加速度为g)A.小球对圆环的压力大小等于mgB.重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力C.小球的线速度大小等于D.小球的向心加速度大小等于g
解析 因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；
2.(轻杆模型)如图10所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动.当小球运动到最高点时，瞬时速度大小为v＝ ，L是球心到O点的距离，g是重力加速度，则球对杆的作用力是
解析 当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，
由牛顿第三定律可知，球对杆的作用力是压力，B正确，A、C、D错误.
3.(圆锥摆模型)(2019·黑龙江大庆实验中学高一下月考)两根长度不同的不可伸长的细绳下面分别悬挂两个小球，细绳上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个小球在运动的过程中，相对位置关系的示意图正确的是
解析 对任意一小球受力分析如图所示，设细绳的长度为l，与竖直方向的夹角为θ，小球做匀速圆周运动，有mgtan θ＝mω2lsin θ，
所以两个小球处于同一高度，故B正确.
4.(圆周运动的临界问题)(2019·郑州市高一下期末)如图11甲所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g.(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好不发生相对滑动，求ω1的值；
解析 当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好不发生相对滑动，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg＝mrω12
解析 由于ω2<ω1，物块受到的最大静摩擦力大于所需向心力，此时绳对物块没有拉力，故FT2＝0.
解析 由于ω3>ω1，物块受到的最大静摩擦力不足以提供所需的向心力，此时绳对物块有拉力，则μmg＋FT3＝mω32r，
题型一 竖直面内的圆周运动1.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图1所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
由此知绳的拉力恰好为零，且水恰好不流出，故选B.
2.某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速度v做匀速圆周运动，圆的半径为R，重力加速度为g，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面)
所以由牛顿第三定律可知，F2′－F1′＝F2－F1＝2mg，B正确.
3.(多选)如图2所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法中正确的是
解析 在最高点，只有重力提供向心力时，
综上分析，选项D错误.
4.(多选)(2020·烟台二中高一月考)如图3所示，轻杆一端固定在光滑水平轴O上，另一端固定一质量为m的小球.给小球一初速度，使其在竖直平面内做圆周运动，且刚好能通过最高点P，重力加速度为g，下列说法正确的是A.小球在最高点时对杆的作用力为零B.小球在最高点时对杆的作用力大小为mgC.若增大小球的初速度，则在最高点时球对杆的力一定增大D.若增大小球的初速度，则在最高点时球对杆的力可能增大
解析 以小球为研究对象，设在最高点时杆对小球的作用力大小为F，方向竖直向上，小球刚好能通过最高点P，速度为零，
再由牛顿第三定律得，小球在最高点时对杆的作用力大小也为mg，方向竖直向下，故A错误，B正确；
增大小球的初速度，杆对球的作用力F减小，则球对杆的力减小，故C错误；
题型二 圆锥摆模型 水平面内圆周运动的临界问题5.(多选)假设飞机转弯时空气对飞机的升力与机翼的平面垂直.若质量为m的飞机以恒定的速率v在水平面内做圆周运动，其轨道半径大小为R，机翼平面与水平方向成一定的角度，飞机所在处的重力加速度大小为g，则下列说法正确的是A.空气对飞机的作用力大小为mg
D.如果保持机翼与水平方向的夹角不变，轨道半径随飞机速度的增大而增大
6.(多选)如图4所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点，设法让两个小球在不同的水平面上做匀速圆周运动.已知L1跟竖直方向的夹角为60°，L2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是
解析 对任一小球进行研究，设细线与竖直方向的夹角为θ，竖直方向受力平衡，则：FTcs θ＝mg
小球所受合力的大小为mgtan θ，根据牛顿第二定律得：
小球所受合力提供向心力，则向心力为：Fn＝mgtan θ
7.(多选)如图5所示，在圆锥体表面上放一个物体，圆锥体绕竖直轴转动.当圆锥体旋转角速度缓慢增大时，物体仍和圆锥体保持相对静止，则A.物体受到的支持力减小B.物体受到的合外力不变C.圆锥对物体的作用力不变D.物体受到的静摩擦力增大
解析 对物体进行受力分析，如图所示，根据向心力公式得Ffcs θ－FNsin θ＝mrω2在竖直方向有Ffsin θ＋FNcs θ＝mg解得FN＝mgcs θ－mrω2sin θFf＝mgsin θ＋mrω2cs θ圆锥体旋转角速度缓慢增大时，物体受到的支持力FN减小，静摩擦力增大，故A、D正确；物体受到的合外力提供向心力，F合＝mω2r随着转速的增大，合外力增大，故B错误；圆锥对物体的作用力与物体重力的合力即为物体的合外力，由于合外力变化，则圆锥对物体的作用力变化，故C错误.
