高中数学第2章 一元二次函数、方程和不等式2.1 相等关系与不等关系第一课时同步练习题

课时跟踪检测(八)　不等关系与大小比较

[A级　基础巩固]

1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示(　　)

A．v≤120(km/h)或d≥10 (m)

B.

C．v≤120(km/h)

D．d≥10(m)

解析：选B　最大限速与车距是同时的，故选B.

2．不等式a2＋b2≥2|ab|成立时，a，b一定是(　　)

A．正数　　　　　　　 B．非负数

C．实数  D．不存在

解析：选C　原不等式可变形为a2＋b2－2|ab|＝|a|2＋|b|2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，对任意实数都成立．

3．若x∈R，y∈R则(　　)

A．x2＋y2＞2xy－1  B．x2＋y2＝2xy－1

C．x2＋y2＜2xy－1  D．x2＋y2≤2xy－1

解析：选A　因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1＞0，所以x2＋y2＞2xy－1，故选A.

4．实数x，y，z满足x＋y＋z＝0，xyz＞0，若T＝＋＋，则(　　)

A．T＞0  B．T＜0

C．T＝0  D．T≥0

解析：选B　因为x＋y＋z＝0且xyz＞0，不妨设x＞0，则y＜0，z＜0，则T＝＋＋＝＝＝.因为x＞0，z＜0，所以xz＜0.又－y2＜0，所以－y2＋xz＜0.又xyz＞0，所以T＜0.故选B.

5．(多选)下面列出的几种不等关系中，正确的为(　　)

A．x与2的和是非负数，可表示为“x＋2＞0”

B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮，可表示为“x＞y”

C．△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a＋b＞c且b＋c＞a”

D．若某天的温度为t，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃”

解析：选CD　对于A中，x与2的和是非负数，应表示为“x＋2≥0”，故A错误；对于B中，小明比小华矮，应表示为“x＜y”，故B错误；对于C中，根据三角形的性质，两边之和大于第三边，所以C正确；对于D中，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃”，所以D正确．故选C、D.

6．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．

解析：x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，所以x＜y.

答案：x＜y

7．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．

解析：由题意知，汽车原来每天行驶x km，如果它每天行驶的路程比原来多19 km，那么8天内它的行程超过2 200 km, 则8 (x＋19)＞2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即＞9.

答案：8(x＋19)＞2 200　＞9

8．已知a，b，x均为正数，且a＞b，则________.(填“＞”“＜”或“＝”)

解析：－＝＝.

因为a＞0，a＞b，x＞0，所以x＋a＞0，b－a＜0，

所以＜0，所以＜.

答案：＜

9．有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数．

解：设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，依题意，

解得＜x＜.

∵x∈N＋，∴x＝10，11或12.学生人数分别为59，63，67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人．

10．(1)已知a，b∈R，a＋b>0，试比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小；

(2)已知a≥1，试比较M＝－和N＝－的大小．

解：(1)因为a＋b>0，(a－b)2≥0，

所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)(a－b)(a＋b)＝(a－b)2(a＋b)≥0，

所以a3＋b3≥ab2＋a2b.

(2)因为a≥1，

所以M＝－>0，N＝－>0.

所以＝＝ .

因为＋>＋>0，

所以<1，所以M<N.

[B级　综合运用]

11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(　　)

A．h2＞h1＞h4  B．h1＞h2＞h3

C．h3＞h2＞h4  D．h2＞h4＞h1

解析：选A　根据四个杯的形状分析易知h2＞h1＞h4或h2＞h3＞h4.

12．若p＝－，q＝－，其中a≥0，则p，q的大小关系是(　　)

A．p＜q  B．p＝q

C．p＞q  D．不确定

解析：选A　由题意知p－q＝＋－(＋)．∵(＋)2－(＋)2＝2－2，

且(a＋3)(a＋6)－(a＋4)(a＋5)＝－2＜0，a≥0，

∴2－2＜0，

即(＋)2－(＋)2＜0，

∴p－q＝＋－(＋)＜0，故p＜q.

13．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.

解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]

＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4

＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0，

故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4.

答案：＞

14．已知0<a<b且a＋b＝1，试比较：

(1)a2＋b2与b的大小；

(2)2ab与的大小．

解：(1)因为0<a<b且a＋b＝1，所以0<a<<b，

则a2＋b2－b＝a2＋b(b－1)＝a2－ab＝a(a－b)<0，

所以a2＋b2<b.

(2)因为2ab－＝2a(1－a)－

＝－2a2＋2a－＝－2＝－2<0，

所以2ab<.

[C级　拓展探究]

15．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．哪种购物方式比较经济？你能把所得结论作一些推广吗？

解：不妨设第一次购物时的价格为p1元/个，第二次购物时的价格为p2元/个．

设按第一种策略购物，每次购n个，则两次购物的平均价格为＝(元/个)．

设按第二种策略购物，第一次花m元钱，则能购买个物品，由题意知第二次仍花m元钱，能购买个物品，故两次购物的平均价格为＝(元/个)．

比较两次购物的平均价格：－＝－＝＝≥0.

所以第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，因此，用第二种策略比较经济．

推广：一般地，如果是多次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济．