2022年山西省高考数学一模试卷（文科）

这是一份2022年山西省高考数学一模试卷（文科），共20页。

A. {1,3,5}B. {1,2,3,4,5}
C. {x|x=2n−1,n∈Z}D. ⌀
设复数z满足(−1+2i)z=1+3i，则z=( )
A. 1+iB. −1+iC. −1−iD. 1−i
已知命题p：若sinx>siny，则x>y；命题q：∀a∈R，f(x)=lg(a2+2)x在定义域内是增函数．则下列命题中的真命题是( )
A. p∧qB. (¬p)∧qC. p∧(¬q)D. ¬(p∨q)
若倾斜角为30∘的直线l过抛物线C：y2=2x的焦点，且与C交于A、B两点，则|AB|=( )
A. 163B. 6C. 8D. 16
已知非零向量a，b满足|a+b|=|a−b|=2，|a|=1，则a+b与a−b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，若E，F，G分别是棱AD，C1C，B1C1的中点，则下列结论中正确的是( )
A. BE⊥平面DFG
B. A1E//平面DFG
C. CE//平面DFG
D. 平面A1EB//平面DFG
执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y∈[0,4]，那么输出的S的取值范围是( )
A. [−3,0]B. [−32,3]C. [0,3]D. [32,3]
已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在[0,π]上恰有3个零点，则ω的取值范围是( )
A. [53,83)B. [53,83]C. [83,113]D. [83,113)
设函数f(x)=|lg2(x−2)|,24，若f(x)=a有四个实数根x1、x2、x3、x4，且x1A. (163,132)B. (4,132)C. (3,174)D. (3,+∞)
设a=ln3，b=3ln2，c=2ln3，则a、b、c的大小关系是( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a
“三分损益法”是古代中国制定音律时所用的生律法．三分损益包含“三分损一”“三分益一”．取一段弦，“三分损一”即均分弦为三段，舍一留二，便得到23弦．“三分益一”即弦均分三段后再加一段，便得到43弦．以宫为第一个音，依次按照损益的顺序，得到四个音，这五个音的音高从低到高依次是宫、商、角、徵、羽，合称“五音”．已知声音的音高与弦长是成反比的，那么所得四音生成的顺序是( )
A. 徵、商、羽、角B. 徵、羽、商、角
C. 商、角、徵、羽D. 角、羽、商、徵
如图①，在Rt△ABC中，C=π2，AC=BC=2，D，E分别为AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图②．若F是A1B的中点，点M在线段A1D上运动，则当直线CM与平面DEF所成角最小时，四面体MFCE的体积是( )
A. 112B. 16C. 212D. 26
某校要求每名学生只参加某一个兴趣小组、并对高一、高二年级的3个兴趣小组的学生人数进行了统计，结果如下表：
已知按兴趣小组类别用分层抽样的方法，从参加这3个兴趣小组的学生中共抽取了30人，其中书法组被抽取12人，则x=______.
我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：bab，且a，b，m∈R+.据此可以判断两个分数的大小关系，比如854366239998763421______854366236998763418(填“>”“<”).
过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为点A，交y轴于点B，若FA=2AB，则C的离心率是______.
已知圆内接四边形ABCD中，AB=7，BC=24，CD=20，∠ADC=π2，则BD=______.
已知各项都不相等的等差数列{an}中，a6=11，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=2an+an，求数列{bn}的前n项和Sn.
在如图所示的几何体中，平面ADNM⊥平面ABCD，M四边形ADNM是矩形，四边形ABCD为梯形，AB//CD，∠DAB=60∘，2AB=2AD=CD=2.
(1)求证：AN//平面MBC；
(2)已知直线AN与BC所成角为60∘，求点C到平面MBD的距离．
从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下(单位：克)：
记样本均值为x−，样本标准差为s.
(1)求x−，s；
(2)将质量在区间(x−−s,x+s)内的零件定为一等品．
①估计这台机器生产的零件的一等品率；
②从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P.
