高中数学湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.2 函数的基本性质第二课时课后测评

课时跟踪检测(十九)　函数的最大(小)值

[A级　基础巩固]

1．函数f(x)＝的最大值为(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C.  D．

解析：选B　当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上可得，f(x)的最大值为2，故选B.

2．(2021·聊城高一检测)已知函数y＝(k≠0)在[3，8]上的最大值为1，则k的值为(　　)

A．1  B．－6

C．1或－6  D．6

解析：选A　当k>0时，函数y＝在[3，8]上单调递减，∵函数在[3，8]上的最大值为1，∴＝1，∴k＝1；

当k<0时，函数y＝在[3，8]上单调递增，∵函数在[3，8]上的最大值为1，∴＝1，∴k＝6(舍去)．故选A.

3．设函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选D　易知f(x)＝＝2＋，所以f(x)在区间[3，4]上单调递减，所以M＝f(3)＝2＋＝6，m＝f(4)＝2＋＝4，所以＝＝.

4．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]  B．(－∞，2)

C．(2，＋∞)  D．[2，＋∞)

解析：选A　由题意，当x>0时，f(x)的最小值为f(1)＝2；当x≤0时，f(x)的最小值为f(0)＝a.若f(0)是f(x)的最小值，则a≤2.

5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1]  B．(－∞，0]

C．(－∞，0)  D．(0，＋∞)

解析：选C　a<－x2＋2x恒成立，则a小于函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[0，2]的最小值，而f(x)＝－x2＋2x，x∈[0，2]的最小值为0，故a<0.

6．函数y＝－，x∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________．

解析：易证函数y＝－在[－3，－1]上为增函数，所以ymin＝，ymax＝1，所以ymax－ymin＝1－＝.

答案：

7．函数y＝f(x)的定义域为[－4，6]，若函数f(x)在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2，6]上单调递增，且f(－4)<f(6)，则函数f(x)的最小值是________，最大值是________．

解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f(x)min＝f(－2)，f(x)max＝f(6)．

答案：f(－2)　f(6)

8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌汽车，销售x辆该品牌汽车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为________万元．

解析：设该公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－＋30＋，所以当x＝9或10时，L最大为120万元．

答案：120

9．已知函数f(x)＝.

(1)用定义证明f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增；

(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值与最小值．

解：(1)证明：设x1和x2是区间[1，＋∞)上任意两个实数，且x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝－＝.

∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

故函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．

(2)由(1)知函数f(x)在区间[2，4]上单调递增，

∴f(x)max＝f(4)＝＝，f(x)min＝f(2)＝＝.

10．已知函数f＝x2－x－2.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)对任意的x∈，f(x)≥x＋ax－恒成立，求实数a的取值范围．

解：(1)令t＝x－1，则x＝2t＋2，

∴f(t)＝(2t＋2)2－(2t＋2)－2＝4t2＋7t＋1，

∴f(x)＝4x2＋7x＋1.

(2)由f(x)≥x＋ax－，得(4x2＋7x＋1)≥x＋ax－，

即ax≤2x2＋3x＋2.

∵x∈，∴a≤2＋3，

令g(x)＝2＋3，x∈，

则a≤g(x)min，

又x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝1时等号成立，∴g(x)min＝2×2＋3＝7，

∴a≤7，

故实数a的取值范围是(－∞，7]．

[B级　综合运用]

11．(多选)已知函数f(x)＝其中M，N为非空集合，且满足M∪N＝R，则下列结论中不正确的是(　　)

A．函数f(x)一定存在最大值

B．函数f(x)一定存在最小值

C．函数f(x)一定不存在最大值

D．函数f(x)一定不存在最小值

解析：选ABD　∵函数f(x)＝其中M，N为非空集合，且满足M∪N＝R，∴若M＝(0，＋∞)，N＝(－∞，0]，则f(x)的最小值为0，故D错误；若M＝(－∞，0)，N＝[0，＋∞)，则f(x)无最小值，故B错误；由M∪N＝R，可得图象无限上升，则f(x)无最大值，故A错误，C正确．

12．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　)

