湘教版（2019）必修 第一册第1章 集合与逻辑1.2 常用逻辑用语精练

课时跟踪检测(六)　充分条件和必要条件

[A级　基础巩固]

1．“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的(　　)

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分又不必要条件

解析：选A　若x＝1，则x2－4x＋3＝0，是充分条件，

若x2－4x＋3＝0，则x＝1或x＝3，不是必要条件．故选A.

2．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分又不必要条件

解析：选B　由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，

反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.

∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B.

3．(2021·苏州高一月考)如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分又不必要条件

解析：选B　根据题意列出A，B，C，D的关系如图，

 显然有D⇒C⇒B⇒A，即D⇒A；但AD.故选B.

4．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．“方程ax2＋x＋1＝0有实数根”是“a<0 ”的必要不充分条件

B．已知p：1<x<2，q：≥1，则p是q的充分不必要条件

C．“a<0 ”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

D．当x∈R时，y＝kx2－kx＋1的图象恒在x轴上方，则k的取值范围是(0，4)

解析：选AB　对于A，由方程ax2＋x＋1＝0有实数根，可得a＝0或所以a≤，故选项A的说法正确；

对于B，当1<x<2时， ≥1成立；当≥1时，解得x≥0，所以p是q的充分不必要条件，故选项B的说法正确；

对于C，若方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根，

则Δ＝1－4a>0，x1x2＝a<0⇒a<0，所以“a<0”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充要条件，故选项C的说法错误；

对于D，若当x∈R时，y＝kx2－kx＋1的图象恒在x轴上方，则当k＝0时，不等式化为1>0恒成立，故k＝0符合题意；当k≠0时，只要解得0<k<4，

则实数k的取值范围是[0，4)，故选项D的说法错误，故选A、B.

5．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是(　　)

A．a≥b＋1  B．a>b－1

C．a2>b2  D．a3>b3

解析：选A　由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1⇒a>b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4>3.5/⇒4≥3.5＋1，故a>b/⇒a≥b＋1，故A正确．

6．“x<5”是“x<3”的________________条件．

解析：设A＝{x|x<5}，{B＝{x|x<3}，

因为AB，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．

答案：必要不充分

7．已知集合A＝{x|－1<x<3}，集合B＝{x|x<m＋1}，若m是满足A∩B＝∅的一个充分不必要条件，则m可以为________．

解析：因为集合A＝{x|－1<x<3}，

集合B＝{x|x<m＋1}，

所以A∩B＝∅⇔m＋1≤－1，即m≤－2，

则m<－2.

答案：(－∞，－2)(答案不唯一)

8．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.

答案：{a|a<1}

9．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

(1)p：x2>0，q：x>0；

(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；

(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除；

(4)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等．

解：(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．

(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y，且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．

(3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(4)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．

10．求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．

解：⇔⇔

⇔

所以两方程有一个公共实根的充要条件为k＝－2.

[B级　综合运用]

11．(多选)给出下列四个条件：

①xt2＞yt2；②xt＞yt；③x2＞y2；④0＜＜.

其中能成为x>y的充分条件的有(　　)

A．①  B．②

C．③  D．④

解析：选AD　①由xt2＞yt2可知t2＞0，所以x＞y，故xt2＞yt2⇒x＞y；

②当t＞0时，x＞y，当t＜0时，x＜y，故xt＞yt x＞y；

③由x2＞y2，得|x|＞|y|，故x2＞y2 x＞y；

④由0＜＜⇒x＞y.故选A、D.

12．一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是(　　)

A．m>0，n>0  B．mn<0

C．m<0，n<0  D．mn>0

解析：选D　因为一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限，所以－<0，且>0，解得m>

0，n>0.故由一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限可以推出mn>0.而由mn>0不一定能得到一次函数y＝－x＋的图象经过第一、二、四象限，所以mn>0是一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件．

13．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．

解析：p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.

q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；

当a≠0时，x＝－.

由题意知p q，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝.

综上可知，a＝－或a＝.

答案：－或

14．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.

证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0.

两式相减，得x0＝，将此式代入x＋2ax0＋b2＝0，

可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.

充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①

将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，

可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.

将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，

可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，

即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.

故两方程有公共根x＝－(a＋c)．

∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.

[C级　拓展探究]

15．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．

解：“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：

当a，b，c∈R，a≠0时，

若a－b＋c＝0，则x＝－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，

故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，

若二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，则a－b＋c＝0，

故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，

综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．