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22，且过点(1,62)，A、B分别是C的左、右顶点．
(1)求C的方程；
(2)已知过点G(1,0)的直线交C于M，N两点(异于点A.B).试证直线MA与直线NB交点在定直线上．
已知函数f(x)=csx+a2x2+lnx.
(1)当a≥14时，证明：f(x)在定义域上是增函数；
(2)记f′(x)是f(x)的导函数，g(x)=f′(x)+4lnx−1x，若g(x)在(3π4,2π)内没有极值点，求a的取值范围．(参考数据：π2≈10，π3≈31.)
在极坐标系中，O为极点，直线θ=α(α∈[0,π),ρ∈R)与以点C(32,π4)为圆心，且过点M(3,π2)的圆相交于A，B两点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若AB=2OA，求sinα+csα.
已知函数f(x)=|2x−a|+2|x+1|.
(1)当a=2时，求不等式f(x)≥8的解集；
(2)若f(x)≥3恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵M={x|x=2n−1,n∈Z}，N={1,2,3,4,5}，
∴M⋂N={1,3,5}，
故选：A.
根据集合的运算求出M，N的交集即可．
本题考查了集合的运算，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵(−1+2i)z=1+3i，
∴z=1+3i−1+2i=(1+3i)(−1−2i)(−1+2i)(−1−2i)=1−i.
故选：D.
根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：例x=45∘，y=390∘满足sinx>siny，但不满足x>y，所以命题p为假命题；
因为a2+2>1，所以f(x)=lg(a2+2)x在定义域内是增函数，所以命题q为真命题．
所以p∧q为假命题，(¬p)∧q为真命题，p∧(¬q)为假命题，¬(p∨q)为假命题．
故选：B.
举例x=45∘，y=390∘，可判断命题p真假；根据对数函数性质可判断命题q真假．
本题考查对数函数及三角函数性质、命题真假判断，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：抛物线C：y2=2x的焦点为F(12,0)，
设直线l的方程为y=33(x−12)，
联立y2=2xy=33(x−12)，可得x2−7x+14=0，
设A，B的横坐标分别为x1，x2，
则x1+x2=7，
所以|AB|=x1+x2+p=7+1=8.
故选：C.
求得焦点F的坐标，设出直线l的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理，结合抛物线的性质求解|AB|即可．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：设a+b与a−b的夹角为θ，θ∈[0,π]，则(a+b)⋅(a−b)=a2−b2
由题知a⊥b
∴a⋅b=0，b=3
∴(a+b)⋅(a−b)=1−3=−2
∴csθ=−22×2=−12
∴θ=23π
故选：C.
运用向量的夹角公式和模长的计算可解决此问题．
本题考查平面向量的夹角公式和模长的运算．
6.【答案】C
【解析】解：由ABCD−A1B1C1D1为正方体，且F，G分别是棱C1C，B1C1的中点，则FG//A1D，则平面DFG即为平面A1DFG，
A选项，如图连接DlG，由正方体可知DlG//BE∼又DlG⊥AlG不成立，所以BE⊥AlG不成立，即A选项错误；
B选项，由A1E⋂平面A1DFG=A1，故A1E与平面A1DFG不平行，B选项错误；
C选项，连接CE，则CE//A1G，又A1G⊂平面A1DFG，CE⊄A1DFG，所以CE//平面A1DFG，C选项正确；
D选项，平面A1EB与平面A1DFG有公共点A1，故D选项错误；
故选：C.
根据线面位置关系分别判断．
本题考查了空间中的平行关系，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：由题设，0≤x，y≤4，
当0≤2x+y≤3，即0≤x≤3−y2且0≤y≤3−2x时，可得0≤3−y2≤40≤3−2x≤4，
所以0≤x≤32且0≤y≤3，此时S=y−x∈[−32,3]；
当2x+y>3时，S=0∈[−32,3].
综上，输出的S的取值范围是[−32,3].
故选：B.
根据条件逻辑，结合不等式的性质，讨论0≤2x+y≤3，2x+y>3对应输出S的范围，即可得答案．
本题考查了程序框图的应用，考查了不等式的性质，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在[0,π]上恰有3个零点，
由0≤x≤π，且ω>0，可得π3≤ωx+π3≤ωπ+π3，
所以3π≤ωπ+π3<4π，
解得83≤ω<113，
故选：D.
