陕西省学林大联考2022年中考数学自查试卷 (word版含答案)

陕西省学林大联考2022年中考数学自查试卷

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 下列各数中，不是无理数的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列宣传图案中，既中心对称图形又是轴对称图形的是

A. 戴口罩讲卫生 B. 少出门少聚集
C. 有症状早就医 D. 勤洗手勤通风

3. 我国领土面积约为平方千米，数据用科学记数法表示应为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，，，点在边上，过点作交于点，则的度数为

A.  B.  C.  D.

5. 如图，矩形的对角线的垂直平分线分别交、、于点、、，若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

6. 已知直线经过点，直线经过点，若与关于轴对称，则、与轴围成的三角形面积为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，，，以为斜边向外作，、分别为、的中点，连接，若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

8. 已知二次函数的图象只经过三个象限，则的取值范围是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共5小题，共15分）

9. 计算的结果是______．
10. 如图，正五边形内接于，若的半径为，则劣弧的长为______结果保留
    
    
     

11. “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式是，乙烷的化学式是，丙烷的化学式是，设碳原子的数目为为正整数，则它们的化学式都可用式子______来表示．
12. 如图，点在反比例函数的图象上，连接，作轴于点，为的中线，若的面积为，则的值为______．

13. 如图，在菱形中，，对角线、交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接、，则的最大值为______．

三．计算题（本题共1小题，共5分）

14. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共12小题，共76分）

15. 解不等式，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集．
    
    
    
    
    
    
    
     
16. 先化简，然后选择一个合适的整数作为的值代入求值．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得将分为两个等腰三角形．保留作图痕迹，不写作法
    
     

18. 如图，为▱的对角线，点、在上，且，求证：．

19. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解辆型汽车和辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车和辆型汽车的进价共计万元．求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
    
    
    
    
    
    
     
20. 北京冬奥会的主题口号是“一起向未来”，一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五个小球，除汉字不同之外，小球没有其他区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
    若从中任意摸出一个球，摸出的球上的汉字是“向”的概率为______；
    从中任意摸出一个球，不放回，再从剩下的小球中任意摸出一个球，请用画树状图或列表法，求摸出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的概率．
    
    
    
    
    
    
     
21. 西安世园会标志性雕塑水龙，内部为钢结构，外包镜面不锈钢，既像一股水花，又似一条飞龙，既蕴含了上善若水的中国传统理念，又有巨龙腾飞的时代精神．小刚同学想利用所学知识测量该雕塑的高度，如图，他在距离点米的点处水平放置了一个小平面镜，并沿着方向移动，当移动到点处时，他刚好在小平面镜内看到雕塑的顶端的像，此时，测得米，小刚眼晴与地面的距离米．已知点、、在同一水平直线上，且、，求雕塑的高度小平面镜的大小忽略不计
    
    
    
    
    
    
     
22. 近日，俄乌军事冲突事件引起了全世界的关注，此次事件也让我们深切体会到，只有祖国强大了，人民群众才有安全感，才会被世界“温柔”以待为此，某校举行了“少年强则国强”演讲比赛．学校随机调查了参加比赛的名学生，并将他们的比赛成绩统计如下满分为分：
    这名学生比赛成绩的众数是______分，并补全条形统计图；
    计算这名学生比赛成绩的平均数；
    若该校共有名学生参加了这次演讲比赛，请估计得满分的共有多少名学生？

23. 随着人民生活水平的提高，环境污染问题日趋严重，为了更好治理和净化河道，保护环境，河道综合治理指挥部决定购买台污水处理设备．现有、两种型号的设备，其中型号设备的价格为万元台，每月可处理污水吨，型号设备的价格为万元台，每月可处理污水吨，设购买型设备台，、两种型号的设备每月总共能处理污水吨．
    求与之间的函数关系式；
    由于受资金限制，河道综合治理指挥部决定购买污水处理设备的总资金不超过万元，问每月最多能处理污水多少吨？
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，内接于，的直径与弦相交于点，，过点的切线交的延长线于点．
    求证：；
    若，，求的长．
    
     

