高中数学人教A版（2019）必修第一册作业：第一章　集合与常用逻辑用语 综合测试

这是一份高中数学人教A版（2019）必修第一册作业：第一章　集合与常用逻辑用语 综合测试，共7页。
第一章综合测试考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列四个关系式：①∈R；②Z∈Q；③0∈∅；④∅⊆{0}，其中正确的个数是(　B　)A．1　　　　　　　　　　 B．2C．3  D．4[解析]　①是实数，可得∈R，②Z是整数集，Q是有理数集，可得Z⊆Q；③0是元素，而∅是不含任何元素的集合，可知0∉∅；④∅是空集，而{0}是集合，那么∅⊆{0}．综上分析可知，①④正确，故选B．2．命题“∀x＞0，x2－2x＋1＞0”的否定是(　A　)A．∃x＞0，x2－2x＋1≤0 B．∀x＞0，x2－2x＋1≤0C．∃x≤0，x2－2x＋1≤0 D．∀x≤0，x2－2x＋1≤0[解析]　含有量词的命题的否定，一改量词将“∀”改为“∃”，二否结论将“＞”改为“≤”，条件不变，故选A．3．设a∈R，则a＞3是|a|＞3的(　D　)A．既不充分也不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．充分不必要条件[解析]　由“a＞3”能推出“|a|＞3”，充分性成立；反之由|a|＞3无法推出a＞3，必要性不成立．故选D．4．已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为(　D　)A．或－  B．－或C．或－或0  D．－或或0[解析]　A＝{－3,2}，∵B⊆A，∴－3∈B或2∈B或B＝∅；∴－3a－1＝0，或2a－1＝0或a＝0．∴a＝－或或0．故选D．5．已知m，n∈R，则“－1＝0”是“m－n＝0”成立的(　A　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]　由－1＝0得＝1，得m＝n，m－n＝0，即充分性成立；当m＝n＝0时，满足m－n＝0，但－1＝0无意义，即必要性不成立，即“－1＝0”是“m－n＝0”成立的充分不必要条件，故选A．6．集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是(　C　)A．9  B．8C．7  D．6[解析]　x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝5；x＝2时，y＝2；x＝3时，y＝－3．所以{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}＝{2,5,6}共3个元素，其真子集的个数为23－1＝7个，故选C．7．命题“∀n∈N，f(n)∈N且f(n)＞n”的否定形式是(　C　)A．∀n∈N，f(n)∉N且f(n)≤n B．∀n∈N，f(n)∉N且f(n)＞nC．∃n∈N，f(n)∉N或f(n)≤n D．∃n∈N，f(n)∉N或f(n)＞n[解析]　命题“∀n∈N，f(n)∈N且f(n)＞n”的否定形式是∃n∈N，f(n)∉N或f(n)≤n，故选C．8．已知全集U＝R，M＝{x|x＜－1}，N＝{x|x(x＋2)＜0}，则图中阴影部分表示的集合是(　A　)A．{x|－1≤x＜0}  B．{x|－1＜x＜0}C．{x|－2＜x＜－1}  D．{x|x＜－1}[解析]　题图中阴影部分为N∩(∁UM)，因为M＝{x|x＜－1}，所以∁UM＝{x|x≥－1}，又N＝{x|x(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜0}，所以N∩(∁UM)＝{x|－1≤x＜0}．故选A．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．下列命题中，是全称量词命题的有(　BC　)A．至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立B．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立C．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立D．存在x使x2＋2x＋1＝0成立[解析]　A和D中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题，B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B、C是全称量词命题．故选BC．10．下列命题中真命题的是(　AB　)A．“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分条件B．“a＞b”是“3a＞3b”的充要条件C．“a＞b”是“|a|＞|b|”的充分条件D．“a＞b”是“ac2≤bc2”的必要条件[解析]　当a＞b＞0时a2＞b2，A正确；B正确；对于C，当a＝1，b＝－2时，满足a＞b，但|a|＜|b|，故C不正确；对于D，“a＞b”与“ac2≤bc2”没有关系，不能相互推出，因此不正确．故选AB．11．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有(　CD　)A．－1  B．0C．1  D．3[解析]　∵M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，∴M∩N＝{1,3}，故选CD．12．设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有(　BCD　)A．A∪B＝B  B．(∁UA)∩B＝∅C．(∁UA)⊆(∁UB)  D．A∪(∁UB)＝U[解析]　由Venn图可知，B，C，D都是充要条件，故选BCD．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知集合A＝{1，a2}，B＝{a，－1}，若A∪B＝{－1，a,1}，则a＝__0__．[解析]　由题意可知解得a＝0．14．