由x的范围求得ωx+π3的范围，结合正弦函数的图象和零点，可得3π≤ωπ+π3<4π，解不等式可得所求取值范围．
本题考查三角函数的零点个数，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
9.【答案】A
【解析】解：f(x)=−lg2(x−2),24
f(3)=f(5)=0，f(4)=1，
作y=f(x)图象如图所示，
f(x)=a有四个实数根，所以0因为x1所以x3+x4=10，x1=2+2−a，x2=2+2a，
则(x3+x4)x15+1x2−1=105x1+1x2−1=2x1+1x2−1=2(2+2−a)+11+2a=4+22a+11+2a，
令g(a)=4+22a+11+2a，
因为g(a)在(0,1)上单调递减，
所以当0因为g(1)=163，g(0)=132，
所以(x3+x4)x15+1x2−1的取值范围是(163,132).
故选：A.
画出分段函数图象，用数形结合法求解．
本题考查了函数零点与方程根的关系，属于中档题．
10.【答案】D
【解析】解：构造函数f(x)=2lnxx(x>0)，则f′(x)=2(lnx)′x−x′lnxx2=2(1−lnx)x2，
当00，函数f(x)在(0,e)上单调递增，
因为0<2<3因为35=243<256=28，所以ln3<85ln2<3ln2，即ab>a.
故选：D.
利用函数f(x)=2lnxx在(0,e)上的单调性可得b、c的大小关系，利用对数函数的单调性可得出a、b的大小关系，以此可得结论．
本题考查导数应用及函数单调性应用，考查数学运算能力及抽象能力，所以中档题．
11.【答案】A
【解析】解：由题设，若宫的弦长为a，则其它四音对应弦长依次为23a，89a，1627a，6481a，
因为音高与弦长是成反比，所以四音的音高关系为1a<98a<8164a<32a<2716a，
又音高从低到高依次是宫、商、角、徵、羽，
所以五音生成顺序为宫、徵、商、羽、角．
故选：A.
设宫的弦长为a，根据生律法按顺序写出后续四音的弦长，再由题设音高与弦长的反比关系判断五音生成顺序，即可得到答案．
本题考查简单的合情推理，属于基础题．
12.【答案】A
【解析】解：若G是A1C的中点，连接FG，DG，则侧面DEF即为平面FEDG，
∴直线CM与面DEF所成角，即为直线CM与面FEDG所成角为θ，
∵A1D⊥CD，A1D⊥ED，ED⋂CD=D，A1D⊥面EDCB，
又F是A1B的中点，则F到面EDCB的距离为A1D2=12，
∵ED⊥CD，A1D⊥ED，A1D⋂CD=D，则ED⊥面A1DC，
又ED⊥CD，A1D⊥ED，A1D⋂CD=D，则ED⊥面A1DC，
又ED⊂面FEDG，则面A1DC⊥面FEDG，
又CM⊂面A1DC，面A1DC⋂面FEDG=GD，
∴直线CM与面FEDG所成为θ，即直线CM，GD所成角，
∵△A1DC为等腰直角三角形且A1D=CD，则A1C⊥GD，
由图知，M在线段A1D运动过程中θ∈[π4,π2]，
即直线CM与平面DEF所成角最小时，M，D重合，
此时，四面体MFCE的体积V=13×A1D2×S△CDE=13×12×12×1×1=112.
故选：A.
若G是A1C中点，连接FG，DG，推导出直线CM与面DEF所成角为直线CM与面FEDG所成角为θ，利用线面垂直的判定可得A1D⊥面EDCB，由线面垂直、面面垂直的判定有面A1DC⊥面FEDG，即可判断θ的变化范围，进而确定θ最小时M的位置，再利用棱锥的体积公式求解．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】15
【解析】解：由题意知，
30x+45+20+30+30+10=12x+45，
解得x=15，
故答案为：15.
