必修第一册章末检测：第一章　集合与逻辑+Word版含解析

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章末检测(一)　集合与逻辑
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知命题p：∃x>1，x2－4<0，则綈p是(　　)
A．∃x>1，x2－4≥0　　　 B．∃x≤1，x2－4<0
C．∀x≤1，x2－4≥0 D．∀x>1，x2－4≥0
解析：选D　命题是特称命题，则否定是全称命题，即∀x>1，x2－4≥0，故选D.
2．已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{－2，2}，下列结论成立的是(　　)
A．N⊆M B．M∪N＝M
C．M∩N＝N D．M∩N＝{2}
解析：选D　∵－2∈N，但－2∉M，∴A、B、C三个选项均错误．
3．满足条件M∪{a}＝{a，b}的集合M的个数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选C　因为M∪{a}＝{a，b}，所以M⊆{a，b}且b∈M，所以M可能为{b}或{a，b}，共2个．
4．已知全集U＝R，设集合A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|x≥2}，则A∩(∁UB)＝(　　)
A．{x|1≤x≤2} B．{x|1 C．{x|1 解析：选D　∵B＝{x|x≥2}，∴∁UB＝{x|x<2}．
又A＝{x|x≥1}，∴A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}．
5．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，x－a≥0，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a<1} B．{a|a>3}
C．{a|a≤1} D．{a|a≥3}
解析：选C　由p是真命题，可知a≤(x)min，因为1≤x≤3，因此a≤1，故选C.
6．已知非空集合M，P，则M⃘P的充要条件是(　　)
A．∀x∈M，x∉P
B．∀x∈P，x∈M
C．∃x1∈M，x1∈P且x2∈M，x2∉P
D．∃x∈M，x∉P
解析：选D　由M⃘P，可得集合M中存在元素不在集合P中，所以M⃘P的充要条件是∃x∈M，x∉P.故选D.
7．已知条件p：4x－m＜0，q：1≤3－x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　)
A．{m|m≥8} B．{m|m＞8}
C．{m|m＞－4} D．{m|m≥－4}
解析：选B　由4x－m＜0，得x＜.由1≤3－x≤4，得－1≤x≤2.∵p是q的一个必要不充分条件，∴＞2，即m＞8，故选B.
8．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为(　　)

解析：选A　如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．下列四个命题中的假命题为(　　)
A．∃x∈N，1<4x<3
B．∃x∈Z，5x－1＝0
C．∀x∈Q，x2－1＝0
D．∀x∈R，x2＋x＋2>0
解析：选ABC　由1<4x<3得0恒成立，因此选项D中命题为真命题．故选A、B、C.
10．集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是(　　)

