高中数学人教A版（2019）必修第一册 第一章　集合与常用逻辑用语 单元测试

这是一份高中数学人教A版（2019）必修第一册 第一章　集合与常用逻辑用语 单元测试，共10页。
第一章　集合与常用逻辑用语　检测试题一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且y=x2},B={(x,y)|x,y为实数,且y=1-x},则A∩B的元素个数为(　C　)(A)无数个 (B)3(C)2      (D)1解析:联立消去y得x2+x-1=0.因为Δ=12-4×1×(-1)=5>0,所以方程x2+x-1=0有两个不同的实数解,所以方程组有两组解,所以A∩B的元素有2个,故选C.2.已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则∁U(A∪B)等于(　A　)(A){-2,3}    (B){-2,2,3}(C){-2,-1,0,3} (D){-2,-1,0,2,3}解析:由已知得A∪B={-1,0,1,2},所以∁U(A∪B)={-2,3}.故选A.3.a=b是a2=b2的(　A　)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:a=b⇒a2=b2,反之a2=b2⇒a=±b,故a=b是a2=b2的充分不必要条件.4.已知命题p:∀x∈R,x2>0,则(　C　)(A)p为真命题,﹁p:∃x∈R,x2≤0(B)p为真命题,﹁p:∀x∈R,x2≤0(C)p为假命题,﹁p:∃x∈R,x2≤0(D)p为假命题,﹁p:∀x∈R,x2≤0解析:x=0时,命题p的结论不成立,所以命题p为假命题,﹁p:∃x∈R,x2≤0.5.已知三个集合U,A,B之间的关系如图所示,则(∁UB)∩A等于(　C　)(A){3} (B){0,1,2,4,7,8}(C){1,2} (D){1,2,3}解析:由Venn图可知U={0,1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3},B={3,5,6},所以(∁UB)∩A={1,2}.故选C.6.若命题p:∃x,x2≤m为假命题,则实数m的取值集合是(　B　)(A){m|m≤0} (B){m|m<0}(C){m|m≥0} (D){m|m>0}解析:命题﹁p:∀x,x2>m为真命题,只要m<0即可,故m的取值集合是{m|m<0}.7.若x>3是x>m的必要不充分条件,则实数m的取值集合是(　C　)(A){m|m<3} (B){m|m≤3}(C){m|m>3} (D){m|m≥3}解析:x>m⇒x>3,反之不真,故只要m>3即可.8.a+b<4且ab<4是a<2且b<2的(　D　)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:取a=5,b=-5,显然满足a+b<4且ab<4,但不满足a<2且b<2;反之,取a=b=-5,显然满足a<2且b<2,但不满足a+b<4且ab<4.故a+b<4且ab<4是a<2且b<2的既不充分也不必要条件.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对得5分,有选错的得0分,选对但不全的得2分)9.若P={1,2,3,m},Q={m2,3},且满足P∩Q=Q,则m的值为(　ABC　)(A)-1  (B) (C)- (D)解析:由P∩Q=Q,可知Q⊆P,所以m2=1或m2=2或m2=m,解得m=±1或m=±或m=0.经检验m=1时不满足集合中元素的互异性,舍去.所以m=-1或m=±或m=0.故选ABC.10.已知全集U=R,A={x|x>1},B={x|x<m},下列结论正确的是(　CD　)(A)若A∩B=,则m<1(B)若A∪B=R,则m>1(C)若A∪∁RB=A,则m>1(D)若∁UA∩∁UB=,则m>1解析:A∩B=时,m≤1,选项A不正确;A∪B=R时,m≥1,选项B不正确;A∪∁RB=A时,m>1,选项C正确;∁UA∩∁UB=时,m>1,选项D正确.11.下列命题正确的是(　AC　)(A)∀x∈R,|x|≥0(B)∃x∈R,x2+x+1=0(C)∀x∈[-1,1],x2≤4(D)∃x∈N*,x3-x为奇数解析:∀x∈R,|x|≥0,显然正确;x2+x+1=0的判别式Δ=-3,方程x2+x+1=0无实根,故选项B不正确;∀x∈[-1,1],x2≤4,正确;x3-x=(x-1)x(x+1),三个连续整数x-1,x,x+1至少有一个为偶数,故x3-x一定为偶数,选项D不正确.12.下列结论正确的是(　BCD　)(A)=的充要条件是b2=ac(B)方程x2+2x+m=0有实根的充要条件是m≤1(C)a2+b2=2ab的充要条件是a=b(D)a+=-2的充要条件是a=-1解析:=⇒b2=ac,反之,如a=b=0,则b2=ac成立,=不成立,选项A不正确;方程x2+2x+m=0有实根的充要条件是Δ=4-4m≥0,即m≤1,选项B正确;a2+b2=2ab⇔a2+b2-2ab=0⇔(a-b)2=0⇔a=b,选项C正确;a+=-2⇔a2+2a+1=0⇔(a+1)2=0⇔a=-1,选项D正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.命题“∀x∈{x|1≤x≤2},使x2-a≥0”是真命题,则a的取值范围是　　　　　　.解析:命题p:a≤x2在1≤x≤2上恒成立,y=x2在1≤x≤2上的最小值为1,所以a≤1.答案:{a|a≤1}14.命题“∀x∈N,x2>1”的否定为　. 答案:∃x∈N,x2≤1.15.设集合A={x|-1<x≤3},B={2,3,4},则A∩B的子集个数为　　　　. 解析:A={x|-1<x≤3},B={2,3,4},则A∩B={2,3},则A∩B的子集个数为22=4.