25. 如图，已知二次函数的图象与轴和轴的正半轴分别交于点和点，直线经过点，交轴于点点是第一象限内二次函数图象上一动点，于点，轴交直线于点．
    求点、点的坐标以及二次函数的表达式；
    是否存在点，使得与全等？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

26. 【问题探究】
    如图，在中，，点为上一点，且，于点，若的面积为，求的长．
    【问题解决】
    如图，某小区有一块三角形空地，其中米，米，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场地，在边上选一点，边上取一点，使得，过点作交于点，连接，在和区域内绿化，在四边形区域内修建运动场地．若设的长为米，运动场地四边形的面积为平方米．
    求与之间的函数关系式；
    运动场地四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出运动场地四边形面积的最大值及取得最大值时的长；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：．属于有理数，不是无理数，符合题意；
B.属于无理数，不合题意；
C.属于无理数，不合题意；
D.属于无理数，不合题意；
故选：．
无限不循环小数叫做无理数．无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．
本题主要考查了无理数，会判断无理数，关键是了解它的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】
 

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
，
，
，
故选：．
由，推出，只要求出的度数即可解决问题．
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

5.【答案】
 

【解析】解：连接，，
是的垂直平分线，
，，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌；
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
，
设，
是的垂直平分线，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
，
，
，
，
．
故选：．
根据矩形的性质得到，，根据平行线的性质得出，根据推出：≌；根据全等得出，推出四边形是平行四边形，再根据即可推出四边形是菱形，根据线段垂直平分线性质得出，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证得四边形是菱形是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：由题意得直线经过点关于轴的对称点，
设该直线的解析式为，
解得，
解得，
直线的解析式为，
直线、与轴的交点各为和，都与轴交于点，
直线、与轴围成的三角形面积为：，
故选：．
根据对称性和待定系数法求得直线与的关系式，求得它们与轴围成的三角形的一边和其对应高线就能求得此题结果．
此题考查了一次函数中直线与坐标轴围成的图形面积问题的能力，关键是能准确理解题意，运用待定系数法求得直线解析式，并结合几何图形整式进行求解．
 

7.【答案】
 

【解析】解：在中，，，，
，
，，
，
、分别为、的中点，
是三角形的中位线，
，
故选：．
根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据三角形的中位线定理即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：二次函数的图象只经过三个象限，
开口方向向下，其对称轴为，
则，，
解得．
故选：．
由于二次函数的图象开口向下，对称轴为，要使二次函数的图象只过三个象限，则函数只能不过第一象限，顶点在第二象限，且与轴的交点不经过正半轴，据此列出不等式组解答即可．
本题考查了二次函数的性质，要结合不等式组，求出的取值范围，熟悉二次函数的图象是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图所示：连接、，，
为正五边形的外接圆，
，
的半径为，
劣弧的长为：．
故答案为：．
利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出即可．
本题主要考查正多边形与圆、弧长公式等知识，得出圆心角度数是解题关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：设碳原子的数目为为正整数时，氢原子的数目为，
观察，发现规律：，，，，
．
碳原子的数目为为正整数时，它的化学式为．
故答案为：．
设碳原子的数目为为正整数时，氢原子的数目为，列出部分的值，根据数值的变化找出变化规律“”，依此规律即可解决问题．
本题考查了列代数式，规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“”本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据碳原子的变化找出氢原子的变化规律是关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：为的中线，
．
的面积为，
．
，
，
．
故答案为：．
利用反比例函数的几何意义解决问题即可．
本题考查反比例函数系数的几何意义，与坐标轴围成的三角形面积就等于本知识点是中考的重要考点．
 

13.【答案】
 

【解析】解：取中点，连接，作射线交于点．
则，
，
当与重合，、、三点在同一直线上时，
有最大值，即为的长，
在菱形中，，
，，
为等边三角形．
．
．
点为的中点，，，
，
，
为等边三角形，
．
故的最大值为．
故答案为：．
取中点，连接，作射线交于点则，当与重合，、、三点在同一直线上时，有最大值，即为的长．
本题考查了轴对称最大值问题，熟练运用轴对称的性质和三角形三边关系是解题的关键．
 

