高中数学人教A版（2019）必修第一册 第四章　指数函数与对数函数 单元测试

第四章　指数函数与对数函数　检测试题

(时间:120分钟　满分:150分)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.函数y=+lg(5-3x)的定义域是(　C　)

(A)[0,) (B)[0,]

(C)[1,) (D)[1,]

解析:由题意得即所以1≤x<.故选C.

2.函数y=的值域是(　B　)

(A)(-∞,0) (B)(0,1]

(C)[1,+∞) (D)(-∞,1]

解析:令t=,则t≥0,y=()t是减函数,

所以0<y=≤()0=1.故选B.

3.函数f(x)=(ex-e-x)ln|x|的图象大致为(　D　)

解析:由函数f(x)=(ex-e-x)ln |x|可知,

定义域为{x|x≠0},又f(-x)=(e-x-ex)ln |-x|=-(ex-e-x)ln |x|=-f(x),

所以函数f(x)=(ex-e-x)ln |x|为奇函数,

又当x>1时,f(x)>0,故D符合条件.故选D.

4.已知函数f(x)=,则其图象(　D　)

(A)关于x轴对称 (B)关于y=x对称

(C)关于原点对称 (D)关于y轴对称

解析:函数的定义域为{x|x≠0},f(-x)===f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.故选D.

5.已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)等于(　A　)

(A)- (B)- (C)- (D)-

解析:若a≤1,则f(a)=2a-1-2=-3,2a-1=-1(无解);

若a>1,则f(a)=-log2(a+1)=-3,解得a=7.

所以f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-2=-.故选A.

6.函数y=log2(x2-3x+2)的递减区间是(　A　)

(A)(-∞,1) (B)(2,+∞)

(C)(-∞,) (D)(,+∞)

解析:由x2-3x+2>0,得x<1或x>2,且y=x2-3x+2在(-∞,1)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.又因为底数是2>1,所以函数在(-∞,1)上单调递减.故选A.

7.某工厂产生的废气经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为:P=P0·e-kt(k为正常数,P0为原污染物数量).若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%,那么要能够按规定排放废气,至少还需要过滤(　C　)

(A)小时 (B)小时

(C)5小时 (D)小时

解析:由题意,前5个小时消除了90%的污染物,

由P=P0·e-kt,得(1-90%)P0=P0e-5k,即0.1=e-5k,即-5k=ln 0.1,所以k=-ln 0.1.

由1%P0=P0e-kt,即ln 0.01=×ln 0.1,

解得t=10,即总共需要过滤10小时,污染物的残留含量才不超过1%,

又因为前面已经过滤了5小时,所以还需过滤5小时.故选C.

8.若2x-2y<3-x-,则(　A　)

(A)ln(y-x+1)>0 (B)ln(y-x+1)<0

(C)ln|x-y|>0 (D)ln|x-y|<0

解析:由2x-2y<3-x-3-y,得2x-3-x<2y-3-y,即2x-()x<2y-()y.设f(x)=

2x-()x,则f(x)<f(y).因为函数y=2x在R上为增函数,y=-()x在R上为增函数,所以f(x)=2x-()x在R上为增函数,则由f(x)<f(y),得x<y,所以y-x>0,所以y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0,故选A.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对得5分,有选错的得0分,选对但不全的得2分)

9.给定下列函数,其中在区间(0,1)上单调递减的函数是(　BC　)

(A)y=    (B)y=lo(x+1)

(C)y=|x-1| (D)y=2x+1

解析:y=lo(x+1)和y=|x-1|在区间(0,1)上单调递减,y=和y=2x+1在区间(0,1)上单调递增.故选BC.

10.若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象不正确的是(　ACD　)

解析:由函数y=logax的图象过点(3,1),得a=3.选项A中的函数为y=()x,则其函数图象不正确;选项B中的函数为y=x3,则其函数图象正确;选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数图象不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图象不正确.故选ACD.

11.对于0<a<1,给出下列四个不等式,其中成立的是(　BD　)

(A)loga(1+a)<loga(1+)

(B)loga(1+a)>loga(1+)

(C)a1+a<

(D)a1+a>

解析:由0<a<1,知y=logax在(0,+∞)上单调递减,a<,则1+a<1+,则loga(1+a)>loga(1+),故A错误,B正确;由0<a<1,则y=ax在R上单调递减,a<,则1+a<1+,则a1+a>,故C错误,D正确.故选BD.

12.设指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1),则下列等式中正确的有(　AB　)

(A)f(x+y)=f(x)f(y)

(B)f(x-y)=

(C)f(nx)=nf(x)(n∈Q)

(D)[f(xy)]n=[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*)

解析:f(x+y)=ax+y=axay=f(x)f(y),A正确;

f(x-y)=ax-y=axa-y==,B正确;

f(nx)=anx=(ax)n,nf(x)=nax≠(ax)n,C不正确;

[f(xy)]n=(axy)n,[f(x)]n[f(y)]n=(ax)n(ay)n=(ax+y)n≠(axy)n,D不正确.故选AB.

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.函数f(x)=2x2-3x+1的零点为　　　　. 

解析:由f(x)=0,得2x2-3x+1=0,解得x=1或,即函数f(x)的零点为1和.

答案:1和

14.设实数x满足0<x<1,且logx4-log2x=1,则x=　　　　. 

解析:因为logx4=2logx2=,

所以logx4-log2x=-log2x=1,

即+log2x-2=0,

解得log2x=-2或log2x=1,

所以x=或x=2,

因为0<x<1,所以x=.