A．ST B．T∁US
C．F∁US D．T∁UF
解析：选AC　由题图知S是T的子集，S与F无公共元素，则A、C正确．
11．定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则(　　)
A．当x＝，y＝时，z＝1
B．x可取两个值，y可取两个值，z＝(x＋y)×(x－y)有4个式子
C．A⊗B中有3个元素
D．A⊗B中所有元素之和为3
解析：选BCD　当x＝，y＝时，z＝(＋)×(－)＝0，A错误；由于A＝{，}，B＝{1，}，则z有(＋1)×(－1)＝1，(＋)×(－)＝0，(＋1)×(－1)＝2，(＋)×(－)＝1四个式子，B正确；由集合中元素的互异性，得集合A⊗B有3个元素，元素之和为3，C、D正确．
12．下列说法中正确的是(　　)
A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件
B．命题p：∀x∈R，x2>0，则綈p：∃x∈R，x2<0
C．命题“若a>b>0则<”的否定是假命题
D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件
解析：选AC　对于选项A，a>1，b>1时，易得ab>1故A正确；对于选项B，全称命题的否定为特称命题，所以命题p：∀x∈R，x2>0的否定为綈p：∃x∈R，x2≤0，故B错误；对于选项C，其否定为“若a>b>0，则≥”，当a＝2，b＝1时，显然为假命题，故C正确；对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．命题“同位角相等”的否定为________________．
解析：全称命题的否定是特称命题．
答案：有的同位角不相等
14．已知集合A＝{7，2m－1}，B＝{7，m2}，若A＝B，则实数m＝________．
解析：若A＝B，则m2＝2m－1，即m2－2m＋1＝0，即m＝1.
答案：1
15．若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，则a的取值范围是________．
解析：若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，
则{x|x≤a}{x|x<－1}，
∴a<－1.
答案：{a|a<－1}
16．已知集合A＝{x|－3 (1)A∩M＝________；
(2)若B∪(∁UM)＝R，则实数b的取值范围为________．
解析：(1)因为A＝{x|－3 所以A∩M＝{x|－3 (2)因为M＝{x|－4≤x<5}，
所以∁UM＝{x|x<－4或x≥5}，
又B＝{x|b－3 所以解得－2≤b<－1.
所以实数b的取值范围是{b|－2≤b<－1}．
答案：(1){x|－3 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定，并判断真假．
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；
(3)三角形的三个内角都为60°；
(4)存在三角形至少有两个锐角．
解：(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除，假命题．
(2)是全称命题，否定为：∃x∈Z，x2与3的和等于0，假命题．
(3)是全称命题，否定为：存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题．
(4)是特称命题，否定为：每个三角形至多有一个锐角，假命题．
18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－5x－6≤0}，B＝{x|(x－m)(x－m－6)≤0}，其中m∈R.
(1)当m＝2时，求A∪B；
(2)若“x∈A”是“x∈∁RB”的充分条件，求m的取值范围．
解：A＝{x|x2－5x－6≤0}＝{x|－1≤x≤6}，
B＝{x|m≤x≤m＋6}，
(1)当m＝2时， B＝{x|2≤x≤8}，
所以A∪B＝{x|－1≤x≤8}．
(2)因为“x∈A”是“x∈∁RB”的充分条件，
所以A⊆∁RB，
又∁RB＝{x|xm＋6}，
所以m>6或m＋6<－1，即m>6或m<－7，
所以实数m的取值范围为(－∞，－7)∪(6，＋∞)．
19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－ax＋3＝0，a∈R}．
(1)若1∈A，求实数a的值；
(2)若集合B＝{x|2x2－bx＋b＝0，b∈R}，且A∩B＝{3}，求A∪B.
解：(1)∵1∈A，∴1－a＋3＝0，∴a＝4.
(2)∵A∩B＝{3}，∴3∈A，3∈B，
∴解得
∴A＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，
B＝{x|2x2－9x＋9＝0}＝，
∴A∪B＝.
20．(本小题满分12分)设命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0，若p，q都为真命题，求实数m的取值范围．
解：若命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题，则Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4；
若命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0为真命题，则Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)<0，解得m>.
又p，q都为真命题，所以实数m的取值范围是{m|m≤4}∩＝.
21．(本小题满分12分)在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B＝∅，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．
问题：已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，B＝{x|－1≤x≤3}．
(1)当a＝2时，求A∪B；
(2)若________，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)当a＝2时，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|－1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤3}．
(2)若选择①A∪B＝B，则AB，
因为A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，所以A≠∅，
又B＝{x|－1≤x≤3}，
所以解得0≤a≤2，
所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}．
若选择②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则AB，
因为A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，所以A≠∅，
又B＝{x|－1≤x≤3}，
所以解得0≤a≤2，
所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}．
若选择③，A∩B＝∅，
因为A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，B＝{x|－1≤x≤3}，
所以a－1>3或a＋1<－1，
解得a>4或a<－2.
所以实数a的取值范围是{a|a>4或a<－2}．
22．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．
(1)当a＝3时，求A∩B；
(2)若“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，且A≠∅，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝3时，A＝{x|－1≤x≤5}，
又B＝{x|x≤1或x≥4}，
∴A∩B＝{x|－1≤x≤1或4≤x≤5}．
(2)∵B＝{x|x≤1或x≥4}，
∴∁RB＝{x|1 由“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，
得A∁RB，
又A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，A≠∅，
∴∴0≤a<1.
∴a的取值范围是{a|0≤a<1}．