由题意知30x+45+20+30+30+10=12x+45，从而解得．
本题考查了分层抽样的应用，属于基础题．
14.【答案】>
【解析】解：由于bab，且a，b，m∈R+，
所以ba−b+ma+m<0，整理得ab+bm−ab−ama(a+m)=(b−a)ma(a+m)<0，
故b故854366239998763421=854366236+3998763418+3>854366236998763418.
故答案为：>.
直接利用不等式的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：不等式的解法，不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
15.【答案】3
【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0)，渐近线y=bax.
∵FA⊥OA，
∴可得直线FA的方程为y=−ab(x−c)，
令x=0，解得y=acb，∴B(0,acb).
∵FA=2AB，
∴A(13c,2ac3b)，
又A在渐近线y=bax上，
∴2ac3b=ba⋅13c，
解得b=2a.∴ba=2，
∴该双曲线的离心率e=ca=1+(ba)2=3.
故答案为：3.
由双曲线的标准方程可得右焦点F，渐近线方程，利用FA=2AB，求出A的坐标，代入渐近线y=bax上，化简整理，由离心率公式，即可得出结论．
本题考查双曲线的标准方程及其性质、确定A的坐标是解题的关键，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
16.【答案】20
【解析】解：如图：
在圆内接四边形ABCD中，∠ADC=π2，
所以∠ABC=π2，∠BAD+∠BCD=π，
因为AB=7，BC=24，所以AC=242+72=25，
又DC=20，所以AD=252−202=15，
连接BD，在△ABD中，由余弦定理，得cs∠BAD=AB2+AD2−BD22AB⋅AD=72+152−BD214×15，
在△BCD中，由余弦定理，得cs∠BCD=BC2+DC2−BD22BC⋅DC=242+202−BD248×20，
又因为∠BAD+∠BCD=π，所以cs∠BAD=−cs∠BCD，
则72+152−BD214×15=−242+202−BD248×20，
由BD>0，解得BD=20.
故答案为：20.
根据圆的有关性质可知∠ABC=π2，∠BAD+∠BCD=π，由勾股定理求出AD，连接BD，利用余弦定理分别求出cs∠BAD=72+152−BD214×15，和cs∠BCD=242+202−BD248×20，根据cs∠BAD=−cs∠BCD列方程，解方程即可求解．
本题考查了圆的有关性质，勾股定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
由a6=11，知a1+5d=11，
因为a1，a2，a5成等比数列，所以a22=a1a5，即(a1+d)2=a1(a1+4d)，
解得d=2，a1=1，
故{an}的通项公式为an=1+(n−1)×2=2n−1.
(2)bn=2an+an=22n−1+2n−1=12⋅4n+2n−1，
所以Sn=12⋅(41+42+43+……+4n)+(1+3+5……+2n−1)=12⋅4(1−4n)1−4+(1+2n−1)⋅n2=23⋅(4n−1)−n2.
【解析】(1)结合等差数列的通项公式与等比中项的性质，可求得公差d，从而得解；
(2)根据分组求和法，结合等差、等比数列的前n项和公式，得解．
本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式，以及分组求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)证明：由题意，取CD中点E，连接BE，NE，则AB//EC，且AB=EC，
∴四边形ABCE是平行四边形，∴AE//BC，
又BC⊂平面MBC，∴AE//平面MBC，
又AD//BE，且MN=BE，∴四边形MNEB是平行四边形，
∴NE//BM，又BM⊂平面MBC，∴NE//平面MBC，
由AE⋂NE=E，得平面ANE//平面MBC，
由AE⋂NE=E，得平面ANE//平面MBC，
∵AN⊂平面ANE∴AN//平面MBC.