A．与a有关，且与b有关

B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关

D．与a无关，但与b有关

解析：选B　f(x)＝－＋b，①当0≤－≤1时，f(x)min＝m＝f＝－＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b，1＋a＋b}，故M－m＝max与a有关，与b无关；②当－<0时，f(x)在[0，1]上单调递增，故M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a，与a有关，与b无关；③当－>1时，f(x)在[0，1]上单调递减，故M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a，与a有关，与b无关．综上所述，M－m与a有关，但与b无关．

13．已知函数f(x)＝x2＋ax＋2(a>0)在区间[0，2]上的最大值等于8，则a＝________，函数y＝f(x)在区间[－2，1]上的值域为________．

解析：由题知函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－<0，故f(x)max＝f(2)＝6＋2a＝8，所以a＝1，则f(x)＝x2＋x＋2＝＋.因为f(x)的对称轴为直线x＝－∈[－2，1]且f＝，f(－2)＝4，f(1)＝4，所以所求值域为.

答案：1　

14．现有三个条件：①对任意的x∈R都有f(x＋1)－f(x)＝2x－2；②不等式f(x)＜0的解集为{x|1＜x＜2}；③函数y＝f(x)的图象过点(3，2)．请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解．

已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且满足_________(填所选条件的序号)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设g(x)＝f(x)－mx，若函数g(x)在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解：(1)条件①：因为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

所以f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b＝2x－2，

即2(a－1)x＋a＋b＋2＝0对任意的x恒成立，

所以解得

条件②：因为不等式f(x)＜0的解集为{x|1＜x＜2}，

所以解得且a＞0，

条件③：函数y＝f(x)的图象过点(3，2)，所以9a＋3b＋c＝2.

若选择条件①②：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f(x)＝x2－3x＋2；

若选择条件①③：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f(x)＝x2－3x＋2；

若选择条件②③：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f(x)＝x2－3x＋2.

(2)由(1)知g(x)＝x2－(m＋3)x＋2，其对称轴为x＝，

①当≤1，即m≤－1时，g(x)min＝g(1)＝3－(m＋3)＝－m＝3，解得m＝－3，

②当≥2，即m≥1时，g(x)min＝g(2)＝6－(2m＋6)＝－2m＝3，解得m＝－(舍)，

③当1<<2，即－1＜m＜1时，g(x)min＝g＝－＋2＝3，无解．

综上所述，所求实数m的值为－3.

[C级　拓展探究]

15．请先阅读下列材料，然后回答问题：

对于问题“已知函数f(x)＝，问函数f(x)是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由”，一个同学给出了如下解答：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4，当x＝1时，u有最大值，umax＝4，显然u没有最小值．故当x＝1时，f(x)有最小值，没有最大值．

(1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；

(2)试研究函数y＝的最值情况；

(3)对于函数f(x)＝(a>0)，试研究其最值情况．

解：(1)不正确．没有考虑到u还可以小于0.正确解答如下：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4，易知u≠0，当0<u≤4时，≥，即f(x)≥；

当u<0时，<0，即f(x)<0.

∴f(x)<0或f(x)≥，即f(x)既无最大值，也无最小值．

(2)∵x2＋x＋2＝＋≥，∴0<y≤，

∴函数y＝的最大值为，而无最小值．

(3)对于函数f(x)＝(a>0)，令u＝ax2＋bx＋c，

①当Δ>0时，u有最小值，umin＝<0；

当≤u<0时，≤，即f(x)≤；

当u>0时，f(x)>0.

∴f(x)>0或f(x)≤，即f(x)既无最大值也无最小值．

②当Δ＝0时，u有最小值，umin＝＝0，结合f(x)＝知u≠0，∴u>0，此时>0，即f(x)>0，f(x)既无最大值也无最小值．

③当Δ<0时，u有最小值，umin＝>0，即u≥>0，

∴0<≤，即0<f(x)≤，

∴当x＝－时，f(x)有最大值，没有最小值．

综上，当Δ≥0时，f(x)既无最大值，也无最小值；

当Δ<0时，f(x)有最大值，此时x＝－，没有最小值．