高中数学人教A版（2019）必修第一册作业：第二章　一元二次函数、方程和不等式 综合测试

这是一份高中数学人教A版（2019）必修第一册作业：第二章　一元二次函数、方程和不等式 综合测试，共8页。
第二章综合测试
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题正确的是(　D　)
A．若a＞b，则＜ B．若a＞b＞0，c＞d，则a·c＞b·d
C．若a＞b，则a·c2＞b·c2 D．若a·c2＞b·c2，则a＞b
[解析]　由题意，对于选项A中，当a＞0＞b时，此时＞，所以A是错误的；对于选项B中，当0＞c＞d时，此时不等式不一定成立，所以B是错误的；对于选项C中，当c＝0时，不等式不成立，所以C是错误的．
根据不等式的性质，可得若ac2＞bc2时，则a＞b是成立的，所以D是正确的．
2．若集合A＝，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B＝(　C　)
A．{x|－2≤x＜2}　　　　 B．{x|－1＜x≤1}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|－1＜x＜2}
[解析]　由题意，A＝{x|≤0}
＝{x|－2≤x＜1}，B＝{x|－1＜x＜2}，
则A∩B＝{x|－1＜x＜1}．
3．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是(　B　)
A．A≥B B．A＞B
C．A＜B D．A≤B
[解析]　因为a，b都是正实数，且a≠b，
所以A＝＋＞2＝2，即A＞2，
B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2
＝－(x－2)2＋2≤2，
即B≤2，所以A＞B．
4．已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的最大值等于(　B　)
A．10 B．9
C．8 D．7
[解析]　＋＝(＋)(2a＋b)
＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9，
当且仅当a＝b＝时，取得最小值9．所以m≤9．
5．若不等式4x2＋ax＋4＞0的解集为R，则实数a的取值范围是(　D　)
A．{a|－16＜a＜0} B．{a|－16＜a≤0}
C．{a|a＜0} D．{a|－8＜a＜8}
[解析]　不等式4x2＋ax＋4＞0的解集为R，
所以Δ＝a2－4×4×4＜0，解得－8＜a＜8，
所以实数a的取值范围是{a|－8＜a＜8}．
6．当x＞0时，不等式x2－mx＋9＞0恒成立，则实数m的取值范围是(　A　)
A．{m|m＜6} B．{m|m≤6}
C．{m|m≥6} D．{m|m＞6}
[解析]　当x＞0时，不等式x2－mx＋9＞0恒成立⇔当x＞0时，不等式m＜x＋恒成立⇔m＜(x＋)min，当x＞0时，x＋≥2＝6(当且仅当x＝3时取“＝”)，因此(x＋)min＝6，所以m＜6．
7．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＋b＝12，c＝8，则此三角形面积的最大值为(　C　)
A．4 B．4
C．8 D．8
[解析]　由题意，p＝10，
S＝＝≤·＝8，
当且仅当a＝b＝6时取等号，所以此三角形面积的最大值为8．
8．设实数1＜a＜2，关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)＜0的解集为(　B　)
A．{x|3a＜x＜a2＋2} B．{x|a2＋2＜x＜3a}
C．{x|3＜x＜4} D．{x|3＜x＜6}
[解析]　原不等式可化为(x－3a)(x－a2－2)＜0．
∵1＜a＜2，
∴3a＞a2＋2，所以不等式的解集为{x|a2＋2＜x＜3a}．故选B．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，则下列结论正确的是(　BCD　)
A．a＞0 B．b＞0
C．c＞0 D．a＋b＋c＞0
[解析]　因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a＜0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1＜0，－＝＞0，又a＜0，故b＞0，c＞0，故BC正确；由二次函数的图象可知f(1)＝a＋b＋c＞0，f(－1)＝a－b＋c＜0，故D正确，故选BCD．
10．使不等式x2－x－6＜0成立的充分不必要条件是(　AC　)
A．－2＜x＜0 B．－3＜x＜2
C．0＜x＜3 D．－2＜x＜4
[解析]　由x2－x－6＜0得－2＜x＜3，
若使不等式x2－x－6＜0成立的充分不必要条件，则对应范围是{x|－2＜x＜3}的真子集，故选AC．
11．设a，b为非零实数，且a＜b，则下列不等式恒成立的是(　CD　)
A．a2＞ab B．a2＜b2
C．＜ D．a3＜b3
[解析]　对于A，当a＝2，b＝3时，a＜b，但22＜2×3，故A中不等式不恒成立；
对于B，当a＝－2，b＝1时，a＜b，但(－2)2＞12，故B中不等式不恒成立；
对于C，－＝＜0恒成立，故C中不等式恒成立；
对于D，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)[(a＋b)2＋b2]，∵a＜b，∴a－b＜0，又(a＋b)2＋b2＞0，∴a3＜b3，故D中不等式恒成立，故选CD．
12．设a、b是正实数，下列不等式中正确的是(　BD　)
A．＞ B．a＞|a－b|－b
C．a2＋b2＞4ab－3b2 D．ab＋＞2
[解析]　对于A，＞⇒1＞⇒＞，当a＝b＞0时，不等式不成立，故A中不等式错误；对于B，a＋b＞|a－b|⇒a＞|a－b|－b，故B中不等式正确；对于C，a2＋b2＞4ab－3b2⇒a2＋4b2－4ab＞0⇒(a－2b)2＞0，当a＝2b时，不等式不成立，故C中不等式错误；对于D，ab＋≥2＞2，故D中不等式正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．若x∈{x|x＞1}，则y＝3x＋的最小值是__3＋2__．
[解析]　∵x＞1，∴x－1＞0，因此y＝3x＋＝3(x－1)＋＋3≥2＋3＝3＋2，
当且仅当3(x－1)＝，即x＝＋1时取等号，因此y＝3x＋的最小值是3＋2．
14．不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为，则a＝__－6__，c＝__－1__．