(2)∵矩形ADNM⊥平面ABCD，∴AM⊥平面ABCD，
又AB=AD=1，∠DAB=60∘，DE//AB，∴四边形ABED为菱形，
则AE=3，直线AN与AE所成角为60∘，
设AM的长为x，则AN=1+x2，NE=1+x2，
d△ANE中，由余弦定理得cs60∘=AN2+AE2−NE22AN⋅AE，
即12=1+x2+3−(1+x2)21+x2⋅3，由x>0，解得x=2，
∴S△BCD=12×2×32=32，
∴VM−BCD=13S△BCD⋅AM=13×32×2=66，
∴△MBD中，MB=3，MD=3，BD=1，
∴△MBD的高为(3)2−(12)2=112，
∴S△MBD=12×1×112=114，
设点C到平面MBD的距离为h，
则VC−MBD=13S△MBD⋅h=13×114h=1112h，
由VM−BCD=VC−MBD，得66=1112h，解得h=26611，
∴点C到平面MBD的距离为26611.
【解析】(1)取CD的中点E，连接BE，NE，根据题意可得AE//平面MBC，NE//平面MBC，利用面面平行的判定定理和性质即可证明AN//平面MBC；
(2)根据题意知四边形ABED为菱形，可得直线AN与BC所成角为60∘，利用余弦定理求出MN，进而求出VM−BCD，结合三棱锥等体积法可求出点C与平面MBD的距离．
本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)X−=10.5+9.9+9.4+10.7+10.0+9.6+10.8+10.1+9.7+9.310=10，
∵S2=(10.5−10)2+(10−9.9)2+⋯⋯+(10−9.3)210=0.25，
∴S，=0.25=0.5；
(2)①∵(X−−S,X−+S)⇒(9.5,10.5)，
∴一等品有9.9，10，9.6，10.1，9.7这5个，
设这台机器生产的零件的一等品为事件A，
则P(A)=510=12；
②∵绝对值超过0.3有：10.0−9.6=0.4，10.1−9.6=0.5，10.1−9.7=0.4三种情况，
设从样本中的一等品中随机抽取2件，这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克为事件B，
则P(B)=1−3c52=710.
【解析】根据平均数，方差公式和古典概型计算公式进行计算即可．
本题考查了和事件概率计算公式、相互对立事件概率计算公式、条件概率计算公式与古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)∵ca=221a2+64b2=1且a2=b2+c2，
∴b2=2,c2=2,a2=4∴x24+y22=1；
(2)证明：设过点G的直线为：x=my+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=my+1x24+y22=1，消元整理得，(m2+2)y2+2my−3=0，
Δ>0，y1+y2=−2mm2+2，y1y2=−3m2+2，
因为A(−2,0)，B(2,0)，
所以直线AM的斜率为y1x1+2，故直线AM的方程为y=y1x1+2(x+2)，①
同理可得直线NB的方程为y=y2x2−2(x−2)，②
整理得，(x1+2)y2(x2−2)y1=x+2x−2，
即(my1+3)y2(my2−1)y1=my1y2+3y2my1y2−y1，
由，
即my1y2=32(y1+y2)，
所以(x1+2)y2(x2−2)y1=32y1+92y212y1+32y2=3，
即x+2x−2=3⇒x+2=3x−6，
解得x=4，
所以直线MA与直线NB交点在定直线x=4上．
【解析】(1)根据条件列出关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，从而求得椭圆的方程；
(2)设过点G的直线为：x=my+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立直线与椭圆可得韦达定理，分别表示出直线AM，NB的方程，由两个方程可得(x1+2)y2(x2−2)y1=x+2x−2，结合M，N在直线上以及韦达定理可得两直线交点所在直线．
本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的综合，属于中档题．
21.【答案】解：(1)证明：由题设，f′(x)=ax+1x−sinx且定义域为(0,+∞)，
因为a≥14，则ax+1x≥2ax⋅1x=2a≥1，
当且仅当x=1a时等号成立，而sinx∈[−1,1]，
所以a≥14时有f′(x)≥0，故f(x)在(0,+∞)上是增函数．
(2)由题设，g(x)=ax−sinx+4lnx，则g′(x)=a+4x−csx且定义域为(0,+∞)，
因为g(x)在(3π4,2π)内没有极值点，即g′(x)≥0或g′(x)≤0，
所以a≥csx−4x或a≤csx−4x在(3π4,2π)上恒成立，
令h(x)=csx−4x，则h′(x)=4x2−sinx，当x∈(π,2π)时h′(x)>0；
当x∈(3π4,π)时，令φ(x)=4x2−sinx，
则φ′(x)=−csx−8x3，φ′′(x)=sinx+24x4>0，
所以φ′(x)在x∈(3π4,π)上递增，
而φ′(3π4)=−cs3π4−8×6427π3=8372−10241674>0，
所以在x∈(3π4,π)上φ′(x)>0，故φ(x)在x∈(3π4,π)上递增，
而φ(3π4)=649π2−sin3π4=128−902180>0，
综上，在x∈(3π4,π)上φ(x)>0，即h′(x)>0，
所以，在(3π4,2π)上h′(x)>0，
即h(x)单调递增，则h(x)∈[−22−163π,1−2π]，
故a≥1−2π或a≤−22−163π，
即 a的取值范围为(−∞,−22−163π]⋃[1−2π,+∞).
