湘教版（2019）4.1 实数指数幂和幂函数课堂检测

课时跟踪检测(二十四)　幂函数

[A级　基础巩固]

1．若f(x)是幂函数，且满足＝4，则f＝(　　)

A．－4　　　　　　　　　 B．4

C．－  D．

解析：选D　设f(x)＝xα，则f(4)＝4α＝22α，f(2)＝2α.

∵＝＝2α＝4＝22，

∴α＝2，∴f(x)＝x2，

∴f＝＝，故选D.

2．(多选)已知幂函数f(x)＝x(m，n∈N＋，m，n互质)，下列关于f(x)的结论正确的是(　　)

A．m，n是奇数时，f(x)是奇函数

B．m是偶数，n是奇数时，f(x)是偶函数

C．m是奇数，n是偶数时，f(x)是偶函数

D．0<<1时，f(x)在(0，＋∞)上是减函数

解析：选AB　f(x)＝x＝，当m，n是奇数时，f(x)是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数时，f(x)是偶函数，故B中的结论正确；当m是奇数，n是偶数时，f(x)在x<0时无意义，故C中的结论错误；当0<<1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故D中的结论错误．故选A、B.

3．若幂函数y＝f(x)的图象经过点(－2，4)，则f(x)在定义域内(　　)

A．为增函数  B．为减函数

C．有最小值  D．有最大值

解析：选C　设幂函数f(x)＝xα，由f(－2)＝4，得(－2)α＝4，所以α＝2，即f(x)＝x2，所以函数f(x)在定义域内有最小值0.故选C.

4.如图所示，曲线C1和C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)

A．n<m<0

B．m<n<0

C．n>m>0

D．m>n>0

解析：选A　由题中图象可知，两函数在第一象限内单调递减，故m<0，n<0.由幂函数图象的特点知n<m，故n<m<0.

5．已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(　　)

A．(0，1]∪[2，＋∞)  B．(0，1]∪[3，＋∞)

C．(0， ]∪[2，＋∞)  D．(0， ]∪[3，＋∞)

解析：选B　当0<m≤1时，≥1，y＝(mx－1)2在[0，1]上单调递减，值域为[(m－1)2，1]；y＝＋m在[0，1]上单调递增，值域为[m，1＋m]，此时两个函数图象有且仅有一个交点．当m>1时，0<<1，y＝(mx－1)2在上单调递增，所以要与y＝＋m的图象有且仅有一个交点，需(m－1)2≥1＋m，即m≥3.综上所述，0<m≤1或m≥3.故选B.

6．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：

则f(x)的单调递增区间是________．

解析：因为f＝，所以＝，即α＝，所以f(x)＝x的单调递增区间是[0，＋∞)．

答案：[0，＋∞)

7．已知y＝(2a＋b)xa＋b＋(a－2b)是幂函数，则a＝________，b＝________．

解析：由题意得解得

答案：　

8．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋1)xm2－4m＋1的图象不经过原点，则实数m的值为________．

解析：依题意得m2－3m＋1＝1，解得m＝0或m＝3.当m＝0时，f(x)＝x，其图象经过原点，不符合题意；当m＝3时，f(x)＝x－2，其图象不经过原点，符合题意，因此实数m的值为3.

答案：3

9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．

解：(1)若函数f(x)为正比例函数，则

∴m＝1.

(2)若函数f(x)为反比例函数，则

∴m＝－1.

(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，

∴m＝－1±.

10．比较下列各组数的大小：

(1)3－和3.2－；

(2)和；

(3)4.1和3.8－.

解：(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3－＞3.2－.

(2)＝，＝，函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，而＞，所以＞.

(3)4.1＞1＝1，0＜3.8＜1＝1，

所以4.1＞3.8.

[B级　综合运用]

11．已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x)<x，则α的取值范围是(　　)

A．(0，1)  B．(－∞，1)

C．(0，＋∞)  D．(－∞，0)

解析：选B　当x>1时，恒有f(x)<x，即x>1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象(图略)．由图象可知α<1时满足题意，故选B.

12．(多选)(2021·山东日照高一校际联考)已知函数f(x)＝xa的图象经过点(4，2)，则(　　)

A．函数f(x)在定义域内为增函数

B．函数f(x)为偶函数

C．当x>1时，f(x)>1

D．当0<x1<x2时，<f

解析：选ACD　由题意得4a＝2，解得a＝，所以f(x)＝x＝.易得函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且为非奇非偶函数，故A正确，B错误；当x>1时，f(x)＝>1，故C正确；由函数图象(图略)，易知f(x)＝为“上凸函数”，故D正确．故选A、C、D.

13．有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：

(1)是偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上单调递增．

如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号)．

解析：对于函数①，f(x)＝x－1是一个奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②，f(x)＝x－2是一个偶函数，其值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件．

答案：②

14．已知幂函数f(x)＝(2m2－6m＋5)xm＋1为偶函数．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若函数y＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间(2，3)上为单调函数，求实数a的取值范围．

解：(1)由f(x)为幂函数知2m2－6m＋5＝1，即m2－3m＋2＝0，得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x2，是偶函数，符合题意；

当m＝2时，f(x)＝x3，为奇函数，不合题意，舍去．

故f(x)＝x2.

(2)由(1)得y＝x2－2(a－1)x＋1，函数的对称轴为x＝a－1，由题意知函数在区间(2，3)上为单调函数，

∴a－1≤2或a－1≥3，相应解得a≤3或a≥4.

故实数a的取值范围为(－∞，3]∪[4，＋∞)．

[C级　拓展探究]

15．已知幂函数f(x)＝x(m∈N＋)．

(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．

解：(1)∵m∈N＋，

∴m2＋m＝m(m＋1)为偶数．

令m2＋m＝2k，k∈N＋，

则f(x)＝，

∴f(x)的定义域为[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数．

(2)由题意可得＝2＝2，∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2(舍去)，

∴f(x)＝x，

由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，

∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，解得1≤a<，故实数a的取值范围为.