8.(多选)(2020·全国高一课时练习)如图6所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑水平转动轴上，杆和球在竖直面内做匀速圆周运动，且杆对球A、B的最大约束力相同，重力加速度为g，则
A.B球在最低点较A球在最低点更易脱离轨道B.若B球在最低点时杆作用力为3mg，则A球在最高点 受杆的拉力C.若某一周A球在最高点和B球在最高点受杆的力大小 相等，则A球受杆的支持力、B球受杆的拉力D.若每一周做匀速圆周运动的角速度都增大，则同一周B球在最高点受 杆的力一定大于A球在最高点受杆的力
解析 杆和球在竖直面内做匀速圆周运动，它们的角速度相同，B球做圆周运动的半径是A球的2倍，由v＝rω可知，B球的线速度vB是A球的线速度vA的2倍，vB＝2vA，在最低点，
所以在最低点，FB>FA，而杆对球A、B的最大约束力相同，故B球在最低点较A球在最低点更易脱离轨道，故A正确；假设A球在最高点受杆的拉力FA′，
若某一周A球在最高点和B球在最高点受杆的力大小相等，因vB＝2vA，所以A球受杆的支持力、B球受杆的拉力，故C正确；
9.(多选)如图7所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是
解析 小木块a、b做匀速圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R.当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，
所以b先达到最大静摩擦力，即b先开始滑动，选项A、C正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则Ffa＝mω2l，Ffb＝mω2·2l，Ffa
解析 两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力提供向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差.
A、B球做平抛运动的时间相同，
两球做平抛运动的水平位移分别为xA＝vAt＝4RxB＝vBt＝RA、B两球落地点间的距离Δx＝xA－xB＝3R.
11.如图9所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，结果可用根式表示)(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
解析 若小球刚好要离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示.小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得mgtan θ＝mω02lsin θ
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
解析 当细线与竖直方向成60°角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtan α＝mω′2lsin α
12.如图10所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m.若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ(μ<1)，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，才能使物体A随转盘转动而不滑动？(已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g)
解析 当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即F＋Ffmax＝mrω12①由于B静止，故有F＝mg②又Ffmax＝μFN＝μmg③
当A将要沿转盘向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为F－Ffmax＝mrω22④
故要使A随转盘一起转动而不滑动，其角速度ω的范围为ω2≤ω≤ω1，
1.会分析竖直面内的圆周运动，掌握轻绳、轻杆作用下圆周运动 的分析方法.2.进一步掌握圆锥摆模型.3.掌握圆周运动临界问题的分析方法.
一、竖直面内的圆周运动1.竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型如图1所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动.小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心，我们称这类运动为轻绳模型.
F为绳的拉力(或轨道的支持力)
例1 如图2所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求：(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；
解析 小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向心力，
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小；
解析 小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球运动过程中速度的最大值.
解析 分析可知小球通过最低点时绳张力最大，
2.竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型如图3所示，细杆上固定的小球和光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下既不能做近心运动，又不能做离心运动，这类运动称为轻杆模型.
(1)最低点(与轻绳模型、凹形桥最低点动力学方程相同)
例2 长L＝0.5 m、质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个小球A.A的质量为m＝2 kg.当A通过最高点时，如图4所示，求在下列两种情况下小球对杆的作用力：(1)A在最高点的速度为1 m/s；
答案 16 N，方向向下
解析 设小球A在最高点的速度为v0时，与杆之间恰好没有相互作用力，此时向心力完全由小球的重力提供，
当A在最高点的速度为v1＝1 m/s时，因v1
(2)A在最高点的速度为4 m/s.
答案 44 N，方向向上
解析 当A在最高点的速度为v2＝4 m/s时，因v2>v0，此时小球A受到杆向下的拉力作用，
代入数据解得F2＝44 N，根据牛顿第三定律得，小球对杆的作用力大小为44 N，方向向上.
求物体对轨道(杆)的压力，或对绳(杆)的拉力时，先根据牛顿第二定律求出轨道(杆)对物体的支持力或绳(杆)对物体的拉力，再根据牛顿第三定律，求出物体对轨道(杆)的压力或对绳(杆)的拉力.
