2022年广东省广州市高考数学一模试卷

这是一份2022年广东省广州市高考数学一模试卷，共21页。
 2022年广东省广州市高考数学一模试卷 已知集合，，则的子集个数为A. 2 B. 3 C. 4 D. 6若复数，则A. 2 B.  C. 4 D. 5甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是A. 在这5天中，甲、乙两人加工零件数的极差相同
B. 在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同
C. 在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数
D. 在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差曲线在点处的切线方程为A.  B.  C.  D. 的展开式中的系数为A. 60 B. 24 C.  D. 若函数的大致图像如图，则的解析式可能是A.
B.
C.
D.
  设抛物线E：的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比A.  B.  C.  D. 若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是A.  B.  C.  D. 已知直线l：与圆C：，则A. 直线l与圆C相离
B. 直线l与圆C相交
C. 圆C上到直线l的距离为1的点共有2个
D. 圆C上到直线l的距离为1的点共有3个将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则下列说法正确的是A. 若，则是偶函数
B. 若，则在区间上单调递减
C. 若，则的图像关于点对称
D. 若，则在区间上单调递增在长方体中，，，，则下列命题为真命题的是A. 若直线与直线CD所成的角为，则
B. 若经过点A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，且l与面交于点M，则
C. 若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为，则
D. 若经过点A的平面与长方体所有面所成的二面角都为，则十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若第n次操作去掉的区间长度记为，则A.  B.
C.  D. 已知，，则______.已知菱形ABCD的边长为2，，点P在BC边上包括端点，则的取值范围是______.已知三棱锥的棱AP，AB，AC两两互相垂直，，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于______.如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于的位置”的概率为______.
 在等比数列中，，，分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且，，中的任何两个数不在下表的同一列． 第一列第二列第三列第一行323第二行465第三行9128写出，，，并求数列的通项公式；
若数列满足，求数列的前n项和






 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为
证明：；
若，求






 如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，，，
求证：平面平面ACD；
若，，五面体ABCDE的体积为，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值．







 人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策．某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如表：月份12345销售量万件该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：
根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程的值精确到；
已知该公司的月利润单位：万元与x，y的关系为，根据的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，






 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为，点M的轨迹为曲线
求C的方程；
已知点，直线l：与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．






 已知函数，为的导数．
证明：当时，；
设，证明：有且仅有2个零点．







答案和解析 1.【答案】C
 【解析】解：集合，，
，
则的子集个数为
故选：
求出集合A，进而是求出，由此能求出的子集个数．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】B
 【解析】解：，
则，
故选：
根据复数的运算性质求出z，从而求出的值即可．
本题考查了复数的运算性质，考查复数求模，是基础题．
 3.【答案】C
 【解析】解：对于A，甲在5天中每天加工的零件的个数为18，19，23，27，28，
乙在5天中每天加工零件的个数为17，19，21，23，25，
对于A，甲加工零件数的极差为，乙加工零件数的极差为，故A错误，
对于B，甲加工零件数的中位数为23，乙加工零件数的中位数为21，故B错误，
对于C，甲加工零件的平均数为，
乙加工零件数的中位数为，故C正确，
对于D，甲加工零件数的方差为，
乙加工零件数的方程为，故D错误．
故选：
根据已知条件，结合极差和中位数的定义，以及平均数和方差的公式，即可求解．
本题主要考查极差和中位数的定义，以及平均数和方差的求法，属于基础题．
 4.【答案】A
 【解析】解：，可得，，，
所以切线方程：，可得
故选：
求出导函数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．
本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，是基础题．
 5.【答案】B
 【解析】解：的展开式中第项为，
令，得；令，得
展开式中的系数为
故选：
利用展开式的通项公式求得的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
 6.【答案】D
 【解析】解：由已知图像可得为奇函数，
对于A，是偶函数，故A错误；
对于B，的定义域为，且，可得为偶函数，故B错误；
对于C，的定义域为，且，
可得为奇函数，且，比增加快，所以，故C错误；
对于D，的定义域为，且，
可得为奇函数，且，，故D正确．
故选：
由函数的奇偶性和函数值的变化趋势可得结论．
本题考查函数的图像的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
 7.【答案】C
 【解析】解：抛物线方程为，
焦点F的坐标为，准线方程为，
如图，设，，
过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，
则，，
把代入抛物线，得，，
直线AB过点与，
方程为，代入抛物线方程，解得，，
，
在中，，