【解析】(1)对函数求导得f′(x)=ax+1x−sinx且x∈(0,+∞)，再应用基本不等式求ax+1x，结合sinx∈[−1,1]，可确定f′(x)的符号，即证结论．
(2)对g(x)求导得g′(x)=a+4x−csx且x∈(0,+∞)，将问题转化为a≥csx−4x或a≤csx−4x在(3π4,2π)上恒成立，构造h(x)=csx−4x，利用导数研究的单调性，进而求区间值域，即可求 a的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了函数思想和转化思想，属中档题．
22.【答案】解：(1)在极坐标系中，O为极点，直线θ=α(α∈[0,π),ρ∈R)与以点C(32,π4)为圆心，
且过点M(3,π2)的圆相交于A，B两点，
C(32,π4)的直角坐标为(3,3)，M(3,π2)的直角坐标为(0,3)，
∴圆的半径为r=3，∴圆的直角方程为(x−3)2+(y−3)2=9，
将x=ρcsθ，y=ρsinθ代入，得：ρ2−6ρ(csθ+sinθ)+9=0，
∴圆C的极坐标方程为ρ2−6ρ(csθ+sinθ)+9=0.
(2)将θ=α代入ρ2−6ρ(csθ+sinθ)+9=0中，
得ρ2−6ρ(csα+sinα)+9=0，
设ρ1，ρ2分别为A，B对应的极径，则ρ1+ρ2=6(csα+sinα)，ρ1ρ2=9，
∵AB=2OA，则|OB|=3|OA|，即ρ2=3ρ1，结合ρ1ρ2=9，
解得ρ1=3,ρ2=33，
∴csα+sinα=16(ρ1+ρ2)=436=233.
【解析】(1)写出点C，M的直角坐标，求出圆的直角坐标方程，化为极坐标方程，可求出答案．
(2)将θ=α代入圆的极坐标方程，利用根与系数的关系求出ρ1+ρ2=6(csα+sinα)，ρ1ρ2=9，再结合AB=2OA，求出ρ1，ρ2的值，由此能求出结果．
本题考查圆的极坐标方程、正弦函数值、余弦函数值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
23.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=|2x−2|+2|x+1|=4x,x≥14,−1所以不等式f(x)≥8等价于x≥14x≥8或x≤1−4x≥8，
解得：x≥2或x≤−2.
所以不等式的解集为{x|x≤−2或x≥2}.
(2)因为f(x)=|2x−a|+2|x+1|=|2x−a|+|2x+2|≥|(2x+2)−(2x−a)=|2+a|，
由f(x)≥3恒成立，得|2+a|≥3.
所以2+a≥3或2+a≤−3，解得a≥1或a≤−5.
所以a的取值范围为(−∞,−5]⋃[1,+∞).
【解析】(1)当a=2时，去绝对值符号，化f(x)为分段函数，再分段解不等式f(x)≥8可得其解集；
(2)依题意，得f(x)≥3恒成立⇒|2+a|≥3，解之即可．
本题考查函数恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
书法组
舞蹈组
乐器组
高一
x
20
30
高二
45
30
10