二、水平面内的圆周运动——圆锥摆模型物体受重力、斜向上的拉力(或其他力)在水平面内做匀速圆周运动.例如圆锥摆、圆锥筒内的小球、汽车(火车)在外高内低的弯道上无侧向摩擦力(弹力)转弯等，重力和斜向上的拉力(弹力)的合力提供向心力.(如图5)
例3 有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆形表演台的侧壁做匀速圆周运动.图6中的圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h.下列说法正确的是A.h越高，摩托车对侧壁的压力将越大B.h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大C.h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小D.h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
解析 摩托车沿圆形表演台的侧壁做匀速圆周运动时，所需向心力由摩托车的重力和侧壁的支持力的合力提供，
所以FN和Fn与高度h无关，即h变化时，FN和Fn不变，由牛顿第三定律知，选项A、B错误；
当h越高时，运动半径r越大，线速度v越大，选项D正确；
当h越高时，运动半径r越大，周期T越大，选项C错误.
三、圆周运动的临界问题物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态.圆周运动常见的临界问题：
(3)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值.(4)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0.(5)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值.
例4 (2019·双峰一中高一下学期期末)如图7所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是A.A的向心加速度最大B.B和C所受摩擦力大小相等C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
解析 A、B、C三物体角速度相同，an＝ω2r，则物体C的向心加速度最大，选项A错误；摩擦力提供向心力，FfB＝mω2R，FfC＝mω2·(2R)，物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，选项B错误；
例5 如图8所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r.一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方 r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g.(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值；
解析 当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，
(2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值.
解析 物块恰好离开转盘，则FN＝0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示，mgtan θ＝mω22r
1.(轻绳模型)(多选)如图9所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动.圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是(重力加速度为g)A.小球对圆环的压力大小等于mgB.重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力C.小球的线速度大小等于D.小球的向心加速度大小等于g
解析 因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；
2.(轻杆模型)如图10所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动.当小球运动到最高点时，瞬时速度大小为v＝ ，L是球心到O点的距离，g是重力加速度，则球对杆的作用力是
解析 当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，
由牛顿第三定律可知，球对杆的作用力是压力，B正确，A、C、D错误.
3.(圆锥摆模型)(2019·黑龙江大庆实验中学高一下月考)两根长度不同的不可伸长的细绳下面分别悬挂两个小球，细绳上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个小球在运动的过程中，相对位置关系的示意图正确的是
解析 对任意一小球受力分析如图所示，设细绳的长度为l，与竖直方向的夹角为θ，小球做匀速圆周运动，有mgtan θ＝mω2lsin θ，
所以两个小球处于同一高度，故B正确.
4.(圆周运动的临界问题)(2019·郑州市高一下期末)如图11甲所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g.(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好不发生相对滑动，求ω1的值；
解析 当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好不发生相对滑动，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg＝mrω12
解析 由于ω2<ω1，物块受到的最大静摩擦力大于所需向心力，此时绳对物块没有拉力，故FT2＝0.
解析 由于ω3>ω1，物块受到的最大静摩擦力不足以提供所需的向心力，此时绳对物块有拉力，则μmg＋FT3＝mω32r，
题型一 竖直面内的圆周运动1.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图1所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
由此知绳的拉力恰好为零，且水恰好不流出，故选B.
2.某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速度v做匀速圆周运动，圆的半径为R，重力加速度为g，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面)
所以由牛顿第三定律可知，F2′－F1′＝F2－F1＝2mg，B正确.
3.(多选)如图2所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法中正确的是
解析 在最高点，只有重力提供向心力时，
综上分析，选项D错误.
