2021学年5.2 任意角的三角函数第一课时同步训练题

课时跟踪检测(四十一)　诱导公式一至四

[A级　基础巩固]

1．(2021·北京西城高一质检)sin的值是(　　)

A.　　　　　　　　 B．－

C.  D．－

解析：选D　由题意可得sin＝－sin＝－.故选D.

2．化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的结果为(　　)

A．1  B．2sin2α

C．0  D．2

解析：选D　原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.

3．(2021·安徽安庆一中高一月考)若点P(x，y)是330°角终边上异于原点的任意一点，则的值是(　　)

A.  B．－

C．－  D．

解析：选C　依题意得＝tan 330°，又tan 330°＝tan(360°－30°)＝－tan 30°＝－，∴＝－，故选C.

4．(多选)下列化简正确的是(　　)

A．tan(π＋1)＝tan 1  B．＝cos α

C.＝tan α  D．＝1

解析：选AB　A正确；B正确，＝＝cos α；C错，＝＝－tan α；D错，＝＝－1.

5．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．b＞a＞c  B．a＞b＞c

C．b＞c＞a  D．a＞c＞b

解析：选A　∵a＝tan＝－tan

＝－tan＝－，

b＝cos＝cos＝cos＝，

c＝sin＝－sin

＝－sin＝－，

∴b＞a＞c.

6．sin的值等于________．

解析：sin＝sin＝sin＝－sin＝－.

答案：－

7．已知sin(45°＋α)＝，则sin(225°＋α)＝________．

解析：sin(225°＋α)＝sin[(45°＋α)＋180°]

＝－sin(45°＋α)＝－.

答案：－

8．若k为整数，则sincos＝________．

解析：分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论．

①当k＝2n(n∈Z)时，原式＝sin·cos＝－sinπcos＝－sincos＝－×＝－；

②当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin·cos＝sincos＝sin(－cos)＝×＝－.

所以sincos＝－(k∈Z)．

答案：－

9．化简与计算：

(1)；

(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．

解：(1)原式＝＝＝tan θ.

(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)

＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝×＋×＝1.

10．已知 sin(α＋π)＝，且sin αcos α<0, 求 的值．

解：因为sin(α＋π)＝，所以sin α＝－，

又因为sin αcos α<0，

所以cos α>0，cos α＝ ＝，

所以tan α＝－.

所以原式＝

＝＝－.

[B级　综合运用]

11．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，x∈R，且f(2 021)＝3，则f(2 022)的值为(　　)

A．3　　　　　　　　　　 B．4

C．5  D．6

解析：选C　∵f(2 021)＝asin(2 021π＋α)＋bcos(2 021π＋β)＋4＝3，∴asin(2 021π＋α)＋bcos(2 021π＋β)＝－1，∴f(2 022)＝asin(2 021π＋α＋π)＋bcos(2 021π＋β＋π)＋4＝－asin(2 021π＋α)－bcos(2 021π＋β)＋4＝1＋4＝5.

12．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π，则称θ与φ“广义互补”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互补”的是(　　)

A．sin β＝  B．cos(π＋β)＝

C．tan β＝  D．cos(2π－β)＝－

解析：选ABD　∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，

∴sin α＝，若α＋β＝π，则β＝π－α.

A中sin β＝sin＝sin α＝.故A符合条件；B中，cos(π＋β)＝cos＝cos α＝±，故B符合条件；

C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，即C不符合条件；

D中，cos(2π－β)＝cos[2π－(π－α)]＝cos(π＋α)＝－cos α＝±，故D符合条件．故选A、B、D.

13．已知sin(α＋β)＝1，则tan(2α＋β)＋tan β的值为________．

解析：因为sin(α＋β)＝1，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z)，

所以α＝2kπ＋－β(k∈Z)．

故tan(2α＋β)＋tan β＝tan＋tan β

＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4kπ＋π－β)＋tan β

＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0.

答案：0

14．已知sin(π＋α)cos(π－α)＝，且0＜α＜.

(1)求cos α＋sin(α－π)的值；

(2)求tan α的值．

解：(1)因为sin(π＋α)cos(π－α)＝sin αcos α，

且sin(π＋α)cos(π－α)＝，

所以sin αcos α＝.

故(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α

＝1－2sin αcos α＝1－2×＝.

又因为0＜α＜，所以cos α＞sin α，即cos α－sin α＞0，

所以cos α－sin α＝.

所以cos α＋sin(α－π)＝cos α－sin α＝.

(2)法一：由(1)知sin αcos α＝，又因为sin2α＋cos2α＝1，

所以 ＝.

因为0＜α＜，cos α≠0，

所以＝，即tan2α－8tan α＋1＝0, 解得tan α＝4－或tan α＝4＋.

因为0＜α＜，由正切函数线可知，所以0＜tan α＜1，

所以tan α＝4－.

法二：由(1)知

因为0＜α＜，所以cos α＞sin α＞0，

故所以tan α＝＝4－.

[C级　拓展探究]

15．在①4sin(2 021π－α)＝3cos(2 021π＋α)；②sin α＋cos α＝；③α，β的终边关于x轴对称，并且4sin β＝3cos β.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．

已知第四象限角α满足________，求下列各式的值：

(1)；

(2)sin2α＋3sin αcos α.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解：若选择条件①，∵4sin(2 021π－α)＝3cos(2 021π＋α)，

∴4sin α＝－3cos α，

∴tan α＝－.

若选择条件②，∵α是第四象限角，

∴sin α＜0，cos α＞0，

又∵sin α＋cos α＝，∴＋cos2α＝1，

∴cos α＝，sin α＝－，

∴tan α＝－.

若选择条件③，∵α是第四象限角，∴sin α＜0，cos α＞0，

又∵α，β的终边关于x轴对称，

∴sin α＝－sin β，cos α＝cos β.

又∵4sin β＝3cos β，

∴－4sin α＝3cos α，即tan α＝－.

(1)＝＝＝1.

(2)sin2α＋3sin αcos α＝＝＝＝－.