答案:

15.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=2x+m,若∀x1∈[0,3],∃x2∈[-1,1],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是　　　　. 

解析:只需使f(x)min≥g(x)min,

即0≥+m,所以m≤-,

即实数m的取值范围是(-∞,-].

答案:(-∞,-]

16.疫情期间,某网校平台为促进其网络教学的效果,提供了配套的习题,假设其套题每月的销售量y(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足的函数关系式为y=+2(x-8)2,其中2<x<8,m为常数.已知当销售价格为5元/套时,每月可售出套题20千套.

(1)则实数m=　　　　. 

(2)假设每套题的平均成本为2元(只考虑销售出的套数),当销售价格　　　　元/套时,该网校平台每月销售套题所获得的利润最大. 

解析:(1)因为当销售价格为5元/套时,每月可售出套题20千套,

所以20=+2(5-8)2,即m=6.

(2)由(1)可知y=+2(x-8)2,

设每日的销售利润为g(x)=1 000(x-2)[+2(x-8)2]=1 000[6+

2(x-8)2(x-2)]=1 000[2x3-36x2+192x-250],

g′(x)=1 000(6x2-72x+192)

=6 000(x-4)(x-8)(2<x<8),

所以g(x)在(2,4)上单调递增,在(4,8)上单调递减,

所以x=4时,g(x)最大,

即当销售价格为4元/套时,该网校平台每月销售套题所获得的利润最大.

答案:(1)6　(2)4

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

(1)计算:(2)+(lg 5)0+;

(2)解方程:log3(6x-9)=3.

解:(1)原式=()+(lg 5)0+=+1+=4.

(2)由方程log3(6x-9)=3得6x-9=33=27,所以6x=36=62,所以x=2.经检验,x=2是原方程的解.

所以原方程的解为x=2.

18.(本小题满分12分)

已知函数f(x)满足f(2x+2)=3+log2(x+1).

(1)求f(x)的解析式;

(2)若f(x)的定义域为[1,8],求函数g(x)=f2(x)-3f(2x)的值域.

解:(1)令2x+2=t,则x=,

则f(t)=3+log2=2+log2t,

故f(x)的解析式为f(x)=2+log2x.

(2)由2x∈[1,8],得x∈[,4],

又x∈[1,8],则g(x)的定义域为[1,4].

g(x)=(2+log2x)2-3(3+log2x)=(log2x)2+log2x-5,因为x∈[1,4],所以log2x∈[0,2],

因为函数y=x2+x-5在[0,2]上单调递增,

所以g(x)的值域为[-5,1].

19.(本小题满分12分)

有时可用函数f(x)=描述学习某学科知识的掌握程度,其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*),f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.

(1)求证:当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降;

(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127],(127,133],当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,试确定相应的学科.

(1)证明:当x≥7时,f(x+1)- f(x)=,

而当x≥7时,函数y=(x-1)(x-2)单调递增,

且(x-1)(x-2)>0,

故函数f(x+1)- f(x)单调递减.

故当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降.

(2)解:由题意,可知0.1+15ln =0.85,整理得=e0.05,

解得a=·6≈20.50×6=123∈(121,127].

由此可知,该学科为乙学科.

20.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=a2x+2ax-1(a>1,且a为常数)在区间[-1,1]上的最大值为14.

(1)求f(x)的表达式;

(2)求满足f(x)=7时x的值.

解:(1)令t=ax>0,因为x∈[-1,1],a>1,

所以ax∈[,a],

f(x)=y=t2+2t-1=(t+1)2-2,

故当t=a时,函数y取得最大值为a2+2a-1=14,求得a=3(舍负),

所以f(x)=32x+2×3x-1.

(2)由f(x)=7,

可得32x+2×3x-1=7,

即(3x+4)(3x-2)=0,

求得3x=2,所以x=log32.

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=loga(x-1),g(x)=loga(6-2x)(a>0,且a≠1).

(1)求函数(x)=f(x)+g(x)的定义域;

(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围.

解:(1)由解得1<x<3.

故函数(x)的定义域为{x|1<x<3}.

(2)不等式f(x)≤g(x),

即为loga(x-1)≤loga(6-2x).(*)

①当a>1时,不等式(*)等价于

解得1<x≤;

②当0<a<1时,不等式(*)等价于

解得≤x<3.

综上可知,当a>1时,不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围是(1,];

当0<a<1时,不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围是[,3).

22.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1).

(1)若f(3a+4)≥f(5a),求实数a的取值范围;

(2)当a=时,设g(x)=f(x)-3x+4,判断g(x)在(1,2)上零点的个数并证明:对任意λ>0,都存在μ>0,使得g(x)<0在x∈(λμ,+∞)上恒

成立.

解:(1)由题意得,当a>1时,3a+4≥5a,

所以1<a≤2,

当0<a<1时,3a+4≤5a,所以a≥2(舍去).

所以实数a的取值范围为(1,2].

(2)当a=时,g(x)=lox-3x+4为(0,+∞)上的减函数,

因为g(1)=1>0,

g(2)=-6<0,

所以g(x)在(1,2)上存在唯一的零点,设为x0,

即g(x0)=0,x0∈(1,2),

所以当x∈(x0,+∞)时,g(x)<0.

所以对任意λ>0,

都存在μ=>0,

使得g(x)<0在x∈(λμ,+∞)上恒成立.