4.(多选)(2020·烟台二中高一月考)如图3所示，轻杆一端固定在光滑水平轴O上，另一端固定一质量为m的小球.给小球一初速度，使其在竖直平面内做圆周运动，且刚好能通过最高点P，重力加速度为g，下列说法正确的是A.小球在最高点时对杆的作用力为零B.小球在最高点时对杆的作用力大小为mgC.若增大小球的初速度，则在最高点时球对杆的力一定增大D.若增大小球的初速度，则在最高点时球对杆的力可能增大
解析 以小球为研究对象，设在最高点时杆对小球的作用力大小为F，方向竖直向上，小球刚好能通过最高点P，速度为零，
再由牛顿第三定律得，小球在最高点时对杆的作用力大小也为mg，方向竖直向下，故A错误，B正确；
增大小球的初速度，杆对球的作用力F减小，则球对杆的力减小，故C错误；
题型二 圆锥摆模型 水平面内圆周运动的临界问题5.(多选)假设飞机转弯时空气对飞机的升力与机翼的平面垂直.若质量为m的飞机以恒定的速率v在水平面内做圆周运动，其轨道半径大小为R，机翼平面与水平方向成一定的角度，飞机所在处的重力加速度大小为g，则下列说法正确的是A.空气对飞机的作用力大小为mg
D.如果保持机翼与水平方向的夹角不变，轨道半径随飞机速度的增大而增大
6.(多选)如图4所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点，设法让两个小球在不同的水平面上做匀速圆周运动.已知L1跟竖直方向的夹角为60°，L2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是
解析 对任一小球进行研究，设细线与竖直方向的夹角为θ，竖直方向受力平衡，则：FTcs θ＝mg
小球所受合力的大小为mgtan θ，根据牛顿第二定律得：
小球所受合力提供向心力，则向心力为：Fn＝mgtan θ
7.(多选)如图5所示，在圆锥体表面上放一个物体，圆锥体绕竖直轴转动.当圆锥体旋转角速度缓慢增大时，物体仍和圆锥体保持相对静止，则A.物体受到的支持力减小B.物体受到的合外力不变C.圆锥对物体的作用力不变D.物体受到的静摩擦力增大
解析 对物体进行受力分析，如图所示，根据向心力公式得Ffcs θ－FNsin θ＝mrω2在竖直方向有Ffsin θ＋FNcs θ＝mg解得FN＝mgcs θ－mrω2sin θFf＝mgsin θ＋mrω2cs θ圆锥体旋转角速度缓慢增大时，物体受到的支持力FN减小，静摩擦力增大，故A、D正确；物体受到的合外力提供向心力，F合＝mω2r随着转速的增大，合外力增大，故B错误；圆锥对物体的作用力与物体重力的合力即为物体的合外力，由于合外力变化，则圆锥对物体的作用力变化，故C错误.
8.(多选)(2020·全国高一课时练习)如图6所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑水平转动轴上，杆和球在竖直面内做匀速圆周运动，且杆对球A、B的最大约束力相同，重力加速度为g，则
A.B球在最低点较A球在最低点更易脱离轨道B.若B球在最低点时杆作用力为3mg，则A球在最高点 受杆的拉力C.若某一周A球在最高点和B球在最高点受杆的力大小 相等，则A球受杆的支持力、B球受杆的拉力D.若每一周做匀速圆周运动的角速度都增大，则同一周B球在最高点受 杆的力一定大于A球在最高点受杆的力
解析 杆和球在竖直面内做匀速圆周运动，它们的角速度相同，B球做圆周运动的半径是A球的2倍，由v＝rω可知，B球的线速度vB是A球的线速度vA的2倍，vB＝2vA，在最低点，
所以在最低点，FB>FA，而杆对球A、B的最大约束力相同，故B球在最低点较A球在最低点更易脱离轨道，故A正确；假设A球在最高点受杆的拉力FA′，
若某一周A球在最高点和B球在最高点受杆的力大小相等，因vB＝2vA，所以A球受杆的支持力、B球受杆的拉力，故C正确；
9.(多选)如图7所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是
解析 小木块a、b做匀速圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R.当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，
所以b先达到最大静摩擦力，即b先开始滑动，选项A、C正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则Ffa＝mω2l，Ffb＝mω2·2l，Ffa
解析 两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力提供向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差.
A、B球做平抛运动的时间相同，
两球做平抛运动的水平位移分别为xA＝vAt＝4RxB＝vBt＝RA、B两球落地点间的距离Δx＝xA－xB＝3R.
11.如图9所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，结果可用根式表示)(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
解析 若小球刚好要离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示.小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得mgtan θ＝mω02lsin θ
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
解析 当细线与竖直方向成60°角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtan α＝mω′2lsin α
12.如图10所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m.若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ(μ<1)，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，才能使物体A随转盘转动而不滑动？(已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g)
解析 当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即F＋Ffmax＝mrω12①由于B静止，故有F＝mg②又Ffmax＝μFN＝μmg③
当A将要沿转盘向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为F－Ffmax＝mrω22④
故要使A随转盘一起转动而不滑动，其角速度ω的范围为ω2≤ω≤ω1，
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