故选：
利用三角形面积公式，可把与的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为A，B到准线的距离之比，借助求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BN与AE的长度之比，得答案．
本题主要考查了抛物线的焦半径公式，侧重了学生的转化能力，以及计算能力，是中档题．
 8.【答案】D
 【解析】解：根据题意，正实数a，b满足且，则有或，
依次分析选项：
对于A，无论或，都有，所以A错误；
对于B，，
当时，，即，所以B错误；
对于C，因为，所以，
所以，即选项C错误；
对于D，由，两边取自然对数，得，
因为，所以，
设，，则，
设，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以，在和上都是单调减函数，
所以，即选项D正确．
故选：
根据题意得出或，再依次分析选项中的命题是否成立即可．
本题考查不等式的性质以及应用，涉及不等式大小的比较，以及导数的综合应用问题，是难题．
 9.【答案】BD
 【解析】解：圆C：，即圆心坐标为，半径，
圆心到直线l：的距离，即直线l与圆相交，圆C上到直线l的距离为1的点共有3个．
故选：
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．
 10.【答案】AC
 【解析】解：将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，
得，
若，则，则函数为偶函数，故A正确，
当，则，此时为减函数，则为增函数，故B错误，
若时，则，
当时，，则的图像关于点对称，故C正确，
当，则，此时不单调，则不单调性，故D错误，
故选：
利用三角函数的图象变换关系求出函数的解析式，利用三角函数的奇偶性对称性和单调性分别进行判断即可．
本题主要考查三角函数的图像和性质，利用三角函数的奇偶性单调性和对称性进行判断是解决本题的关键，是中档题．
 11.【答案】ACD
 【解析】解：对于A，如图，直线与直线CD所成角，即为直线与直线AB所成角为，

则，故A正确；
对于B，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

过A的l与长方体所有棱所成的角都相等，与面交于，且x，，
，，，
则，
，，故B错误；
对于C，如图，过A的直线m与长方体所有面所成角都为，
则直线m为以4为棱长的正方体的体对角线AM，

，故C正确；
对于D，如图，过A的平面与长方体所有面所成的二面角都为，

只需面与以4为棱长的正方体中相邻的三条棱的顶点所在平面平行，如面EDF，
，，故D正确．
故选：
根据长方体的性质找到直线与直线CD所成角的平面角，判断A；建立空间直角坐标系，利用向量法判断B；将长方体补为以4为棱长的正方体，求线面角和二面角，判断
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 12.【答案】BC
 【解析】解：由题可得，，²，³，
由此可知，即为一个等比数列，
对A：，故A错误；
对B：，因为，故该数列为递减数列，
又因为时，，故B正确；
对C：要证，即证，整理可得，
当时，，符合条件；
当时，恒成立，所以恒成立，故C正确；
对D：令，则²²，
整理可得²，
令²解得或舍，因为，所以，
由此可知时；时，，
故为最大值，²，
根据单调性，，故不成立，故D错误；
故选：
分析发现得到是一个等比数列，按等比数列的性质逐一判断即可．
本题考查简单的合情推理，涉及等比数列的性质应用，属于中档题．
 13.【答案】
 【解析】解：因为，，
所以，
则
故答案为：
由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
 14.【答案】
 【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，
当点P在BC上时，设，，，，
则
故答案为：
建立坐标系，设出点P的坐标，利用向量的数量积，转化求解即可．
本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及共线向量的表示，属于中档题．
 15.【答案】
 【解析】解：将三棱锥补全为棱长为的正方体，
如下图所示，