[解析]　由题意知a＜0，且不等式对应方程的两个根分别为，，根据根与系数的关系得解得
15．已知命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1＞0为真命题，则实数a的取值范围是__[0,4)__．
[解析]　①当a＝0时，1＞0对∀x∈R恒成立；②当a≠0时，则解得0＜a＜4．
综上所述，实数a的取值范围是[0,4)．
16．已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝1，则＋的最小值为__17__．
[解析]　∵x＞0，y＞0，且4x＋y＝1，则＋＝1＋＋＝1＋(＋)(4x＋y)＝9＋＋≥9＋2＝17．
当且仅当＝，即y＝4x且4x＋y＝1取等号，此时x＝，y＝．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0．
[解析]　(1)因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，
所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b＞1且a＞0．
由根与系数的关系，得解得
(2)由(1)知不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0可化为x2－(2＋c)x＋2c＜0，
即(x－2)(x－c)＜0．
当c＞2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
当c＜2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为∅．
18．(本小题满分12分)(1)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值．
(2)求函数y＝(x＞－1)的最小值．
[解析]　(1)xy＝2x＋y＋6≥2＋6，
令xy＝t2，可得t2－2t－6≥0．
又∵t＞0，解得t≥3，故xy的最小值为18．
(2)设x＋1＝t，则x＝t－1(t＞0)，
∴y＝＝t＋＋5≥2＋5＝9．
当且仅当t＝，即t＝2，且此时x＝1时，取等号，
∴ymin＝9．
19．(本小题满分12分)(2021·天津高一联考)已知关于x的不等式ax2－3x＋2＞0(a＜0)．
(1)当a＝－5时，求此不等式的解集；
(2)求关于x的不等式ax2－3x＋2＞－ax＋5的解集．
[解析]　(1)当a＝－5时，－5x2－3x＋2＞0，
即5x2＋3x－2＜0，
可化为(5x－2)(x＋1)＜0，
解得－1＜x＜，
所以不等式的解集为{x|－1＜x＜}．
(2)不等式ax2－3x＋2＞－ax＋5可化为ax2＋ax－3x－3＞0，即(ax－3)(x＋1)＞0．
a＜0，不等式为(x－)(x＋1)＜0．
①当a＜－3时，＞－1，
不等式的解集为{x|－1＜x＜}；
②当a＝－3时，＝－1，不等式的解集为∅；
③当－3＜a＜0时，＜－1，
不等式的解集为{x|＜x＜－1}．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，
(1)求不等式g(x)＜0的解集；
(2)若对一切x＞2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)g(x)＝2x2－4x－16＜0，
所以(2x＋4)(x－4)＜0，所以－2＜x＜4，
所以不等式g(x)＜0的解集为{x|－2＜x＜4}．
(2)因为f(x)＝x2－2x－8，
当x＞2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
所以x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
即x2－4x＋7≥m(x－1)．
因为对一切x＞2，均有不等式≥m成立，而＝(x－1)＋－2≥2－2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)，
所以实数m的取值范围是{m|m≤2}．
21．(本小题满分12分)已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元．设公司一年内共生产该款手机x(x≥40)万部并且全部销售完，每万部的收入为R(x)万元，且R(x)＝－．
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数关系式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
[解析]　(1)由题意，可得年利润W关于年产量x的函数关系式为W＝xR(x)－(160x＋400)
＝x(－)－(160x＋400)
＝74 000－－160x－400
＝73 600－－160x(x≥40)．
(2)由(1)可得W＝73 600－－160x
≤73 600－2
＝73 600－16 000＝57 600，
当且仅当＝160x，即x＝50时取等号，所以当年产量为50万部时，公司在该款手机的生产中取得最大值57 600万元．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋mx＋n(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝0，解关于x的不等式f(x)≥x(结果用含m式子表示)；
(2)若存在实数m，使得当x∈{x|1≤x≤2}时，不等式x≤f(x)≤4x恒成立，求负数n的最小值．
[解析]　(1)由题得：x≤x2＋mx－m，即(x＋m)(x－1)≥0；
①m＝－1时可得x∈R；
②m＜－1时，－m＞1，可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥－m}；
③m＞－1时，－m＜1，
可得不等式的解集为{x|x≤－m或x≥1}．
(2)x∈{x|1≤x≤2}时，x≤x2＋mx＋n≤4x恒成立，
即为1≤x＋＋m≤4对x∈{x|1≤x≤2}恒成立，
即存在实数m，使得－x－＋1≤m≤－x－＋4对x∈{x|1≤x≤2}恒成立，
所以(－x－＋1)max≤m≤(－x－＋4)min，
即(－x－＋1)max≤(－x－＋4)min．
由y＝－x－(n＜0)在[1,2]上递减，
所以－n≤2－，即n≥－4，所以负数n的最小值为－4．