14.【答案】解：

．
 

【解析】先去括号，计算零指数幂，负整数指数幂；然后计算加减法．
本题主要考查了二次根式的婚事运算，零指数幂以及负整数指数幂，解题时，运用了完全平方公式，需要熟记该公式．
 

15.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为得：．
该不等式的解集在数轴上表示如下：

 

【解析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可得结果．
本题考查一元一次不等式的解法，解题关键是熟知解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为．
 

16.【答案】解：原式

，
和时，原式无意义，
把代入，
原式
．
 

【解析】先将括号内通分，把除化为乘，再分子、分母分解因式约分，再将原式有意义的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式通分、约分，把分式化简．
 

17.【答案】解：如图，线段即为所求．

 

【解析】作线段的垂直平分线，垂足为，连接，线段即为所求．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】由平行四边形的性质得，，则，再证≌，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：设种型号汽车每辆的进价为万元，种型号汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：，
答：种型号汽车每辆的进价为万元，种型号汽车每辆的进价为万元．
 

【解析】设种型号汽车每辆的进价为万元，种型号汽车每辆的进价为万元，由题意：辆型汽车和辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车和辆型汽车的进价共计万元．列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

20.【答案】
 

【解析】解：若从中任意摸出一个球，摸出的球上的汉字是“向”的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中摸出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的结果有种，
摸出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中摸出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：根据题意，得．
，，
．
∽．
．
米，米，米，
．
解得．
答：雕塑的高度是米．
 

【解析】首先证得∽，利用该相似三角形的对应边成比例求解即可．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

22.【答案】
 

【解析】解：得分的人数为人，所以得分的人数最多，众数为．
故答案为：；
补全条形统计图如下：

分，
答：这名学生比赛成绩的平均数是分；
名，
答：估计得满分的共有名学生．
先计算出得分的人数，再根据众数的定义可得答案，完成统计图；
利用加权平均数的计算方法可得平均数；
用得满分的同学所占的百分比总人数．
本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

23.【答案】解：设购买型设备台，则型号台，、两种型号的设备每月总共能处理污水吨，根据题意得：
则与的函数关系式：．
设购买型设备台，则型号台，
由题意得，，
解得：，
因为与的函数关系式：，，
随的增大而增大，
所以当时，，
答：每月最多能处理污水吨．
 

【解析】根据等量关系处理污水总量型设备台数每台处理污水量型设备台数每台处理污水量，可得出与函数关系式；
设购买型号台，型号台，根据总资金不超过万元，列不等式，求出的取值范围，然后解得即可．
本题考查了一元一次不等式和一次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出题目中的等量关系和不等关系，列不等式求解．
 

24.【答案】证明：为的直径，，
，
是的切线，
，
；
解：连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】根据垂径定理得到，根据切线的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论；
连接，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了切线的性质，勾股定理，三角函数的定义，平行线的判定，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：在中，令，则，令则，
，，
将点和点代入得，，
解得，
二次函数的表达式为；
，
，
当与全等时，点与点为一组对应点，
当≌时，
轴，
，
，，
，，
，
，
，
此种情况不存在；
当≌时，
，，
只需，
，，
，
设，则，
点在直线上，
，
或，
或，
综上所述，存在点，使得与全等，点的坐标或．
 

【解析】解方程求得，，将点和点代入解方程组得到；
根据垂直的定义得到，推出当与全等时，点与点为一组对应点，当≌时，推出此种情况不存在；当≌时，设，则，解方程即可得到结论．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，全等三角形的性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：过点作于点，

，，
，
，
，即，
，，
，
，即，
；
过点作于点，交于点，过点作于点，

，，
米，
米，
，，
，
，，
，
，
即，
，
，，
，
，
∽，
，
，
四边形是平行四边形，
，
即；
由可知，，
当时，最大，
即运动场地四边形的面积存在最大值，最大值为平方米，此时的长为米．
 

【解析】过点作于点，首先可得，再根据，得，代入可得答案；
过点作于点，交于点，过点作于点，首先利用等腰三角形的性质可得，由，得，代入可得，再根据，，证明∽，得出四边形是平行四边形，可得答案；
由可知，，进而得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，二次函数的性质等知识，证明四边形是平行四边形是解题的关键．