答案:416.设集合A={x|-1<x<4},B={x|-5<x<},C={x|1-2a<x<2a}.(1)若C=,则实数a的取值范围为　　　; (2)若C≠且C⊆(A∩B),则实数a的取值范围为　　　. 解析:(1)因为C={x|1-2a<x<2a}=,所以1-2a≥2a,所以a≤.(2)因为C={x|1-2a<x<2a}≠,所以1-2a<2a,即a>.因为A={x|-1<x<4},B={x|-5<x<},所以A∩B={x|-1<x<}.因为C⊆(A∩B),所以解得<a≤.答案:(1){a|a≤}　(2){a|<a≤}四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知A={x|-2<x<3},B={x|-3<x≤3},求∁RA,∁R(A∩B),(∁RA)∩B.解:结合数轴,可知∁RA={x|x≤-2或x≥3},又因为A∩B={x|-2<x<3}=A,所以∁R(A∩B)=∁RA={x|x≤-2或x≥3},所以(∁RA)∩B={x|-3<x≤-2或x=3}.18.(本小题满分12分)写出下列命题的否定,并判断真假.(1)正方形都是菱形;(2)∃x∈R,使4x-3>x;(3)∀x∈R,有x+1=2x;(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集.解:(1)命题的否定:正方形不都是菱形,是假命题.(2)命题的否定:∀x∈R,有4x-3≤x.因为当x=2时,4×2-3=5>2,所以“∀x∈R,有4x-3≤x”是假命题.(3)命题的否定:∃x∈R,使x+1≠2x.因为当x=2时,x+1=2+1=3≠2×2,所以“∃x∈R,使x+1≠2x”是真命题.(4)命题的否定:集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集,是假命题.19.(本小题满分12分)集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0},(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.解:(1)由题意得A={1,2}.因为A∩B={2},所以2∈B,代入B中方程,得a2+4a+3=0,所以a=-1或a=-3.当a=-1时,B={-2,2},满足条件;当a=-3时,B={2},也满足条件.综上,a的值为-1或-3.(2)因为A∪B=A,所以B⊆A.①当Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3)<0,即a<-3时,B=满足条件;②当Δ=0,即a=-3时,B={2},满足要求;③当Δ>0,即a>-3时,B=A={1,2}才能满足要求,经检验不可能成立.综上可知a的取值范围是{a|a≤-3}.20.(本小题满分12分)已知命题p:∃x∈R,ax2+2x-1=0为假命题.(1)求实数a的取值集合A;(2)设集合B={x|6m-4<2x-4<2m},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数m的取值集合.解:(1)命题p:∃x∈R,ax2+2x-1=0为假命题,即方程ax2+2x-1=0无实根.若a=0,则x=,不符合题意;若a≠0,则Δ=4+4a<0,解得a<-1.故实数a的取值集合A={a|a<-1}.(2)集合B={x|3m<x<m+2}.“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,等价于集合B是集合A的真子集.若B=,则3m≥m+2,即m≥1,此时集合B是集合A的真子集;若B≠,所以m+2>3m,解得m<1,集合B是集合A的真子集,只要m+2≤-1,即m≤-3.综上可知:实数m的取值集合是{m|m≤-3或m≥1}.21.(本小题满分12分)已知集合A={x|x2-3x+2=0},集合B={x|x2+2ax+a2-4=0}.(1)若a=-3,求A∪B,并写出A∪B的所有子集;(2)是否存在实数a,使得B∩A=B?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.解:(1)集合A={1,2}.a=-3时,x2+2ax+a2-4=0,即x2-6x+5=0,解得x1=1,x2=5,集合B={1,5}.A∪B={1,2,5}.其子集为,{1},{2},{5},{1,2},{1,5},{2,5},{1,2,5}.(2)不存在.理由如下:由x2+2ax+a2-4=0,解得x1=-a-2,x2=-a+2,因为x1≠x2,所以B={-a-2,-a+2}.B∩A=B⇔B⊆A,因为集合A,B都是两个元素的集合,所以只能A=B,所以只能-a-2=1,-a+2=2,该方程组无解,所以不存在实数a,使得B∩A=B.22.(本小题满分12分)已知a,b,c为实数,且a+b+c≠0,证明:a=b=c的充要条件是a3+b3+c3=3abc.证明:(充分性)即a3+b3+c3=3abc⇒a=b=c,由a3+b3+c3-3abc=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-bc-ac+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac).由已知,a+b+c≠0,a3+b3+c3-3abc=0,所以a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,即a=b=c.(必要性)即a=b=c⇒a3+b3+c3=3abc,当a=b=c时,a3+b3+c3=3a3,3abc=3a3,所以a3+b3+c3=3abc.