数学必修 第二册9.2 用样本估计总体巩固练习

总体集中趋势的估计　总体离散程度的估计

(25分钟·50分)

一、选择题(每小题4分，共16分)

1.已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是              (　　)

A.平均数>中位数>众数

B.平均数<中位数<众数

C.中位数<众数<平均数

D.众数=中位数=平均数

【解析】选D.众数、中位数、平均数都是50.

2.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如表所示：

s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有

 (　　)

A.s3>s1>s2　　　　　　 B.s2>s1>s3

C.s1>s2>s3     D.s2>s3>s1

【解析】选B.因为s2=(++…+)-，

所以=(5×72+5×82+5×92+5×102)-8.52=，所以s1=.

同理s2=，s3=，

所以s2>s1>s3.

3.样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b是方程x2-5x+4=0的两根，则这个样本的方差是              (　　)

A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6

【解析】选C.x2-5x+4=0的两根是1，4.

当a=1时，a，3，5，7的平均数是4；

当a=4时，a，3，5，7的平均数不是1.

所以a=1，b=4.则方差s2=[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.

4.(2019·中山高二检测)某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为3万元，则9时至14时的销售总额为              (　　)

A.10万元   B.12万元

C.15万元   D.30万元

【解析】选D.由图知，9时至10时的销售额频率为0.1，所以9时至14时的销售总额为=30(万元).

二、填空题(每小题4分，共8分)

5.(2019·江苏高考)已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________. 

【解析】=×(6+7+8+8+9+10)=8，

所以方差为×[(6-8)2+(7-8)2+0+0+(9-8)2+(10-8)2]=.

答案：

6.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如表：

用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值=________. 

【解析】=(2.5×4+7.5×8+12.5×5+17.5×2+22.5×1)=9.5.

答案：9.5

三、解答题(共26分)

7.(12分)如图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中所得的环数)，每人射击了6次.

(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来.

(2)请你用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较.

【解析】(1)列表如下：

(2)=9环，=9环，=，=1.

因为=， <，

所以甲与乙的平均成绩相同，但甲发挥比乙稳定.

8.(14分)今年西南一地区遭遇严重干旱，某乡计划向上级申请支援，为上报需水量，乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量，得到这100户村民月均用水量的频率分布表如表：(月均用水量的单位：吨)

(1)请完成该频率分布表，并画出相对应的频率分布直方图.

(2)估计样本的中位数是多少.

(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水，若该乡共有1 200户，请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨？

【解析】(1)频率分布表与相应的频率分布直方图如下：

(2)设中位数为x，因为月均用水量在[0.5，4.5)内的频率是0.12+0.24=0.36，月均用水量在[0.5，6.5)内的频率是0.12+0.24+0.40=0.76，所以x∈[4.5，6.5)，则(x-4.5)×0.2=0.5-0.36，解得x=5.2.所以中位数是5.2.

(3)该乡每户月均用水量估计为1.5×0.12+3.5×0.24+5.5×0.40+7.5×0.18+9.5×0.06=5.14，由5.14×1 200=6 168，知上级支援该乡的月调水量是6 168吨.

(15分钟·30分)

1.(4分)如图是1951～2016年我国的年平均气温变化的折线图.根据图中信息，下列结论正确的是              (　　)

A.1951年以来，我国的年平均气温逐年升高

B.1951年以来，我国的年平均气温在2016年再创新高

C.2000年以来，我国每年的年平均气温都高于1981～2010年的平均值

D.2000年以来，我国的年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值

【解析】选D.由图可知，1951年以来，我国的年平均气温变化是有起伏的，不是逐年增高的，所以选项A错误；1951年以来，我国的年平均气温最高的不是2016年，所以选项B错误；2012年的年平均气温低于1981～2010年的平均值，所以选项C错误；2000年以来，我国的年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值，所以选项D正确.

2.(4分)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则              (　　)

A.me=mo=    B.me=mo<

C.me<mo<    D.mo<me<

【解析】选D.由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分.中位数为第15，16个数(分别为5，6)的平均数，即me=5.5，5出现的次数最多，故mo=5，

=×[2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10]≈5.97.于是得mo<me<.

3.(4分)已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数为________.               

【解析】由x1，x2，…，xn的平均数=5，得2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数为2+1=2×5+1=11.

答案：11

【加练·固】

　　 若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的标准差为________. 

【解析】由已知，x1，x2，x3，…，x10的方差s2=64.则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的方差为22s2=22×64，所以其标准差为=2×8=16.

答案：16

4.(4分)某人5次上班途中所花时间(单位：min)分别为x，y，10，11，9若这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|=________.               

【解析】==10，所以x+y=20.

方差为2，则=2，

(x-10)2+(10-x)2=8，(x-10)2=4，x=8或x=12，

则y=12或y=8，所以|x-y|=4.

答案：4

【加练·固】

　　 已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=________. 

【解析】由平均数得9+10+11+x+y=50，

所以x+y=20，又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10，

得x2+y2-20(x+y)=-192，

(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192，xy=96.

答案：96

5.(14分)为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如表：             

(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命.

(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？

【解析】(1)各组的组中值分别为165，195，225，255，285，315，345，375，由此可算得这种日光灯的平均使用寿命约为165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天).

(2)× [1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+

25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2]=2 128.60.

故标准差为≈46.

估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故在222～314天之间统一更换较合适.

1.某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是              (　　)

A.    B.   C.    D.

【解析】选B.由已知y=

即y=

当日销量不少于20个时，日利润不少于96元.

当日销量为20个时，日利润为96元.

当日销量为21个时，日利润为97元.

日利润为96元的有3天，记为a，b，c，日利润为97元的有2天，记为A，B，从中任选2天有(a，A)，(a，B)，(a，b)，(a，c)，(b，A)，(b，B)，(b，c)，(c，A)，(c，B)，(A，B)共10种情况，

其中选出的这2天日利润都是97元的有(A，B)1种情况，所以所求概率为.

2.已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差s2=(+++-16)，则数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数为________.               

【解析】设正数x1，x2，x3，x4的平均数为，则s2=[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2]，得s2=(+++)-，又已知s2=(+++-16)=(+++)-4，所以=4，所以=2，所以[(x1+2)+(x2+2)+(x3+2)+(x4+2)]=+2=4.

答案：4

3.某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数.

(1)若n=19，求y与x的函数解析式.

(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值.

(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？             

【解析】(1)当x≤19时，y=3 800；

当x>19时，y=3 800+500(x-19)

=500x-5 700，

所以y与x的函数解析式为

y=(x∈N*).

(2)由题图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.

(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元，20台的费用为4 300元，10台的费用为4 800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元).

若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元，10台的费用为4 500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).

比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.