2021-2022学年 苏教版2019必修2 第十三章 立体几何初步 单元测试卷（word版含答案）

2021-2022学年 必修2 第十三章 立体几何初步 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(每题4分，共8各小题，共计32分)

1.已知点都在球的球面上，， 是边长为1的等边三角形，与平面所成角的正弦值为，若，则球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

2.如果一个长方体的长、宽、高分别是6，5，3，则它的体积为（   ）

A.15 B.18 C.30 D.90

3.在体积为的直三棱柱中，为等边三角形，且的外接圆半径为，则该三棱柱外接球的表面积为(   )

A. B. C. D.

4.如图，在四面体中，分别是的中点，若与所成角的大小为，则与所成角的大小为（     ）

A.30° B.60° C.30°或60° D.15°或60°

5.在空间四边形ABCD中，若，，则有(   )

A.平面平面ADC B.平面平面ADB

C.平面平面DBC D.平面平面DBC

6.如图，在矩形ABCD中，，，E为DC的中点，沿AE将折起，在折起过程中，正确的有(   )

①平面ACD；②平面BED；③平面ACD；④平面BED.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7.在三棱柱中，M，N分别为AC，的中点，E，F分别为BC，的中点，则直线MN与直线EF，平面的位置关系分别为(   )

A.平行、平行 B.异面、平行 C.平行、相交 D.异面、相交

8.给出下列说法：

①若直线l平行于平面内的无数条直线，则；

②若直线a在平面外，则；

③若直线，直线平面，则；

④若直线，直线平面，则直线a平行于平面内的无数条直线.

其中正确说法的个数为(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

二、多项选择题(每题4分，共2各小题，共计8分)

9.等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则形成的几何体的表面积可以为(   )

A. B. C. D.

10.已知圆上的点到直线的距离等于,那么的值可以是(   )　　

A.               B.             C.            D.

三、填空题(每题4分，共5各小题，共计20分)

11.已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为___________________.

12.如图，在三棱柱中，，平面，分别是和的中点，则直线与所成角的余弦值为_______．

13.已知矩形ABCD的边，，平面ABCD.若BC边上有且只有一点M，使，则a的值为_________________.

14.如图，P是所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'.若，则________________.

15.过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB，AC，AD，且AB，AC，AD两两夹角都为，若，则该球的体积为______.

四、解答题(每题10分，共4各小题，共计40分)

16.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点.

(1)设P是上的一点，且，求证；

(2)当，时，求二面角的大小.

17.如图，在棱长为1的正方体中，E是棱BC的中点，F是棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得平面.

18.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点分别为和中点.

（1）求证：直线平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

19.已知四棱锥中，，，，，，平面ABCD，.

(1)设平面平面，求证：；

(2)若E是PA的中点，求四面体PBEC的体积.

参考答案

1.答案：B

解析：由题设，若是的中点，则是△的中心，连接，如下图示：

由题设知：，，又，则面，

而面，即面面，

过作面，则必在直线上，易知：为与平面所成角的平面角，又与平面所成角的正弦值为，，可得.

过作交于，易知：，

而，即，又，故为的中点，，

∴，即是球心，故球的半径为1，∴球的表面积为.

2.答案：D

解析：长方形体积=

3.答案：A

解析：设的边长为a，由的外接圆半径为可得，故，则的面积.由三棱柱的体积为可得，故.设三棱柱外接球的半径为R，则，故该三棱柱外接球的表面积为.

4.答案：C

解析：取BD中点O，连结MO、NO，

在四面体ABCD，，M，N分别是BC，AD的中点，AB与CD所成的角的大小为60°，，，是MN和CD所成的角（或所成角的补角），且，，，或，MN和CD所成的角为60°或30°.故选：C

5.答案：D

解析：，，，平面DBC.

又平面ADC，平面平面DBC.

6.答案：A

解析：在矩形ABCD中，，，E为边DC的中点，在折起过程中，点D在平面ABCE上的射影点D'在图中线段上.

与AC所成角不能为直角，

不会垂直于平面ACD，故①错误.

只有点D的射影位于点位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有，此时CD不垂直于平面AECB，

即CD与平面BED不垂直，故②错误.

与AC所成角不能为直角，

不能垂直于平面ACD，故③错误.

，并且在折起过程中，有，

存在一个位置使，

在折起过程中有平面BED，故④正确.

故选A.

7.答案：B

解析：在三棱柱中，M，N分别为AC，的中点，E，F分别为BC，的中点，平面，平面，，直线MN与直线EF是异面直线.如图，取的中点P，连接PM，PN，则，.，平面，，PM，平面PMN，，平面平面.平面PMN，直线MN与平面平行.故选B.

8.答案：A

解析：对于①，虽然直线l与平面内的无数条直线平行，但l可能在平面内，所以l不一定平行于，所以错误；对于②，因为直线a在平面外，包括两种情况：和a与相交，所以a和不一定平行，所以错误；对于③，因为直线，，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面内，所以a不一定平行于平面，所以错误；对于④，因为，，所以或，所以a与平面内的无数条直线平行，所以正确.综上，正确说法的个数为1.

9.答案：AB

解析：如果绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线长为，所以所形成的几何体的表面积.如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径长等于直角三角形斜边上的高，为，两个圆锥的母线长都等于直角三角形的直角边长，所以形成的几何体的表面积.综上可知，形成几何体的表面积是或.故选AB.

10.答案：ABC

解析：圆 的圆心为 ，半径为 2 .

直线 过 ，
与 的距离为 ，
所以 的取值范围是 ，
所以ABC 选项符合， D选项不符合.
故选 : ABC.

11.答案：

解析：设棱长为2的正方体的内切球的半径为r，

则，解得.设所求的小正方体的棱长为a，则，

所以，所以小正方体体积的最大值为.

12.答案：

解析：如图所示：过点做，则为线段靠近的四等分点且（或其补角）即为直线与所成角．

不妨设，在中，，，，所以，即直线与所成角的余弦值为．

故答案为：．

13.答案：

解析：平面ABCD，平面ABCD，.边上存在点M，使，且，平面PAM.平面PAM，，以AD为直径的圆和BC相交.，圆的半径为.点M是唯一的，和以AD的中点为圆心，半径为的圆相切，，即.

14.答案：

解析：平面平面ABC，，，，.由等角定理得，，，.又，，，.

15.答案：

解析：

16.答案：(1)见解析

(2)所求的角为60°.

解析：(1)因为，，AB，平面ABP，，

所以平面ABP

又平面ABP，所以

(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

由题意得，，，，

故，，.

设是平面AEG的一个法向量，

由可得

取，可得平面AEG的一个法向量.

设是平面ACG的一个法向量，

由可得

取，可得平面ACG的一个法向量.

所以

故所求的角为60°.

17.答案：当点F是CD的中点时，平面

解析：平面，平面，平面，

，.

连接DE.，，

平面，.

四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，

当且仅当F是CD的中点时，，

即当点F是CD的中点时，平面.

18.答案：（1）见解析(2)

解析： （1）证明：作交于M.

∵点F为中点，

∴.

 ∵，∴，

∴为平行四边形，∴，

∵，

∴直线平面.

(2).，.

如图所示，建立坐标系，

则,，，

∴，.

设平面的一个法向量为.

∵，，

∴，

取，则，

∴平面的一个法向量为

设向量∵，

∴，

∴平面所成角的正弦值为.

19.答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)证明：因为，平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB.

因为平面PCD，平面平面，

所以.

(2)解：，

平面PAB，所以C，D两点到平面PAB的距离相等.

由条件易得平面PAB且

.