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|－3x＋a＝0}，若A∩B≠∅，则a的值为__3或6或9__．[解析]　由题意可知B＝{x|x＝}．若A∩B≠∅，则＝1或＝2或＝3，得a＝3或6或9．15．已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0}，若A中只含有一个元素，则a的值为__0或__；若A的真子集个数是3，则a的范围是__(－∞，0)∪(0，)__．[解析]　集合A中只含一个元素．∴a＝0或，解得a＝0或a＝；∵A的真子集个数是3个，∴ax2－3x＋1＝0有两个实根，∴解得a＜0或0＜a＜．∴a的取值范围是(－∞，0)∪(0，)．16．在下列所示电路图中，下列说法正确的是__(1)(2)(3)__(填序号)．(1)如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；(2)如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；(3)如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；(4)如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．[解析]　(1)A闭合，B亮；而B亮时，A不一定闭合，故A是B的充分不必要条件，因此正确；(2)A闭合，B不一定亮；而B亮，A必须闭合，故A是B的必要不充分条件，因此正确；(3)A闭合，B亮；而B亮，A必闭合，所以A是B的充要条件，因此正确；(4)A闭合，B不一定亮；而B亮，A不一定闭合，所以A是B的既不充分也不必要条件，因此错误．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设全集为R，A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}．(1)求A∪(∁RB)；(2)若C＝{x|a－1≤x≤a＋3}，A∩C＝A，求实数a的取值范围．[解析]　(1)∵全集为R，A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，∴∁RB＝{x|x＜3}．∴A∪(∁RB)＝{x|x＜4}．(2)由A∩C＝A，知A⊆C，由题意知C≠∅，∴解得1≤a≤3．∴实数a的取值范围是{a|1≤a≤3}．18．(本小题满分12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(2)末位是0的实数能被2整除；(3)∃x＞1，x2－2＞0；(4)存在实数没有算术平方根；(5)奇数的平方还是奇数．[解析]　(1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，真命题．(2)命题中省略了全称量词“所有”，是全称量词命题，真命题．(3)命题中含有存在量词“∃”，是存在量词命题，真命题．(4)命题“存在实数没有算术平方根”，是存在量词命题，真命题．(5)命题中省略了全称量词“所有”，是全称量词命题，真命题．19．(本小题满分12分)设集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|－5＜x＜}，C＝{x|1－2a＜x＜2a}．(1)若C＝∅，求实数a的取值范围；(2)若C≠∅且C⊆(A∩B)，求实数a的取值范围．[解析]　(1)因为C＝{x|1－2a＜x＜2a}＝∅，所以1－2a≥2a，所以a≤，即实数a的取值范围是{a|a≤}．(2)因为C＝{x|1－2a＜x＜2a}≠∅，所以1－2a＜2a，即a＞．因为A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|－5＜x＜}，所以A∩B＝{x|－1＜x＜}，因为C⊆(A∩B)，所以解得＜a≤，即实数a的取值范围是{a|＜a≤}．20．(本小题满分12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|4x－1＞x＋2}，B＝{x|－1＜x＜2m－3}．(1)当m＝4时，求(∁UA)∩B；(2)若A∩B恰好包含了两个整数，写出这两个整数构成的集合的所有子集．[解析]　(1)因为全集U＝R，集合A＝{x|4x－1＞x＋2}＝{x|x＞1}，当m＝4时，∁UA＝{x|x≤1}，集合B＝{x|－1＜x＜5}，所以(∁UA)∩B＝{x|－1＜x≤1}．(2)因为A＝{x|4x－1＞x＋2}＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2m－3}．A∩B恰好包含了两个整数，则这两个整数是2,3，则集合{2,3}的所有子集为：∅，{2}，{3}，{2,3}．21．(本小题满分12分)求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－＜m＜0．[解析]　(1)充分性：∵－＜m＜0，∴方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m＞0，且－3m＞0，∴方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根，则有解得－＜m＜0．综合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－＜m＜0．22．(本小题满分12分)(1)已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；(2)已知p：A＝{x|－1≤x≤5}，q：B＝{x|－m＜x＜2m－1}，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．[解析]　(1)p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有或解得m≤3．又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}．(2)因为p是q的充分条件，所以A⊆B，如图：则解得m＞3．所以实数m的取值范围为{m|m＞3}．