若，则，
即D，F在P为球心，4为半径的球面上，且O为底面中心，
又，，
所以面ABC与球面所成弧是以A为圆心，2为半径的四分之一圆弧，弧长为，
面PBA，PCA与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为，
面PBC与球面所成弧以P为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为，
综上所述，最长弧的弧长为
故答案为：
将三棱锥补全为棱长为的正方体，根据已知条件判断棱锥各面与球面相交所成圆弧的圆心，进而求出弧长即可．
本题主要考查弧长的求解，考查了转化思想，属于中档题．
 16.【答案】
 【解析】解：质点移动6次，可能结果共有种，
质若点位于的位置，则质点需要向左移动4次，然后向右移动2次，
则有种，
则对应的概率，
故答案为：
根据分步计数原理进行计算即可．
本题主要考查古典概型的概率的计算，利用分步计数原理进行求解是解决本题的关键，是基础题．
 17.【答案】解：根据等比数列的定义和表格中数据，得到，，，
即数列是首项为2，公比为2的等比数列，故
因为，
当n为偶数时，，
当n为奇数时，，
综上所述，
 【解析】根据等比数列的定义和表格中数据的特点得到，，，进而求得通项公式；
由知，利用分组求和，含有需讨论n为偶数与奇数，然后按照等差数列求和．
本题考查了等比数列的通项公式以及分组求和问题，属于中档题．
 18.【答案】证明：由题设，，
又，
所以，
由正弦定理可得，
所以，
又，
所以，
即
解：由及题设，，且，
所以，
则，故，
又，
可得，
若，则，而，故不合题设；
所以，
所以
 【解析】根据三角形面积公式及三角形内角性质可得，再由正弦定理的边角关系即可证结论．
由及题设可得，进而求得，应用余弦定理及正弦定理边角关系求，即可求，注意根据B的范围判断符号，最后利用及和角余弦公式求值即可．
本题考查了正余弦定理，两角和与差的公式，三角形面积等知识，属于中档题．
 19.【答案】证明：若O是AC中点，连接OB，作，由知：，
因为面ABC，则面ABC，又OB，面ABC，
所以，，
综上，Oz，OB，AC两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系，

令，，，则，，，
所以，
若是面CDE的一个法向量，即，令，则，
又是面ACD的一个法向量，则，
所以面面
解：由面ABC，面ABED，则面面ABC，故C到面 ABED的距离，即为中AB上的高，
因为，则，故，
所以AB上的高
又面ABC，则，而，有，，
所以ABED为直角梯形，令，则，
综上，，故
由知：，
所以，
若是面ABED的一个法向量，即，令，则，
而，则，
所以直线CE与平面ABED所成角的正弦值为
 【解析】若O是AC中点，连接OB，作，根据题设可得Oz，OB，AC两两垂直，构建空间直角坐标系，令，，并确定点坐标，求面CDE、面ACD的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示即可证结论．
根据已知体积，结合棱锥的体积公式求出AD，BE，进而求面ABED的法向量、直线CE的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值．
本题考查利用向量法解决立体几何的问题，考查学生的运算能力，属于中档题．
 20.【答案】解：令，
则，，
，，
故y关于x的回归方程为
由可知，，
，
令，
则，
令，解得，令，解得，令，解得，
故在处取得极大值，也为最大值，
故，
故第9个月的月利润预报值最大．
 【解析】根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．
由可知，，，再利用导数研究函数的单调性，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的求解，以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
 21.【答案】解：设，则且，
所以M的轨迹为曲线C方程为且
设，则直线AM为，
联立曲线C得：，整理得：，
由题设知：，则，
故，
又，，
所以，即，
很明显直线斜率不存在的时候也满足上述条件．
所以存在，使
 【解析】利用斜率两点式，结合直线斜率之积为定值列方程，即可求M的轨迹为曲线C，注意
设、直线AM为，联立曲线C，应用韦达定理求M坐标，进而应用n表示、，结合二倍角正切公式判断与的数量关系，即可得解．
本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 22.【答案】证明：由，得，
设，则，
当时，设，，
因为，，
所以和在上单调递增，
，，
所以当时，，，
则，
所以在上单调递增，
所以，即当吋，
由已知得，
①当时，因为，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，
②当时，设，则，
所以在上单调递减，
所以，所以，
所以，
所以在上单调递减，
又因为，，
所以由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，
综上所述，有且仅有2个零点．
 【解析】令，利用导数判断的单调性，并求出其最小值即可证明；
由可知，在上单调递增，利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，通过构造函数，即可证明在上单调递减，同理利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明以及函数零点存在性定理的应用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题．